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Trigonometrische Challenge-Aufgabe: Trigonometrische Werte und Seitenverhältnisse

Video-Transkript

Sortiere die Ausdrücke nach ihren Werten. Du kannst beliebig viele Karten in eine Kategorie setzen oder die Kategorie leer lassen. Wir haben dieses Diagramm hier. Dann haben wir diese Karten, die diese Ausdrücke haben. Und wir sollten diese Karten sortieren. Was ist Strecke AC geteilt durch Strecke BC? Was ist Strecke AC geteilt durch Strecke BC? Was ist Strecke AC geteilt durch Strecke BC? Welchem dieser Ausdrücke ist es gleich? Und dann sollten wir das Ergebnis in das richtige Kästchen ziehen. Um das herauszufinden, habe ich das Problem auf meinem kleinen Blatt gezeichnet. Blatt gezeichnet. Dieses hier ist das gleiche Diagramm nur ein bisschen vergrößert. Hier sind die Ausdrücke, die wir rüberziehen müssen. Und hier sind die Kästchen, von denen wir entscheiden müssen, ob sie den Ausdrücken entsprechen. entscheiden müssen, ob sie den Ausdrücken entsprechen. Also lass uns zunächst einen Blick hierauf werfen. Die Länge der Strecke AC geteilt durch die Länge der Strecke BC. Lass uns darüber nachdenken, was AC ist. Die Länge der Strecke AC. AC ist dies hier. Die Länge der Strecke AC zeichne ich in lila ein. geteilt durch Länge der Strecke BC, das ist dieses hier. Es ist also das Verhältnis dieser zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Dreieck ABC ist eindeutig rechtwinklig. Ich färbe es nun mal ein, damit du weisst, von welchem Dreieck ich rede. Dreieck ABC ist das gesamte Dreieck auf dass wir uns konzentrieren. So kannst du dir vorstellen, dass es sinnvoll dass das Verhältnis von zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks der Sinus eines ihrer Winkel ist. Und sie geben uns eine der die Winkel rechts hier. Sie geben uns diesen Winkel. Du meinst, sie haben den Winkel nur markiert, aber nicht gesagt, wie groß er ist? Sie haben alle 30° Winkel mit einem Bogen markiert. Sie haben alle 30° Winkel mit einem Bogen markiert. Das sind also 30 Grad. Du hast zwei Bögen hier, das sind 41 Grad. Du hast zwei Bögen hier, das sind 41 Grad. Dieser Winkel ist also 41 Grad. Dieser Winkel hat drei Bögen. Sie sagen nicht, wie gross der Winkel ist, aber dieser Winkel mit den drei Bögen ist kongruent zu dem anderen Winkel mit drei Bögen. ist kongruent zu dem anderen Winkel mit drei Bögen. Im gelben Dreieck ABC beträgt dieser Winkel 30 Grad. Im gelben Dreieck ABC beträgt dieser Winkel 30 Grad. Diese beiden Seiten sind auch gegeben. Wie hängt der 30° Winkel mit den beiden Seiten zusammen? Die Seite AC liegt direkt am Winkel an, Die Seite AC liegt direkt am Winkel an, und AC ist nicht die Hypotenuse. und AC ist nicht die Hypotenuse. Und was ist BC? Nun, BC ist die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks. BC ist die gegenüberliegende Seite der 90 Grad. BC ist also die Hypotenuse. Also, welche trigonometrische Funktion ist Ankathete durch Hypotenuse? Also, welche trigonometrische Funktion ist Ankathete durch Hypotenuse? Also, welche trigonometrische Funktion ist Ankathete durch Hypotenuse? Sinus eines Winkels ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Kosinus eines Winkels ist Ankathete durch Hypotenuse. Sinus eines Winkels ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Kosinus eines Winkels ist Ankathete durch Hypotenuse. Sinus eines Winkels ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Kosinus eines Winkels ist Ankathete durch Hypotenuse. Der Kosinus von 30 Grad ist also die Länge von AC, der Ankathete, durch Der Kosinus von 30 Grad ist also die Länge von AC, der Ankathete, durch Der Kosinus von 30 Grad ist also die Länge von AC, der Ankathete, durch durch die Länge von BC, der Hypotenuse. AC durch BC ist der Kosinus von 30 Grad. AC durch BC ist der Kosinus von 30 Grad. Ziehen wir das hinüber in das Kästchen. Machen wir das Nächste. Gefragt ist der Kosinus des Winkels DEC. Gefragt ist der Kosinus des Winkels DEC. Wo liegt DEC? D, E, C. Das ist dieser Winkel. Markieren wir den Winkel DEC mit vier Bögen. Markieren wir den Winkel DEC mit vier Bögen. Was ist der Kosinus von DEC? Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse. Ankathete ist die benachbarte Seite des Winkels. Ankathete ist die benachbarte Seite des Winkels. Ist diese Seite nicht auch benachbart? Schon, das ist aber die Hypotenuse. Schon, das ist aber die Hypotenuse. Die Ankathete ist das Segment EC. Die Ankathete ist das Segment EC. Die Hypotenuse ist das Segment DE. Die Hypotenuse ist das Segment DE. Oder ED. Die Länge davon schreiben wir als DE. Was ist das gleich? EC durch DE steht nicht zur Auswahl. EC durch DE steht nicht zur Auswahl. EC durch DE steht nicht zur Auswahl. Wir haben aber einen Winkel zur Auswahl. Wir haben aber einen Winkel zur Auswahl. Sie geben uns diese 41 Grad an. Das Verhältnis der grünen Seite zur orangen Seite, ist das eine trigonometrische Funktion dieses Winkels? Das Verhältnis der grünen Seite zur orangen Seite, ist das eine trigonometrische Funktion dieses Winkels? Das Verhältnis der grünen Seite zur orangen Seite, ist das eine trigonometrische Funktion dieses Winkels? Das Verhältnis der grünen Seite zur orangen Seite, ist das eine trigonometrische Funktion dieses Winkels? Nun, in Bezug auf diesen 41° Winkel ist die grüne Seite die Gegenkathete, Nun, in Bezug auf diesen 41° Winkel ist die grüne Seite die Gegenkathete, die orange Seite ist die Hypotenuse. Die grüne Seite durch die orange Seite ist der Sinus von 41 Grad. Die grüne Seite durch die orange Seite ist der Sinus von 41 Grad. Die grüne Seite durch die orange Seite ist der Sinus von 41 Grad. Der Sinus von 41 Grad ist aber gleichzeitig der Kosinus des Winkels DEC. Der Sinus von 41 Grad ist aber gleichzeitig der Kosinus des Winkels DEC. Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Kosinus von DEC ist also gleich Sinus von 41 Grad. Kosinus von DEC ist also gleich Sinus von 41 Grad. Kosinus von DEC ist also gleich Sinus von 41 Grad. Kosinus von DEC ist also gleich Sinus von 41 Grad. Ziehen wir das ins richtige Kästchen. Sinus von 41 Grad ist das Gleiche wie der Kosinus von Winkel DEC. Wir haben noch zwei. Nun müssen wir herausfinden, was der Sinus des Winkels CDA ist. Also mal sehen, wo ist CDA? CDA ist dieser gesamte Winkel. CDA ist dieser gesamte Winkel. Ich markiere ihn mit fünf Bögen. Ich markiere ihn mit fünf Bögen. Ich markiere ihn mit fünf Bögen. Jetzt haben wir dieses grosse rechtwinklige Dreieck. Jetzt haben wir dieses grosse rosa rechtwinklige Dreieck. Jetzt haben wir dieses grosse rosa rechtwinklige Dreieck. Jetzt haben wir dieses grosse rosa rechtwinklige Dreieck. Wir wollen den Sinus dieses Winkels: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Wir wollen den Sinus dieses Winkels: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Wir wollen den Sinus dieses Winkels: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Die Gegenkathete ist CA. Der Sinus des Winkels ist also CA durch AD. Der Sinus des Winkels ist also CA durch AD. AD ist die Hypotenuse. Der Sinus des Winkels CDA ist CA durch AD. Das kommt in den Lösungen nicht vor. Aber vielleicht ist CA durch AD auch eine andere trigonometrische Funktion? Aber vielleicht ist CA durch AD auch eine andere trigonometrische Funktion? Aber vielleicht ist CA durch AD auch eine andere trigonometrische Funktion? Der Winkel DAC beträgt 30 Grad. Der Winkel DAC beträgt 30 Grad. Der Winkel DAC beträgt 30 Grad. Der Winkel DAC beträgt 30 Grad. Was ist DC durch AD im Bezug auf den 30 Grad Winkel? Was ist DC durch AD im Bezug auf den 30 Grad Winkel? Was ist DC durch AD im Bezug auf den 30 Grad Winkel? Was ist DC durch AD im Bezug auf den 30 Grad Winkel? Für den 30 Grad Winkel ist DC die Ankathete und AD die Hypotenuse. Welche Funktion ist Ankathete durch Hypotenuse? Nun, Kosinus. Das ist also gleich der Kosinus dieses Winkels. Sinus von CDA ist gleich dem Kosinus von 30 Grad. Sinus von CDA ist gleich dem Kosinus von 30 Grad. Sinus von CDA ist gleich dem Kosinus von 30 Grad. Sinus von CDA ist gleich dem Kosinus von 30 Grad. Ziehen wir das in das richtige Kästchen. Eins haben wir noch. Eins haben wir noch. Wir sind fast da! AE durch EB. AE durch EB. Länge des Segments AE Länge des Segments AE Länge des Segments AE Länge des Segments AE Länge des Segments AE durch die Länge des Segments EB. durch die Länge des Segments EB. durch die Länge des Segments EB. Das ist EB. Jetzt haben wir dieses grüne rechtwinklige Dreieck. Jetzt haben wir dieses grüne rechtwinklige Dreieck. Der Winkel mit zwei Bögen war der 41 Grad Winkel. Der Winkel mit zwei Bögen war der 41 Grad Winkel. Der Winkel mit zwei Bögen war der 41 Grad Winkel. Der Winkel mit zwei Bögen war der 41 Grad Winkel. Was ist das Verhältnis AE durch EB für den 41 Grad Winkel? Im Bezug auf den 41 Grad Winkel ist AE durch EB gleich Gegenkathete durch Hypotenuse, Im Bezug auf den 41 Grad Winkel ist AE durch EB gleich Gegenkathete durch Hypotenuse, Das ist also der Sinus von 41 Grad. Sinus von 41 Grad steht dort. Ziehen wir das ins richtige Kästchen. Ziehen wir das ins richtige Kästchen. Der Tangens von 41 Grad kam also gar nicht vor. Der Tangens von 41 Grad kam also gar nicht vor. Stimmt das alles? Stimmt das alles? Stimmt.