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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Formen drehen
Lerne wie du das Bild einer gegebenen Form nach einer Drehung um den Ursprung mit einem Vleifachen von 90° zeichnest.
Einführung
In diesem Artikel üben wir die Kunst, Formen zu drehen. Mathematisch gesprochen, lernen wir wie wir das Bild einer gegebenen Form nach einer gegebenen Drehung zu zeichnen.
Dieser Artikel konzentriert sich auf Vielfache von 90, degrees, sowohl positiv (im Uhrzeigersinn) und negativ (entgegen dem Uhrzeigersinn).
Teil 1: Punkte um 90, degrees, 180, degrees und minus, 90, degrees drehen
Lernen wir anhand einer Beispielaufgabe
Wir wollen das Bild A, prime des Punktes A, left parenthesis, 3, vertical bar, 4, right parenthesis nach einer Drehung um 90, degrees um den Ursprung herausfinden.
Wir beginnen, indem wir die Aufgabe veranschaulichen. Positive Drehungen sind entgegen des Uhrzeigersinns, daher schaut unsere Drehung so aus:
Cool, wir haben A, prime bildlich abgeschätzt. Aber nun müssen wir die genauen Koordinaten herausfinden. Es gibt zwei Wege dies zu tun.
Lösungsmethode 1: Der grafische Ansatz
Wir können uns ein Rechteck vorstellen das einen Eckpunkt am Ursprung und den gegenüberliegenden Eckpunkt bei A hat.
Eine Drehung um 90, degrees ist wie das Rechteck auf seine Seite kippen:
Nun sehen wir, dass das Bild von A, left parenthesis, 3, vertical bar, 4, right parenthesis nach der Drehung A, prime, left parenthesis, minus, 4, vertical bar, 3, right parenthesis ist.
Stelle fest, dass es einfacher ist einen Punkt zu drehen, der auf den Achsen liegt und diese helfen uns das Bild von A herauszufinden:
| Punkt | left parenthesis, 3, slash, 0, right parenthesis | left parenthesis, 0, slash, 4, right parenthesis | left parenthesis, 3, slash, 4, right parenthesis |
|---|---|---|---|
| Bild | left parenthesis, 0, slash, 3, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, slash, 0, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, slash, 3, right parenthesis |
Lösungsmethode 2: Der algebraische Ansatz
Wir schauen uns die Punkt A und A, prime genauer an:
| Punkt | x-Koordinate | y-Koordinate |
|---|---|---|
| A | start color #01a995, 3, end color #01a995 | start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff |
| A, prime | minus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff | start color #01a995, 3, end color #01a995 |
Stelle ein interessantes Phänomen fest: Die x-Koordinate von A wurde zur y-Koordinate von A, prime und die Gegenzahl der y-Koordinate von A wurde zur x-Koordinate von A, prime.
Wir können das mathematisch wie folgt darstellen:
Es stellt sich heraus, dass dies für jeden Punkt wahr ist, nicht nur für unser A. Hier sind ein paar weitere Beispiele:
Außerdem stellt sich heraus, dass Drehungen um 180, degrees oder minus, 90, degrees ähnlichen Mustern folgen:
Wir können dieses benutzen um jeden Punkt zu drehen, den wir wollen indem wir seine Koordinaten in die geeignete Gleichung einsetzen.
Nun bist du an der Reihe!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Graphische Methode vs. algebraische Methode
Im allgemeinen steht es jedem frei zu entscheiden, welche der zwei Methoden man nutzt. Jedem Tierchen sein Pläsierchen!
Die algebraische Methode nimmt weniger Arbeit und weniger Zeit in Anspruch, aber du musst dich an diese Muster erinnern. Die graphische Methode steht dir immer zur Verfügung, es könnte aber länger mit der Lösung dauern.
Teil 2: Erweiterung auf die Vielfachen von 90, degrees
Lernen wir anhand einer Beispielaufgabe
Wir wollen das Bild D, prime des Punktes D, left parenthesis, minus, 5, vertical bar, 4, right parenthesis nach einer Drehung um 270, degrees um den Ursprung herausfinden.
Lösung
Da wir um 270, degrees drehen ist es das gleiche als wenn wir dreimal um 90, degrees drehen, wir können das graphisch lösen, indem wir drei aufeinanderfolgende 90, degrees-Drehungen durchführen:
Aber warte! Wir könnten einfach um minus, 90, degrees drehen statt um 270, degrees. Diese Drehungen sind äquivalent. Prüfe das:
Aus dem gleichen Grund, können wir auch das Muster R, start subscript, left parenthesis, 0, vertical bar, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, vertical bar, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, vertical bar, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis benutzen:
Lernen wir anhand einer weiteren Beispielaufgabe
Wir wollen das Bild von left parenthesis, minus, 9, vertical bar, minus, 7, right parenthesis nach einer Drehung um 810, degrees um den Ursprung herausfinden.
Lösung
Eine Drehung um 810, degrees ist das gleiche wie zwei aufeinanderfolgende Drehungen um 360, degrees gefolgt von einer Drehung um 90, degrees (da 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Eine Drehung um 360, degrees bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. In anderen Worten, es ändert sich garnichts.
Daher ist eine Drehung um 810, degrees das gleiche wie eine Drehung um 90, degrees. Daher können wir einfach das Schema R, start subscript, left parenthesis, 0, vertical bar, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, vertical bar, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, vertical bar, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis benutzen:
Nun bist du an der Reihe!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Teil 3: Drehung von Polygonen
Lernen wir anhand einer Beispielaufgabe
Betrachte das unten gezeichnete Viereck D, E, F, G. Zeichnen wir sein Bild, D, prime, E, prime, F, prime, G, prime nach der Drehung R, start subscript, left parenthesis, 0, vertical bar, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.
Lösung
Ähnlich zu Verschiebung, ist alles was wir tun müssen, wenn wir ein Polygon drehen, bei allen Eckpunkten die Drehung durchführen und dann können wir die Bilder der Eckpunkt verbinden um das Bild des Polygons zu erhalten.
Nun bist du an der Reihe!
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