If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:9:03

Video-Transkript

ich entführe dich mal schnell ins zwölfte jahrhundert und zwar lebte ein indien ein herr namens buzz cara und der war mathematiker und astronom hat sich auch zum satz des pythagoras gedanken gemacht und ich möchte dir in dem video gerne mal vorführen was der sich so dazu überlegt hat er hat angefangen mit einem quadrat und da wissen wir ja hier sind überall schöne rechte winkel in diesem quadrat und wir wissen auch dass die seiten in einem quadrat alle gleich lang sind ich schreibe einfach mal stellvertretend an diese seite hier das soll c sein also die länger hier ist genau überall gleich dann hat er sich folgendes überlegt man könnte hier so eine horizontale reihen mal in eine waagerechte und dann an der verbindung machen von dieser ecke hier im rechten winkel auf diese waagerechten sie hat quasi ein rechtwinklige dreieck darein konstruiert das hätte eventuell so aussehen können und ich schreibe jetzt mal schnell daneben also wenn wir hier unsere ecke unseren scheitelpunkte haben dann hätten wir hier die seite mit kleiner bezeichnet wenn hier der eckpunkt b ist dann hätten wir hier diese längere seite benannt und dann wissen wir hier oben weil wir es so konstruiert haben haben wir auch einen rechten winkel jetzt können wir uns folgendes überlegen wenn das hier so schön rein passt in dieses quadrat dann passt hier vielleicht ein zweites solcher dreiecke rhein ist das also es könnte so aussehen wir sehen hier ist die seite b und hier ist die seite abend können wir das so weiterspielen kann man auch hier einst ein zeichnen und ein weiteres hier einzeichnen ok jetzt ist die frage glaubst du denn dass diese dreiecke hier diese rechtwinkligen dreiecke alle genau gleich groß sind sieht ganz schön so danach aus können wir das auch vielleicht beweisen und wir können uns folgendes klarmachen die seite c hier unten also die hypothese die seite die längste seite in dem dreieck die diesen rechten winkel gegenüber liegt ist natürlich für alle 43 ecke gleich groß dann wissen wir sie haben alle hier diesen rechten winkel weil wir das so konstruiert haben also wir haben schon mal eine saite gleiches und den rechten winkel der gleiche ist dann können wir uns vielleicht gedanken zu diesen beiden übrigen winkeln machen wenn man es überlegen dass hier bei max der linke mainz wegen einer heißen soll und wir wissen hier sind 90 grad schon verbraucht wir wissen ja die innen winkel in einem dreieck ergänzen sich immer zu 180 grad wenn wir diese 90 grad schon mal wegschnappen dann haben wir nur noch 90 grad übrig das heißt auf alpha und beta müssten 90 grad ab fein sozusagen wenn jetzt der winkel ist dann kann man sagen also hier ist der rest sozusagen übrig also wenn 90 grad plus beta ist dann ist beta genau 90 grad - alpha ja ich hoffe da kannst du mir folgen wenn wir jetzt überlegen wir mal auch hier einen rechten winkel ja und wenn dieser winkel genau 90 grad - alpha groß ist dann muss dieser winkel wie groß sein genau alpha genau also so hätten wir damit bewiesen dass das hier genauso groß ist wie das hier genauso groß ist wie das hier und genauso groß ist wie das hier wir haben also zwei winkel gleich und eine seite gleich damit sind wir schon glücklich wir haben also bewiesen dass es sich bei diesen vier dreiecken innerhalb dieses quadrates um kongruente dreiecke handelt um deckungsgleiche 3 gehandelt jetzt um auf die essenz unseres satz des pythagoras zu kommen wenn ich dich bitten würde die fläche von diesem quadrat auszurechnen wie würdest du das machen länge mal breite zehnmal ccm at können wir auch aufschreiben als c quadrat ok jetzt nehme ich mir mal eine kopie von diesem ganzen hier und schiebe das mal nach rechts damit ist alles ein bisschen übersichtlicher bleibt und jetzt machen wir folgendes wir schneiden an diesem dreieck seiten hier entlang das heißt ich könnte dieses obere dreieck jetzt theoretisch da ein bisschen wegschieben von können wir so ein bisschen nach oben schieben und jetzt können wir vielleicht sehen wie lang diese seite hier ist wie lange müsste design ist endlich genauso lange wie unsere seite b das heißt wir könnten hier diese seite auch als b bezeichnen also von hier bis hier entspricht es genau der gleichen länge wieder länge b dann nehme ich mir dieses dreieck und schiebe das nach hier unten das müsste da ganz gut hinpassen jetzt haben wir ein schönes rechteck das ist also der erste schritt im zweiten schritt schneiden jetzt dieses dreieck hier frei dann schiebe ich das auch so ein bisschen nach oben weg und jetzt möchte ich von dir gerne wissen wie lang ist diese seite also von der ecke hier bist du der ecke hier die ist genauso lang wie unsere seite a das ist ganz genau richtig da können wir das hin schreiben also von hier bis hier entspricht es genau der gleichen seitenlänge a wenn ich dieses dreiecks mir nehme und nach unten rechts schieben dann haben wir hier auch ein schönes rechteck konstruiert das erinnert mich jetzt ein bisschen an meine zeit mit bauklötzen aber was ich eigentlich will ist dass die auffällt hier haben wir was was genau seiten lang ist und hier das ist natürlich auch seite aber das können wir auch noch mal hin schreiben wir haben hier auch eine seite aber wie wäre es denn wenn wir hier draußen quadrat basteln machen wir mal schnell von hier nach hier eine verbindungslinie gezogen und jetzt haben wir hier ein schönes quadrat jetzt möchte ich von dir wissen wie berechnen wir die fläche dieses quadrates nicht weiter schwer sagst du wunderbar quadrat jetzt siehst du auch worauf ich hinaus will die haben ja bereits darüber gesprochen dass diese seite hier genauso lange ist wie die hier unten dann ist diese sender natürlich auch genau so lange wie b wir haben also hier ein weiteres quadrat wenn wir die fläche dieses mittelgroßen quadrates berechnen wollen wie groß wäre das natürlich b quadrat und damit hat der herr bhaskaran sehr anschaulich und schön erklärt wie die teilfläche a quadrat addiert mit der teilfläche b quadrat unsere gesamtfläche c-quadrat ergibt ziemlich cool oder