Geometrische Definitionen - Beispiel

Die Geometrie versucht Zusammenhänge in der Welt darzustellen und zu beweisen. Die Geometrie versucht Zusammenhänge in der Welt darzustellen und zu beweisen. Wenn wir wirklich etwas beweisen wollen, dann müssen wir sehr vorsichtig, sehr präzise und sehr genau mit unserer Sprache sein, damit deutlich wird was wir beweisen wollen und damit unsere Annahmen deutlich werden und welche allgemeinen Aussagen wir treffen wenn wir etwas beweisen wollen. und welche allgemeinen Aussagen wir treffen wenn wir etwas beweisen wollen. Um uns ein wenig Übung darin zu verschaffen exakt mit unserer Sprache umzugehen, führe ich dich hier durch einige Übungen der Khan Academy bei der geometrische Definitionen geübt werden. der Khan Academy bei der geometrische Definitionen geübt werden. Hier steht: "Drei Studenten unternehmen den Versuch zu definieren was es bedeutet, dass die Geraden l und m senkrecht zueinander stehen." "Kannst du die Kommentare des Lehrers den Definitionen zuordnen?" Alles klar. Also es sieht so aus, als versuchten drei verschiedene Studenten zu definieren was "senkrecht zueinander stehend" bedeutet und dann gibt es Kommentare eines Lehrers, die wir zuordenen können. und dann gibt es Kommentare eines Lehrers, die wir zuordenen können. Wir stellen uns also vor, dass wir der Lehrer sind. Das ist Ruby's Definition von "senkrecht zueinander stehend". "Die Geraden l und m stehen senkrecht zueinander, wenn sie sich niemals schneiden." "Die Geraden l und m stehen senkrecht zueinander, wenn sie sich niemals schneiden." Hm, also das ist nicht wahr. Geraden die senkrecht zueinander stehen werden sich in jedem Fall schneiden. Sie schneiden sich in einem rechten Winkel. Somit wird das nicht richtig sein. Somit wird das nicht richtig sein. Und damit passt wohl das hier. "Dachtest du vielleich an parallele Geraden?" Denn es sieht so aus, als hätte sie das definieren wollen. Wenn sie auf derselben Ebene liegen und sie sich niemals schneiden, dann sprichst du von parallelen Geraden. Nun zu Shriya's Definition. "l und m stehen senkrecht zueinander, wenn sie sich an einem Punkt treffen und einer der Winkel an dem Schneidepunkt ist ein rechter Winkel." Ja, das kling genau treffend. Lass mal sehen. Ich würde sagen, "Woohoo! Gut gemacht! Ich hätte es selber nicht besser ausdrücken können." Lass uns nur sicher gehen, dass dieser Kommentar zu dieser Definition passt. Abhishek sagt, "l und m stehen senkrecht, wenn sie sich an einem einzigen Punkt treffen so dass die beiden Geraden auf diese Weise ein 'T' bilden." Nun, das ist auf eine etwas hemdsärmelige Weise richtig. Wenn du dir Geraden vorstellst, die senkrecht zueinander stehen, dann kannst du dir vorstellen, dass sie eine Art Kreuz bilden, oder einen Teil davon... dann kannst du dir vorstellen, dass sie eine Art Kreuz bilden, oder einen Teil davon... Ein T wäre ein Teil davon. Aber ich denke der Kommentar passt gut. Der Kommentar des Lehrers ist: "Deine Definition ist im Grunde richtig, aber es fehlt ihr an mathematischer Präzision." Weißt du, was er mit dem T sagen will? Was heißt "bilden ein T"? Shriya's Definition ist da viel präziser. Sie stehen senkrecht zueinander, "wenn sie sich an einem Punkt treffen und einer der Winkel am Schneidepunkt ist ein rechter Winkel", ist also ein 90-Grad Winkel. Lass uns unsere Antworten überprüfen. Wir machen noch ein paar Aufgaben dieser Sorte. Das macht Spaß. Also nochmal, wir haben hier drei Studenten, die versuchen etwas zu definieren, aber diesmal sollen sie definieren was ein "Winkel" ist. "Kannst du die Kommentare des Lehrers den Definitionen zuordenen?" Jetzt also Ruby, oh, es sind dieselben Studenten. Ruby sagt: "Die Neigung zwischen zwei Geraden welche einen gemeinsamen Knotenpunkt haben." Nun, das geht in die richtige Richtung. Bei der Definition eines Winkels, reden wir üblicherweise über zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Knotenpunkt. Sie redet über zwei Geraden mit einem gemeinsamen Knotenpunkt. Und sie redet über die Neigung. Damit redet sie eher über das Winkelmaß. Damit redet sie eher über das Winkelmaß. Lass uns die Erwiderungen des Lehrers anschauen. Hier steht "Du sprichst hier über das Konzept des Winkelmaßes, Hier steht "Du sprichst hier über das Konzept des Winkelmaßes, und nicht über die Definition eines Winkels." Das ist wohl richtig. Ich würde diesen Kommentar hier hin setzen. Wir haben Glück. Das stand hier ja schon. Nun zu Shriya's Definition: "Zwei Geraden die sich treffen." Also das ist jetzt wieder... Die Definition eines Winkels sind zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Knotenpunkt. "Zwei Linien die sich treffen" das sind nur sich schneidende Geraden. Wenn das passiert, dann ergeben sich auch Winkel aber ich würde hier sagen, "Denkst du hier an sich schneidende Geraden?" Lass uns anschauen was Abhishek sagt. "Eine Figur, bestehend aus zwei Strahlen, welche einen gemeinsamen Endpunkt haben. Der gemeinsame Endpunkt wird auch Knotenpunkt genannt." Ja, das ist eine gute Definition eines Winkels. Abhishek hat es diesmal getroffen. Lass uns noch eine Aufgabe machen. Nun sollen also drei Studenten definieren "was es bedeutet, wenn zwei Geraden parallel sind." Gut, also lass uns die Kommentare des Lehrers zuordnen. Daniela sagt: "Zwei Geraden sind parallel, wenn sie unterschiedlich sind und die eine auf die andere verschoben werden kann. wenn sie unterschiedlich sind und die eine auf die andere verschoben werden kann. Alles klar. Das ist tatsächlich interessant. Das wäre tatsächlich nicht mein erster Ansatz um die Parallelität von Geraden zu definieren. Ich hätte gesagt, "Hey, wenn sie auf derselben Ebene liegen und sie sich nicht scheiden, dann sind sie parallel." Aber das ist eigentlich auch ziemlich gut, denn wenn du etwas überträgst dann drehst du es nicht und du änderst seine Richtung nicht, daher würde ich sagen, dass dies eine Möglichkeit ist das zu formulieren. Und bei einer Übertragung ... Und bei einer Übertragung ... Wenn es zwei unterschiedliche Geraden sind, du kannst sie verschieben ohne ihre Ausrichtung zu verändern, darum geht es ja bei einer Übertragung, und legst sie übereinander, das hört sich ziemlich gut an. Ich schiebe das hier rüber. Jetzt sagt Ori: "Zwei Geraden sind parallel wenn sie nah beieinander liegen aber sich nicht schneiden. Also, wenn du Parallelität definierst kommt es nicht darauf an ob die Geraden nah beieinander liegen oder nicht. ob die Geraden nah beieinander liegen oder nicht. Sie müssen nur auf derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden. Sie können sehr weit voneinander entfernt sein und können immer noch parallel sein. Damit ist die Definition nicht falsch. Zwei Geraden können auch nah beieinander liegen, sich nicht auf derselben Ebene schneiden und sie können dennoch parallel sein. Das ist keine gute Definition, denn es gibt auch parallele Geraden die weit voneinander entfernt liegen. Und damit, nehme ich lieber diese Aussage: "Ein Teil deiner Definition ist richtig, aber der andere nicht." "Parallele Geraden müssen nicht nah beieinander liegen." Das ist keine gute Definition von parallelen Geraden. Also weiter. Kaori sagt: "Zwei Geraden sind parallel so lange sie nicht senkrecht zueinander stehen." Nun, das ist nicht richtig, denn es kann vorkommen, dass sich zwei Geraden schneiden, denn es kann vorkommen, dass sich zwei Geraden schneiden, in einem Winkel der nicht rechtwinklig ist, damit sind sie nicht parallel und stehen ebenfalls nicht nicht senkrecht zueinander. Damit nehmen wir hier: "Sorry, aber deine Definition ist falsch." Das ist wirklich lustig, so zu tun als wäre man ein Lehrer. Machen wir noch eine Aufgabe. Alles klar. Also, "Drei Studenten unternehmen dern Verusuch zu definieren "was eine Strecke ist." Und hier drüben haben wir eine Abbildung einer Strecke. Es sind Punkt P und Punkt Q eingezeichnet und die Strecke ist alles zwischen Punkt P und Punkt Q. Also lass uns die Kommentare des Lehrers den Definitionen zuordnen. Ivy's Definition: "Alle die Punkte auf der Geraden von P und Q, welche sich unendlich in beide Richtungen erstrecken. Nun, das wäre die Definition einer Geraden. Das wäre die Gerade P, Q. Wenn man diese unendlich in beide Richtungen verlängerte, also... Dann würde ich sagen: "Sprichst du hier vielleicht von einer Geraden anstatt von einer Strecke?" Jetzt Ethan's Definition: "Die genaue Entfernung zwischen P und Q." Nun, das ist ja nur... das ist die Länge einer Strecke. Das ist nicht genau das, was eine Strecke ist. Nun Ebuka's Definition. "Die Punkte P und Q, die Endpunkte genannt werden, und alle Punkte in einer geraden Linie zwischen den Punkten P und Q." Ja, das sieht nach einer guten Definition für eine Strecke aus. Damit können wir unsere Antworten überprüfen. Damit können wir unsere Antworten überprüfen. Das sieht gut aus. Lass uns noch eine Aufgabe machen. Ich finde es einfach toll so zu tun als wäre ich ein Lehrer. Alles klar. Drei Studenten unternehmen den Verduch zu definieren "was ein Kreis ist." Definiere was ein Kreis ist. "Kannst du die Kommentare des Lehrers den Definitionen zuordnen? Duru: "Die Menge aller Punkte in einer Ebene die in der gleichen Entfernung zu einem bestimmten, gegebenen Punkt liegen, den wir den Mittelpunkt nennen." Das scheint eine ziemlich gute Definition eines Kreises zu sein. Also ist würde sagen, "Super, gut gemacht!" Olivers Definition. "Die Menge aller Punkte in einem 3D-Raum, welche alle dieselbe Entfernung von einem Mittelpunkt haben." Wenn wir über einen 3D-Raum sprechen und alle Punkt in einem gleichen Abstand von diesem Punkt im Raum sind, dann sprechen wir über eine Kugel und nicht über einen Kreis. Damit nehmen wir: "Du scheinst einen Kreis mit einer Kugel zu verwechseln." Damit nehmen wir: "Du scheinst einen Kreis mit einer Kugel zu verwechseln." Und die Letzte, "Ein perfektes rundes Gebilde." Gut, das ist irgendwie richtig. Aber wenn du über drei Dimensionen redest, dann könntest du über eine Kugel sprechen. Wenn du mehr als drei Dimensionen hast, Hyperspheren, oder so. Im Zweidimensionalen, ja, vollkommen runde Gestalt, das würden die meisten Leute als einen Kreis bezeichnen. Aber diese Definition hat keine hohe Genauigkeit. Sie gibt uns nicht viel mit dem wir von einem mathematischen Blickwinkel aus arbeiten können. Sie gibt uns nicht viel mit dem wir von einem mathematischen Blickwinkel aus arbeiten können. Ich würde das sagen, was auch der Lehrer hier sagt: "Deine Definition müsste viel genauer sein." Duru's Definition ist viel, viel genauer. Die Menge aller Punkte mit dem gleichen Abstand von... auf einer Ebene, mit dem gleichen Abstand von einem bestimmten, gegebenen Punkt, den wir den Mittelpunkt nennen. Ja also, Carlos hätte ein wenig präziser sein können. Wir sind fertig.