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Ein Viereck aus seinen Symmetrien bestimmen (Beispiel 2)

Video-Transkript

Zwei Punkte, die ein bestimmtes Viereck bestimmen, sind (-4,-2). Lasst uns das einzeichnen. Das hier ist (-4,-2) Und (0,5). Und (0,5). Also hier ist (0,5) Das Viereck bleibt unverändert, wenn man es an der Geraden y = x/2 spiegelt. Wie sieht diese Gerade also aus? y = x/2. Diese werde ich in blau zeichnen. Da y = x/2 gilt, ist, wenn x = 0, ist y = 0. Der y-Schnittpunkt ist hier 0. Und die Steigung ist 0.5. Immer, wenn x um 1 erhöht wird, wird y um 0.5 erhöht. Beziehungsweise wenn x um 2 erhöht wird, wird y um 1 erhöht. Beziehungsweise wenn x um 2 erhöht wird, wird y um 1 erhöht. Beziehungsweise wenn x um 2 erhöht wird, wird y um 1 erhöht. Ein andere Art, sich das vorzustellen ist, dass y immer die Hälfte von x ist. Wenn x=4 gilt y=2. Wenn x=6 gilt y=3. Wenn x=8 gilt y=4. Nun können wir diese Punkte zu einer Geraden verbinden. zu einer Geraden verbinden. Dann können wir das weitermachen. Wenn x= -2 gilt y= -1. Wenn x= -4 gilt y= -2. Die Gerade geht also gerade durch den Punkt durch und geht immer weiter mit der Steigung 0.5. Diese Gerade kann ich, nachdem ich sie gepunktet gezeichnet habe, auch dicker zeichnen. Dies ist die Gerade, auf der immer gilt: y = x/2. Sie sagen auch, dass das Viereck nicht durch Spiegelung an der Geraden y= -2x + 5 verändert wird. Der y-Schnittpunkt ist also 5. Wenn x=0 gilt y=5. Sie geht also durch diesen Punkt mit der Steigung -2. Immer, wenn wir x um 1 erhöhen, wird y um 2 verringert. Wir gehen also hierdurch und dadurch. Und wir bleiben weiter bei einer Steigung von -2. Sie sieht also ungefähr so aus. Sie sieht also ungefähr so aus. Sie geht durch diesen Punkt und immer weiter. Das ist das Beste, was ich zeichnerisch hinbekomme. Auf dieser Geraden gilt immer: y = -2x+5 Nun lasst uns darüber nachdenken. Mal sehen, ob wir dieses Viereck zeichnen können. Also lasst uns zuerst das Viereck spiegeln, beziehungsweise die Punkte an der Geraden y = x/2 spiegeln. Also diese Gerade ist y = x/2. Der lila Punkt (-4,-2) liegt bereits auf der Geraden, man könnte sagen er ist also seine eigene Spiegelung. Er liegt im Spiegel, könnte man sagen. Aber wir könnten ihn einfach an der Geraden hier spiegeln. Diese Gerade, wenn wir also eine Orthogonale zeichnen, wobei hier y = -2x+5 bereits die Orthogonale zu y = x/2 ist. Woher wir das wissen? Wenn eine Gerade eine Steigung von m hat, dann hat die Gerade, die orthogonal zu ihr ist, den negativen Kehrwert als Steigung. Sie wäre also -1/m. Die erste Gerade hat also eine Steigung von 1/2. Was ist der negative Kehrwert von 1/2? Der Kehrwert von 1/2 ist 2/1 und das wird dann negativ gemacht. Also ist der negative Kehrwert -2. Also ist die Steigung dieser Gerade der negative Kehrwert der Geraden. Also sind diese beiden Geraden orthogonal. Also würde die Orthogonale an dieser Geraden verlaufen. Um diesen Punkt zu reflektieren, sehen wir dass wir zweimal 2 runter und 1 nach rechts gehen, also machen wir das nochmal: 2 runter 1 rechts, 2 runter 1 rechts. Machen wir das in der gleichen Farbe: Die Spiegelung von diesem Punkt durch die Gerade y = x/2 ist dieser Punkt hier. Nun haben wir schon drei Punkte unseres Vierecks, mal sehen ob wir noch den vierten finden. Nehmen wir den lila Punkt, welchen wir bereits gesehen hatten. Er sitzt auf der Geraden y = x/2, ihn also an dieser Geraden zu reflektieren, macht keinen Sinn, aber wir könnten ihn an der Geraden y= -2x + 5 spiegeln. Erneut sind diese Geraden orthogonal zueinander. Lasst uns das einzeichnen, dass diese orthogonal zueinander sind. Wir können also eine Orthogonale ziehen, um die Spiegelung des Punktes zu finden. Wir gehen also 2 nach rechts und 1 nach oben. Dies tun wir 1,2,3 mal auf der linken Seite, also auch 3 mal auf der rechten Seite. Die Spiegelung ist also hier. Wir wollen der Geraden folgen und je nachdem, wie weit wir links von ihr waren, möchten wir den gleichen Weg rechts von ihr gehen. möchten wir den gleichen Weg rechts von ihr gehen. um die Spiegelung zu erhalten. Hier ist sie also, die Spiegelung unseres Punktes. Nun haben wir 4 Punkte unseres Vierecks. Die 4 Punkte des Vierecks, beziehungsweise die 4 Seiten werden wir nun zeichnen. Wir haben unsere 4 Punkte. Die eine Seite ist diese hier. Die eine Seite ist diese hier. und die andere hier. Man kann zeigen, dass diese beiden parallel sind. Wie kann man das zeigen? Nun ja, sie haben beide die gleiche Steigung. Um von diesem Punkt zu jenem zu kommen, musst man 4 Einheiten nach rechts und 7 Einheiten nach oben gehen. Die Steigung ist also 7/4. Die Steigung ist also 7/4. Die Änderung in y-Richtung durch die Änderung in x-Richtung ist also 7/4. Und hier drüben muss man 4 nach rechts und 7 nach oben gehen, um von diesem Punkt zum nächsten zu kommen. Hier ist demnach die Steigung auch 7/4. Demnach sind diese Geraden also parallel. Und nun können wir diese Geraden hier einzeichnen. Einmal diese hier oben Einmal diese hier oben und wie groß ist ihre Steigung? Mal sehen. Wir bewegen uns von x=0 zu x=8. Unsere Änderung in y-Richtung ist -1. Also immer, wenn wir um 1 nach unten gehen gehen wir 8 nach rechts. Sie hat also eine Steigung von -1/8. Das ist die gleiche Steigung wie hier unten. -1/8 Diese beiden Geraden sind also wiederum parallel. Diese beiden Geraden sind also wiederum parallel. Hier handelt es sich also mindestens um ein Parallelogram. Mal sehen, ob wir es weiter einschränken können. Denn es sieht sehr stark nach einer Raute aus, also einem Parallelogram, bei dem alle 4 Seiten gleich lang sind. Es gibt mehrere Wege, wie man zeigen kann, dass dieses Parallelogram eine Raute ist. Für den ersten Weg bestimmt man zuerst die Abstände zwischen den Punkten. Da wir die Koordinaten kennen, können wir die Abstandsformel benutzen, welche sich aus dem Satz des Phytagoras ergibt. Der zweite Weg wäre, direkt über die Diagonalen der Raute zu schauen. der Raute zu schauen. Wenn die Diagonalen orthogonal zueinander sind, dann handelt es sich um eine Raute. Da wir bereits gezeigt haben, dass die beiden Diagonalen orthogonal sind, die beiden Diagonalen orthogonal sind, da sie sich in einem Rechten Winkel schneiden, muss es sich hier um eine Raute handeln.