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Video-Transkript

Wir haben ein Dreieck, von welchem wir zwei Winkel und eine Seite wissen. Wir habenein Dreieck, von welchem wir zwei Winkel und eine Seite wissen. Ich kann jetzt behaupten, dass ich alles andere ausrechne - nur mit den gegebenen Informationen. Ich kann jetzt behaupten, dass ich alles andere ausrechne - nur mit den gegebenen Informationen. Gib mir zwei Winkel und eine Seite und ich finde die übrigen zwei Seiten heraus. Gib mir zwei Winkel und eine Seite und ich finde die übrigen zwei Seiten heraus. Gib mir zwei Winkel und eine Seite und ich finde die übrigen zwei Seiten heraus. Und - natürlich -, kann ich auch den dritten Winkel ausrechnen. Lasst uns das mal probieren. Dafür müssen wir den Sinussatz anwenden. Dafür müssen wir den Sinussatz anwenden. In einem weiteren Video werde ich diesen auch beweisen. Jetzt zeige ich aber erstmal wie wir den Sinussatz anwenden können. Jetzt zeige ich aber erstmal, wie wir den Sinussatz anwenden können. Trotz des komplizierten Namens ist der Sinussatz sehr einfach. Im Grund besagt der Satz, dass das Verhältnis zwischen dem Sinus eines Winkels und der gegenüberliegenden Seite bei allen Winkeln/Seiten im Dreieck gleich ist. Im Grund besagt der Satz, dass das Verhältnis zwischen dem Sinus eines Winkels und der gegenüberliegenden Seite bei allen Winkeln/Seiten im Dreieck gleich ist. Im Grund besagt der Satz, dass das Verhältnis zwischen dem Sinus eines Winkels und der gegenüberliegenden Seite bei allen Winkeln/Seiten im Dreieck gleich ist. Im Grund besagt der Satz, dass das Verhältnis zwischen dem Sinus eines Winkels und der gegenüberliegenden Seite bei allen Winkeln/Seiten im Dreieck gleich ist. Zum Beispiel, bei diesem Dreieck, haben wir einen 30° Winkel und einen 45° Winkel. Da alle drei Winkel zusammen 180° ergeben müssen, können wir dritten Winkel ganz leicht ausrechnen. Der dritte Winkel ergibt also 180° - 45° - 30°. In anderen Worten, 180° - 75°. 180° - 75° ist 105°. Dieser Winkel ist also 105°. Und jetzt können wir den Sinussatz anwenden. Erstmal werde ich hier die Seiten benennen. Lasst uns diese Seite A nennen, bzw. die Seite beträgt eine Länge von A. Lasst uns diese Seite a nennen, bzw. die Seite beträgt eine Länge von a. Und lasst uns diese Seite b nennen, also mit einer Länge von b. Der Sinussatz besagt nun, dass das Verhältnis zwischen dem Sinus eines Winkels und der gegenüberliegenden Seite in einem Dreieck konstant bleibt. in einem Dreieck konstant bleibt. In anderen Worte besagt der Satz: sin (30°) / 2 (gegenüberliegende Seite) = sin (105°) / a sin (30°) / 2 (gegenüberliegende Seite) = sin (105°) / a Und all das ist gleich: sin (45°) / B (gegenüberliegende Seite) sin (45°) / B (gegenüberliegende Seite) sin (45°) / B (gegenüberliegende Seite) Wenn wir nun also a herausfinden möchten, können wir ganz einfach die Gleichung lösen. Und wenn wir b herausfinden möchten, können wir ganz einfach dien pinken Teil dem blauen Teil gegenüberstellen. Und jetzt tun wir genau das. Erstmals, was ist der Sinus von 30°? Vielleicht erinnert ihr euch noch daran von den Einheitskreisen oder von den 30/60/90 Dreiecken. Der Sinus von 30° is gleich 1/2. Und falls ihr euch nicht dran erinnert, kann man auch ganz einfach einen Taschenrechner nutzen. Hier natürlich aufpassen, dass dieser auf Grad eingestellt ist. Wie gesagt bekommen wir 1/2. Der erste Teil hier ist also ½ geteilt durch 2. Oder anders formuliert, 1/4. Dieser Teil ist also gleich 1/4. In anderen Worten, 1/4 = sin (105°) / a. Lasst mich das nochmal aufschreiben: 1/4 = sin (105°) / a Natürlich können wir dann gleich den dritten Teil hier einfügen: 1/4 = sin (105°) / a = sin (45°) / b 1/4 = sin (105°) / a = sin (45°) / b 1/4 = sin (105°) / a = sin (45°) / b Sin (45°) ist, ähnlich wie sin (30°), sehr leicht auszurechnen. Diesen kann man auch mit Hilfe des Einheitskreises herausfinden. Vielleicht erinnert ihr euch noch daran, dass es die Wurzel von 2/2 ist. Lasst mich das direkt hier einfügen: Wurzel 2/2 anstatt sin (45°). Und dafür können wir natürlich auch einen Taschenrechner nutzen, und würden irgendeinen Dezimalwert bekommen. Aber wir werden erstmal hier für a und b lösen. Lasst uns erstmal a ausrechnen. Wir könnten den Kehrwert von beiden Seiten nehmen. Wir könnten den Kehrwert von beiden Seiten nehmen. Der Kehrwert von 1/4 ist 4, und der Kehrwert von der rechten (grünen) Seite ist: a / sin (105°) Um jetzt a herauszufinden können wir einfach beide Seite mit dem Sinus von 105° multiplizieren. Um jetzt a herauszufinden, können wir einfach beide Seite mit dem Sinus von 105° multiplizieren. Dann enden wir mit 4 * sin (105°) = a. Jetzt ist der Taschenrechner an der Reihe: 4 * sin (105°) = (ungefähr) 3,86. 4 * sin (105°) = (ungefähr) 3,86. 4 * sin (105°) = (ungefähr) 3,86. a ergibt also ungefähr 3,86. Was hier auch recht passend aussieht. Die Winkel sind ungefähr richtig und demnach sieht diese Seite hier auch aus wie 3.86. Die Winkel sind ungefähr richtig und demnach sieht diese Seite hier auch aus wie 3.86. Jetzt ist b an der Reihe. Wieder können wir den Kehrwert beider Seiten nutzen: Wieder können wir den Kehrwert beider Seiten nutzen: 4 = b / Wurzel von 2/2 Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit der Wurzel von 2/2. Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit der Wurzel von 2/2. Und wir bekommen: b = 4 * Wurzel 2/2 In anderen Worten ergibt b: 4 * sin (45°) Das können wir ganz einfach herausfinden. Der Frage entsprechend könnten wir hier auch einfach 2 * Wurzel von 2 schreiben. Der Frage entsprechend könnten wir hier auch einfach 2 * Wurzel von 2 schreiben. Aber wir werden es trotzdem mal in den Taschenrechner eingeben (für einen echten Wert): 2 * Wurzel 2 = 2.83 b ergibt also ungefähr 2.83 Um nochmal klarzustellen: 4 = 2 Wurzel 2 = 2,83 4 = 2 Wurzel 2 = 2,83 4 = 2 Wurzel 2 = 2,83 Natürlich ist 2,83 auch aufgerundet, aber es scheint hier auch zu passen. Das wichtige beim Sinussatz ist, dass wenn uns zwei Winkel und eine Seite gegeben wird, Das wichtige beim Sinussatz ist, dass wenn uns zwei Winkel und eine Seite gegeben wird, können wir alles andere herausfinden. Oder - anders herum - wenn wir zwei Seiten und einen Winkle haben, können wir genauso alles heraus finden! können wir genauso alles heraus finden!