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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 9
Lesson 1: 2D- vs. 3D-Objekte- Vokabular der Geometrie von Körpern
- Eine rechteckige Pyramide schneiden
- Querschnitte von 3D-Objekten (Grundlagen)
- Möglichkeiten einen Querschnitt durch einen Würfel zu erstellen
- Querschnitte von 3D-Objekten
- Rotieren von 2D Formen in 3D
- Drehe 2D-Formen in 3D
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Vokabular der Geometrie von Körpern
Lerne die Namen gängiger Körper, die Teile dieser Körper und wie wir sie im Schnitt beschreiben.
Arten von 3D-Körpern
Prismen und prismenähnliche Figuren
Ein Prisma ist ein Paar kongruenter Polygone in parallelen Ebenen und die Sammlung aller Punkte zwischen ihnen.
Mit prismenähnlicher Figur meinen wir jede Figur, die einem Prisma ähnelt, mit der Ausnahme, dass die Basis eine beliebige 2D-Form sein kann. Die häufigste prismenähnliche Figur ist ein Zylinder.
Eine andere Möglichkeit, Prismen und prismenähnliche Figuren zu betrachten, ist, dass sie eine Sammlung von Verschiebungen der Grundfläche sind. Jeder Querschnitt eines Prismas parallel zu seiner Grundfläche hat den gleichen Flächeninhalt.
- Bei einem rechtwinkligen Prisma liegt die obere Fläche direkt über der unteren Fläche. Der Verschiebungsvektor steht senkrecht auf den Grundflächen.
- Ein schräges Prisma hat einen nicht rechtwinkligen Verschiebungsvektor.
Pyramiden und pyramidenähnliche Figuren
Eine Pyramide ist ein Polygon, ein Scheitelpunkt in einer anderen Ebene und die Sammlung aller Punkte dazwischen.
Mit pyramidenähnlicher Figur meinen wir jede Figur, die wie eine Pyramide aussieht, mit dem Unterschied, dass ihre Basis eine beliebige 2D-Form haben kann. Die häufigste pyramidenähnliche Figur ist ein Kegel.
Eine andere Möglichkeit, Pyramiden und pyramidenähnliche Figuren zu betrachten, ist, dass sie die Sammlung der Streckungen der Basis um die Spitze für alle Streckungsfaktoren von 0 bis 1 sind.
- Bei einer rechtwinkligen Pyramide befindet sich die Spitze direkt über der Mitte der Basis.
- Eine schräge Pyramide hat ihren Scheitelpunkt irgendwo anders.
Andere gemeinsame Figuren
Ein Polyeder ist eine räumliche Figur, bei der jede Oberfläche ein Polygon ist. Prismen und Pyramiden sind Beispiele von Polyedern.
Eine Kugel ist eine räumliche Figur, bei der jeder Punkt auf der Oberfläche die gleiche Strecke von ihrem Mittelpunkt entfernt ist.
Teile von 3D-Körpern
Es gibt viel nützliches Vokabular zu Polyedern, aber nicht so viel Vokabular zu den entsprechenden Eigenschaften von 3D-Objekten mit gekrümmten Oberflächen.
Um die Kommunikation zu erleichtern, werden wir das Vokabular von Polyedern auch auf andere 3D-Figuren ausweiten.
| Begriff | Bedeutung in Polyedern | Bei Figuren mit gekrümmten Oberflächen meinen wir auch: |
|---|---|---|
| Seitenfläche | Eine flache Oberfläche | Eine durchgehende Oberfläche |
| Kante | Die Strecke, an der sich 2 Seitenflächen treffen | Die Strecke oder Kurve, an der sich 2 Seitenflächen treffen |
| Ecke | Ein Punkt, an dem sich 2 oder mehr Kanten treffen | Der Punkt, der der Basis der Figur gegenüberliegt und am weitesten von ihr entfernt ist (auch Spitze genannt) |
Dies ist eine gute Erinnerung daran, dass die Definition eines Wortes vom Kontext abhängt. Zum Beispiel gilt die Formel von Euler start text, E, c, k, e, n, end text, plus, start text, S, e, i, t, e, n, f, l, a, with, \", on top, c, h, e, n, end text, minus, start text, K, a, n, t, e, n, end text, equals, 2 nur für Polyeder, also würden wir die Bedeutungen in Polyedern verwenden. Wörter passen sich an und erhalten je nach Bedarf neue Bedeutungen.
Querschnitte
Der Schnittpunkt zwischen einer Ebene und einem Körper ist ein Querschnitt. Also ist jeder Querschnitt eine 2D Figur, die wir durch das Schneiden einer 3D Figur erhalten können.
| Ausrichtung der Ebene | Beispielfigur und -ebenen | Querschnitte |
|---|---|---|
| Parallel zur Basis | ||
| Senkrecht zur Basis | ||
| Diagonal |
Wenn wir nach einem Querschnitt fragen, versuchen wir anzugeben, ob die Ebene senkrecht oder parallel zur Grundfläche der Figur verläuft (oder keines von beiden). Wenn in manchen Lehrbüchern die Ausrichtung der Ebene nicht angegeben ist, bedeutet das, dass die Ebene parallel zur Grundfläche ist. In anderen Büchern kann die Ebene in jede beliebige Richtung zeigen. Also überprüfe bei jeder Bearbeitung, welche Bedeutung dein Kurs verwendet.
| Durchschneiden (in der 3D-Form) | Erzeugt (im 2D-Querschnitt) |
|---|---|
| Eine flache Seitenfläche | Eine gerade Kante |
| Eine gebogene Seitenfläche | Eine gebogene Kante (normalerweise)* |
| Parallele Seitenflächen | Parallele Kanten |
| Eine Kante | Ein Ecke |
| Eine Ecke | Eine Ecke |
*Es gibt ein paar Ausnahmen, bei denen du durch eine gekrümmte Fläche schneiden und eine gerade Kante erzeugen kannst. Hier sind die beiden häufigsten Ausnahmen:
- Wenn du einen rechtwinkligen Zylinder senkrecht zu seiner Basis schneidest, entstehen gerade Kanten.
- Wenn du einen Kegel durch seine Spitze schneidest, entstehen gerade Kanten.
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