Mittendreiecke erforschen

Mittendreiecke - Elemente und Eigenschaften von Dreiecken Ich habe hier ein beliebiges Dreieck. Wir nennen es Dreieck ABC. Und ich möchte mir die Mittelpunkte von jeder Seite von ABC ansehen. Und ich möchte mir die Mittelpunkte von jeder Seite von ABC ansehen. Also das ist der Mittelpunkt der Seite BC. Nennen wir ihn D. Und diesen Mittelpunkt nennen wir E, und diesen Mittelpunkt nennen wir F. Und da es der Mittelpunkt ist, wissen wir dass die Strecke zwischen BD gleich der Strecke von D zu C ist. Also diese Strecke ist gleich dieser hier. Wir wissen, dass AE gleich EC ist. Also diese Strecke ist gleich dieser Strecke. Und wir wissen, das AF gleich FB ist, also diese Strecke ist gleich dieser Strecke. Anstatt die Seitenhalbierenden zu zeichnen, die von den Mittelpunkten zu den Eckpunkten gehen, werde ich Anstatt die Seitenhalbierenden zu zeichnen, die von den Mittelpunkten zu den Eckpunkten gehen, werde ich diese Mittelpunkte miteinander verbinden, um zu sehen, was dann passiert. Wenn ich sie verbinde, dann habe ich offensichtlich drei Punkte. Wenn man drei nicht-lineare Punkte wie diese verbindet, dann entsteht ein weiteres Dreieck. Und dieses Dreieck, das durch die Mittelpunkte der Seiten dieses größeren Dreiecks entstanden ist, nennt man Mittendreieck. dieses größeren Dreiecks entstanden ist, nennt man Mittendreieck. Und das ist auch so schon ganz nett. Aber was wir in diesem Video sehen werden ist, dass das Mittendreieck auch ein paar sehr coole Eigenschaften hat. dass das Mittendreieck auch ein paar sehr coole Eigenschaften hat. Was wir zeigen werden, ist dass es jedes Dreieck in vier kleiner Dreiecke unterteilt, die alle deckungsgleich sind und dass alle dieser vier Dreiecke identisch sind. Und alle ähneln dem großen Dreieck. Jedes von ihnen hat 1/4 der Fläche des großen Dreiecks. Jedes von ihnen hat 1/4 der Fläche des großen Dreiecks. Lass uns das jetzt beweisen. Zuerst schauen wir uns dieses Dreieck an, hier, das Dreieck CDE. Und es sieht ähnlich aus wie das grosse Dreieck, CBA. Und es sieht ähnlich aus wie das grosse Dreieck, CBA. Aber lass uns das beweisen. Wir können schon mal sagen, also, beide haben diesen Winkel gemeinsam. Beide, das grosse Dreieck und auch Dreieck CBA, haben diesen Winkel. Und das kleinere Dreieck, CDE, hat diesen Winkel. Somit haben sie diesen Winkel gemeinsam. Und lass uns mal das Verhältnis der Seiten ansehen. Wir wissen, dass das Verhältnis von CD zu CB gleich 1/2 ist. Also, 1/2 dieser Seite ist gleich 1/2. Das ist das gleiche wie das Verhältnis von CE und CA. CE ist genau 1/2 von CA, denn E ist der Mittelpunkt. Es ist gleich CE durch CA. Somit haben wir zwei Winkel, übereinstimmende Winkel die identisch sind und die Verhältnisse von beiden sich entsprechenden Seiten auf jeder Seite es Winkels sind gleich. von beiden sich entsprechenden Seiten auf jeder Seite es Winkels sind gleich. CD durch CB ist gleich 1/2, CE durch CA ist gleich 1/2 und der Winkel dazwischen ist übereinstimmend. CD durch CB ist gleich 1/2, CE durch CA ist gleich 1/2 und der Winkel dazwischen ist übereinstimmend. Also, nach der SWS Gleichheit wissen wir, dass das Dreieck CDE ähnlich dem Dreieck CBA ist. Also, nach der SWS Gleichheit wissen wir, dass das Dreieck CDE ähnlich dem Dreieck CBA ist. Also, nach der SWS Gleichheit wissen wir, dass das Dreieck CDE ähnlich dem Dreieck CBA ist. Und schon dadurch bekommen wir einige interessante Ergebnisse. Weil wir wissen, dass das Verhältnis von dieser Seite des kleinen Dreiecks zu dem großen Dreieck auch gleich 1/2 sein wird. von dieser Seite des kleinen Dreiecks zu dem großen Dreieck auch gleich 1/2 sein wird. Denn die anderen Seiten haben auch ein Verhältnis von 1/2 und wir haben es mit ähnlichen Dreiecken zu tun. Damit ist das hier gleich 1/2 von diesem. Und wir wissen dass 1/2 von AB gleich der Länge von FA sein wird. Also wir wissen, das die Länge hier gleich der Länge von FA oder FB ist. Und das schliessen wir daraus, dass die Dreiecke gleichartig sind. Denn weil sie gleichartig sind, wissen wir dass DE durch BA gleich der Verhältnisse der anderen übereinstimmenden Seiten ist, was gleich 1/2 ist. Und damit haben wir das hier drüben. Jetzt lass uns mal über das Dreieck hier oben nachdenken. Jetzt lass uns mal über das Dreieck hier oben nachdenken. Wir könnten es BDF nennen. Wir könnten es BDF nennen. Also zunächst vergleichen wir Dreieck BDF mit dem großen Dreieck, beide teilen sich diesen Winkel hier, den Winkel ABC. Beide haben diesen Winkel gemeinsam. Und damit haben wir den gleichen Beweis. Wir brauchen uns nur diese Grafik anzusehen und wissen, dass das Verhältnis von BA, - lass mich das mal so machen - das Verhältnis von BF zu BA ist gleich 1/2, was auch dem Verhältnis von BD zu BC entspricht. was auch dem Verhältnis von BD zu BC entspricht. Das Verhältnis von dem zu dem ist das gleiche wie das Verhältnis von diesem zu jenem, also gleich 1/2. Denn BC ist 1/2 der gesamten Länge. BF ist 1/2 der gesamten Länge. Und damit haben wir übereinstimmende Seiten mit dem gleichen Verhältnis in beiden Dreiecken und sie haben einen Winkel dazwischen gemeinsam. Und wieder einmal, nach SWS Gleichheit, wissen wir, dass dieses Dreieck, ich schreibe es mal so, DBF ist ähnlich zu Dreieck CBA. mal so, DBF ist ähnlich zu Dreieck CBA. Und wir können den gleichen Beweis benutzen, den wir bei diesem Dreieck verwendet haben. Wenn es ähnlich ist, dann muss das Verhältnis der übereinstimmenden Seiten gleich sein. Wenn es ähnlich ist, dann muss das Verhältnis der übereinstimmenden Seiten gleich sein. Und das Verhältnis ist gleich 1/2. Also das Verhältnis von dieser zu dieser Seite, von FC zu AC, muss gleich 1/2 sein. Oder FD muss halb so lang sein wie AC. Und 1/2 von AC ist die Länge von AE. Das ist die Länge hier. Ich denke, du kannst sehen, worauf ich hinaus will. Und weil es ähnlich ist, müssen alle übereinstimmenden Winkel identisch sein. Und weil es gleichartig ist, müssen alle übereinstimmenden Winkel identisch sein. Und wir wissen, dass das große Dreieck einen gelben Winkel hat, genau hier. Also wir haben den gelben Winkel hier. Und dieses Dreieck hier, war auch ähnlich zu dem großen Dreieck. Somit hat es das selbe Winkelmass hier oben. Wir haben das bereits im ersten Teil bewiesen. Lass uns nun zum dritten Dreieck gehen. Ich denke, du erkennst das Muster. Ich bin mir sicher, dass du einfach das Video pausieren und selbst den Beweis erbringen könntest. Aber wir sehen, dass das Verhältnis von AF zu AB gleich dem Verhältnis von AE zu AC sein wird, was gleich 1/2 ist. Damit haben wir zwei übereinstimmende Seiten mit dem Verhältnis 1/2, vom kleinen zum großen Dreieck. Und sie haben einen Winkel gemeinsam. Sie teilen sich den Winkel zwischen diesen zwei Seiten. Also nach SWS Gleichheit, wir wiederholen uns hier, wissen wir, dass das Dreieck EFA ähnlich zu Dreieck CBA ist. wissen wir, dass das Dreieck EFA ähnlich zu Dreieck CBA ist. Und damit muss das Verhältnis aller sich entsprechenden Seiten gleich 1/2 sein. Also das Verhältnis von FE zu BC muss gleich 1/2 sein, oder FE muss 1/2 hiervon sein, also gerade der Länge von BD. Das ist diese Länge hier. Und man kann auch sagen, da wir gezeigt haben, das dieses, dieses und dieses Dreieck, - wir haben noch nicht über das in der Mitte gesprochen - alle ähnlich zu dem großen Dreieck sind. Somit sind sie auch alle ähnlich zueinander. Sie haben alle übereinstimmende Winkel. Also, wenn das große Dreieck diesen gelben Winkel hier hatte, werden all Dreiecke diesen gelben Winkel hier haben. Und wenn das große Dreieck diesen blauen Winkel hatte, dann werden alle Dreiecke in dem entsprechenden Eckpunkt den blauen Winkel haben. dann werden alle Dreiecke in dem entsprechenden Eckpunkt den blauen Winkel haben. Alle, die wir bereits gezeigt haben, sind ähnlich. Wir haben aber noch nicht über das Dreieck in der Mitte gesprochen. Und natürlich wird auch das ähnlich zu dem ganzen sein, es wird diesen Winkel in diesem Eckpunkt haben, denn er entsprich diesem Eckpunkt hier, basierend auf der Ähnlichkeit. Das ist interessant. Jetzt lass uns mal die Dreiecke miteinander vergleichen. Wir haben gezeigt, dass all diese Dreiecke genau die gleichen drei Seiten haben. Diese blaue Seite, oder besser, diese Ein- Strich Seite diese Zwei-Strich Seite und diese Drei-Strich Seite. Ein-Strich, Zwei-Strich und Drei-Strich. Ein-Strich, Zwei-Strich und Drei-Strich. Und das trifft auch auf dieses mittlere Dreieck zu, hier drüben. Also nach der Übereinstimmung der Seiten (SSS Gleichheit) wissen wir, und wir wollen hier vorsichtig sein, um unsere übereinstimmenden Seiten richtig hinzubekommen, wir wissen nun, dass das Dreieck CDE mit dem Dreieck DBF übereinstimmt. wir wissen nun, dass das Dreieck CDE mit dem Dreieck DBF übereinstimmt. Ich möchte die übereinstimmenden Seiten finden. Ich schau mir die Farben an. Von Gelb zu Magenta zu Blau, Gelb, Magenta zu Blau, welches übereinstimmt mit dem Dreieck EFA, was mit dem Dreieck hier übereinstimmt. EFA, was mit dem Dreieck hier übereinstimmt. Aber wir wollen sichergehen, dass wir die richtigen übereinstimmenden Seiten bekommen. Um das sicherzustellen, müssen wir nur über die Winkel nachdenken. Also wir wissen, und das ist interessant, das aufgrund der Tatsache, dass die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180 Grad ergeben, das dieser magenta Winkel plus dem blauen Winkel plus dem gelben Winkel 180 ergibt. Hier haben wir den blauen und den magenta Winkel, und die ergeben zusammen ganz klar 180. Also musst du den blauen Winkel haben. Der blaue Winkel muss hier drüben sein. Gleicher Beweis, der gelbe Winkel und der blaue Winkel, und wir müssen den magenta Winkel hier haben. Die ergeben 180. Also muss das der magenta Winkel sein. Und schliesslich, Magenta und Blau, das hier muss der gelbe Winkel sein. Und damit haben wir die Übereinstimmung hier angefangen bei CDE. Wir sind über Gelb, Magenta und Blau gegangen. Also hier gehen wir zu Gelb, Magenta, Blau. Und es ist übereinstimmend mit Dreieck FED. Und es ist übereinstimmend mit Dreieck FED. Und das ist ziemlich cool. Wir haben soeben gezeigt, das alle drei, das dieses Dreieck, dieses Drecke, dieses, Dreieck und das hier kongruent zueinander sind. dieses Drecke, dieses, Dreieck und das hier kongruent zueinander sind. Und wir können uns die entsprechenden ansehen-- und dass die alle Verhältnisse haben, die ähnlich dem großen Dreieck sind, gleich ABC. Und dass das Verhältnis zwischen den Seiten gleich 1/2 ist. Und auch, da wir uns die übereinstimmenden Winkel angesehen haben, sehen wir das, dieser Winkel zum Beispiel der gleiche ist wie dieser. Also, wenn du DC oder BC als Transversale sehen würdest, dann Also, wenn du DC oder BC als Transversale sehen würdest, dann wäre es plötzlich sehr einfach zu sehen, dass FD parallel zu AC ist, denn die übereinstimmenden Winkel sind kongruent. Also das hier ist parallel zu diesem hier. Und dann könntest du den gleichen Beweis verwenden, um zu sagen, denn diese Seite hier, da wir hier übereinstimmende Winkel haben, könntest du sagen, dass das hier parallel zu dem hier ist. sagen, dass das hier parallel zu dem hier ist. Und schliesslich, kannst du den gleichen Beweis hier verwenden. Ich will sichergehen, dass ich die richtigen Winkel nehme. Du hast diese Gerade und diese Gerade Und dieser Winkel stimmt mit dem überein. Sie sind gleich. Also DE muss parallel zu BA sein. Und das ist eine andere coole Eigenschaft des Mittendreiecks All diese Dinge, kommen zum Vorschein, wenn du versuchst was ganz einfaches mit einem Dreieck anzustellen. kommen zum Vorschein, wenn du versuchst was ganz einfaches mit einem Dreieck anzustellen.