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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse

Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 1

Lektion 4: Drehungen
Mathematik
Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Transformationen durchführen
Drehungen
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Drehungen bestimmen

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Lerne wie du feststellst, welche Drehung eine gegebene Form zu einer anderen gegebenen Form überführt.
Jede Drehung hat zwei Eigenschaften – das Drehzentrum und den Drehwinkel.

Festlegung des Drehzentrums

Drehungen behalten die Distanz bei, so dass das Drehzentrum von Punkt P und dessen Bild P′ gleich weit entfernt sein muss. Das bedeutet, dass das Drehzentrum auf der Mittelsenkrechten von PP′― stehen muss.
Punkt P und Punkt P Strich sind gleich weit von der Spiegelungsachse entfernt. Auf der Spiegelungsachse sind 4 Punkte markiert. Die Strecke von P zu jedem markierten Punkt ist kongruent zu der entsprechenden Strecke von Punkt P Strich zu demselben Punkt.
Wenn wir die Strecke genommen haben, die jeden Punkt des Bildes mit dem entsprechenden Punkt im Original verbunden haben, dann ist das Drehzentrum an dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten all dieser Strecken.

Beispiel

Wir wollen das Drehzentrum bestimmen, das △ABC auf △A′B′C′ abbildet.
Ein Original-Dreieck A B C und sein Bild A Strich B Strich C Strich. Beim Original-Dreieck liegt der Eckpunkt A auf sieben Uhr, der Eckpunkt B auf etwa zwölf Uhr und der Eckpunkt C auf etwa drei Uhr. Für das Abbildungsdreieck liegt der Eckpunkt A Strich bei zwei Uhr, der Eckpunkt B Strich bei sieben Uhr und der Eckpunkt C Strich bei zehn Uhr.
Das Drehzentrum muss auf der Mittelsenkrechten von AA′― sein
Ein Original-Dreieck A B C und sein Bild A Strich B Strich C Strich. Beim Original-Dreieck liegt der Eckpunkt A bei sieben Uhr, der Eckpunkt B auf etwa zwölf Uhr und der Eckpunkt C auf etwa drei Uhr. Für das Bilddreieck liegt der Eckpunkt A Strich bei zwei Uhr, der Eckpunkt B Strich bei sieben Uhr und der Eckpunkt C Strich bei zehn Uhr. Eine durchgezogene Strecke hat Endpunkte vom Eckpunkt A bis zum Eckpunkt A Strich. Eine gestrichelte Linie schneidet die durchgezogene Linie in einem Winkel von neunzig Grad.
Das Drehzentrum muss auf der Mittelsenkrechten von BB′― sein.
Wir könnten auch die Mittelsenkrechte von CC′― prüfen, aber wir brauchen es nicht. Da sich alle Winkelhalbierende an einem Punkt schneiden, reicht die Überprüfung zweier aus.
Ein Original-Dreieck A B C und sein Bild A Strich B Strich C Strich. Beim Original-Dreieck liegt der Eckpunkt A auf sieben Uhr, der Eckpunkt B auf etwa zwölf Uhr und der Eckpunkt C auf etwa drei Uhr. Für das Bilddreieck liegt der Eckpunkt A Strich bei zwei Uhr, der Eckpunkt B Strich bei sieben Uhr und der Eckpunkt C Strich bei zehn Uhr. Eine durchgezogene Strecke hat Endpunkte vom Eckpunkt A bis zum Eckpunkt A Strich. Eine gestrichelte Linie halbiert die durchgezogene Linie in einem Winkel von neunzig Grad. Eine weitere durchgezogene Strecke hat Endpunkte am Eckpunkt B und am Eckpunkt B Strich. Eine gestrichelte Linie halbiert diese Strecke in einem Neunzig-Grad-Winkel. Eine dritte durchgezogene Strecke hat die Endpunkte am Eckpunkt C und am Eckpunkt C Strich. Eine dritte gestrichelte Linie halbiert diese Strecke in einem Winkel von neunzig Grad. Dort, wo sich die drei gestrichelten Linien schneiden, ist ein Punkt gesetzt.

Wie wollen es versuchen!

Aufgabe 1.1
△A′B′C′ ist das Bild von △ABC nach einer Drehung.
Das Dreieck ABC ist gedreht und bildet das Dreieck A Strich, B Strich, C Strich. Der Punkt N liegt näher an Punkt B als Punkt B Strich. Der Punkt P liegt näher an Punkt A Strich als an Punkt A. Der Punkt M liegt näher an Punkt A Strich als an Punkt A, aber nicht so nah wie Punkt P. Der Punkt Q ist gleich weit von Punkt B und Punkt B Strich entfernt.
Welcher Punkt ist das Drehzentrum?
Wähle eine Lösung.

Drehwinkel festlegen

Sobald wir das Drehzentrum gefunden haben, haben wir mehrere Optionen zur Bestimmung des Drehwinkels.
Zuletzt müssen wir feststellen, ob die Drehung gegen den Uhrzeigersinn mit einem positiven Drehwinkel, oder im Uhrzeigersinn mit einem negativen Drehwinkel erfolgt.

Beispiel

Wir wollen den Drehwinkel schätzen, der △ABC auf △A′B′C′ über Punkt P abbildet.
Das Dreieck ABC ist um den Punkt P gedreht, so dass das Dreieck A Strich, B Strich, C Strich entsteht. Der Punkt B liegt ungefähr auf zwölf Uhr bezogen auf Punkt P. Der Punkt B Strich liegt ungefähr auf sieben Uhr bezogen auf Punkt P.
Wir können m∠APA′ mit Standardwinkeln vergleichen.
Das Dreieck ABC ist um den Punkt P gedreht, so dass das Dreieck A Strich, B Strich, C Strich entsteht. Die beiden Dreiecke sind auf einem Kreiszirkel gezeichnet. Der Winkel A P A Strich ist beschriftet und der Winkel ist im Maß näher an achtzig Grad als an neunzig Grad.
Das Winkelmaß ist etwas näher an 180° als an 90°. Wir könnten den Kreis in gleiche Teile aufteilen, um eine nähere Schätzung zu erhalten.
Das Dreieck ABC ist um den Punkt P gedreht, so dass das Dreieck A Strich, B Strich, C Strich entsteht. Die beiden Dreiecke sind auf einem Kreiszirkel eingezeichnet. Der Winkel A P A Strich ist beschriftet und liegt etwa in der Mitte zwischen einhundertfünfunddreißig Grad und einhundertachtzig Grad.
Wir könnten schätzen, dass der Winkel zwischen 150° und 160° liegt, aber wir müssen ihn messen um sicher zu sein.
Wir hätten auch im Uhrzeigersinn messen können, aber dann müssten wir ein negatives Winkelmaß verwenden. Wir gehen etwas mehr als eine halbe Umdrehung im Uhrzeigersinn, so dass wir das Winkelmaß auf etwa −200° schätzen könnten.

Wie wollen es versuchen!

Aufgabe 2.1
Dreieck △A′B′C′ ist das Bild von △ABC bei einer Drehung um Punkt P.
Das Original eines Dreiecks A B C und das Bild eines Dreiecks A Strich B Strich C Strich. Das Original-Dreieck liegt über dem Bild-Dreieck. Der Eckpunkt A liegt bei sieben Uhr. Der Eckpunkt B ist bei zehn Uhr. Der Eckpunkt C liegt bei fünf Uhr. Der Eckpunkt A Strich liegt bei vier Uhr. Der Eckpunkt B Strich liegt bei sieben Uhr. Der Eckpunkt C Strich liegt bei zwei Uhr.
Was ist die beste Schätzung für den Drehwinkel?
Wähle eine Lösung.

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