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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse

Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 1

Lektion 2: Einführung in starre Transformationen
Mathematik
Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Transformationen durchführen
Einführung in starre Transformationen
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Drehungen - Einführung

Google Classroom
Lerne was  Drehungen sind und wie sie in unserem interaktiven Steuerelement durchgeführt werden.

Was ist eine Drehung?

In der untenstehenden Figur dreht sich eine Kopie des Trapezes um den Punkt.
Ein Trapez innerhalb eines Kreises. Das Trapez wird um den Mittelpunkt des Kreises gedreht. Zwei Seiten des Trapezes sind parallel. Die anderen beiden Seiten des Trapezes sind kongruent.
In der Geometrie drehen sich die Dinge in einem Kreis um ein bestimmtes Drehzentrum. Beachte, dass der Abstand jedes gedrehten Punktes vom Zentrum gleich bleibt. Nur die relative Position ändert sich.
In der untenstehenden Figur wird eine Kopie des Achtecks 22° um den Punkt herum gedreht.
Ein konkaves Achteck. Der Umriss des konkaven Achtecks ist um zweiundzwanzig Grad um einen der Punkte des Achtecks gedreht.
Beobachte, wie die Seiten des Achtecks ihre Richtung verändern, aber die Grundform gleich bleibt. Drehungen verzerren keine Formen, sie rotieren sie nur herum. Beachte außerdem, dass der Eckpunkt, der den Drehpunkt darstellt, sich überhaupt nicht bewegt.
Nun, da wir ein grundlegendes Verständnis darüber erhalten haben, was Drehungen sind, wollen wir lernen wie wir sie in einer genaueren Weise benutzen.

Der Drehwinkel

Jede Drehung wird durch zwei wichtige Parameter definiert: Der Drehpunkt—das haben wir bereits behandelt—und der Drehwinkel. Der Winkel legt fest, um wie viel wir die Fläche um den Drehpunkt drehen.
Der Punkt A ist um den Punkt P gegen den Uhrzeigersinn gedreht und bildet so A Strich.
Zum Beispiel können wir sagen, dass A′ das Ergebnis der Drehung von A um P ist, aber das ist nicht genau genug.
Um das Maß der Drehung zu definieren, schauen wir uns den Winkel an, der zwischen de Strecken PA― und PA′― entstanden ist.
Die Strecke PA wird um den Punkt P um fünfundvierzig Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht, um die Strecke PA Strich zu bilden.
Auf diese Weise können wir sagen, dass A′ das Ergebnis der Drehung von A um 45° um P ist.

Drehungen im Uhrzeigersinn oder entgegen des Uhrzeigersinns

So nummerieren wir die Quadranten des Koordinatensystems.
Leeres Koordinatensystem mit horizontaler Achse mit der Beschriftung x und vertikaler Achse mit der Beschriftung y. Der obere rechte Quadrant ist mit Quadrant eins beschriftet. Der obere linke Quadrant ist mit Quadrant zwei beschriftet. Der untere linke Quadrant wird mit Quadrant drei beschriftet. Der untere rechte Quadrant ist mit Quadrant vier beschriftet.
Die Quadrantenzahlen nehmen zu, wenn wir uns gegen den Uhrzeigersinn bewegen. Wir messen Winkel auf die gleiche Weise, um konsequent zu sein.
Üblicherweise beschreiben positive Winkelmaße Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Wenn wir eine Drehung im Uhrzeigersinn beschreiben wollen, benutzen wir negative Winkelmaße.
Das Original einer Strecke, bei der ein Endpunkt mit P beschriftet ist, dreht den anderen Teil der Strecke und den anderen Endpunkt im Uhrzeigersinn um minus dreißig Grad.
Zum Beispiel, ist hier das Ergebnis der Drehung eines Punktes um P um −30°.

Originale und Bilder

Bei jeder Transformation haben wir die Original-Figur, welche die Figur ist, an der wir die Transformation durchführen, und die Bild-Figur, welche das Ergebnis der Transformation ist. Zum Beispiel war bei unserer Verschiebung, der Originalpunkt A und der Bildpunkt war A′.
Beachte, dass wir das Bild mit A′ bezeichnet haben, gesprochen "A Strich". Es ist üblich, wenn wir mit Transformationen arbeiten, den gleichen Buchstaben für das Bild und das Original zu nutzen; ergänze einfach beim Bild zusätzlich den Strich.

Versuchen wir ein paar Übungsaufgaben

Aufgabe 1
Zeichne das Bild von Punkt A nach einer Drehung von −120° um P.

Challenge-Aufgaben

Challenge-Aufgabe 1
R, S und T sind alle Bilder von Q nach verschiedenen Drehungen.
Punkt P ist der Mittelpunkt des Bildes. Punkt R liegt auf zwölf Uhr im Verhältnis zu Punkt P. Punkt Q liegt auf drei Uhr im Verhältnis zu Punkt P. Punkt T liegt auf sechs Uhr im Verhältnis zu Punkt P. Punkt S liegt auf neun Uhr im Verhältnis zu Punkt P.
Ordne jedes Bild der entsprechenden Drehung zu.
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