Ähnliche Dreiecke bestimmen

Was ich in diesem Video zeigen möchte ist, wie man feststellen kann, ob zwei Dreiecke sich ähnlich sind . und wie man beweist, dass sie wirklich ähnlich sind, indem man die notwendigen Forderungen nachweist. Hier haben wir das Dreieck BDC. Es befindet sich innerhalb des Dreiecks AEC. Beide haben diesen Winkel hier gemeinsam. Damit haben wir schon einmal einen Winkel. Wir brauchen noch einen weiteren Winkel. Denn zwei gemeinsame Winkel beweisen Ähnlichkeit. Wir wissen, dass diese beiden Linien parallel sind. Wir wissen, dass diese beiden Linien parallel sind Diese Winkel an der schneidenden Geraden sind Stufenwinkel und damit gleich groß. Also dieser Winkel hier ist gleich groß wie dieser Winkel dort. Fertig. Nochmal: Wir haben einen Winkel im Dreieck AEC, der gleich groß ist wie ein Winkel in Dreieck BDC und außerdem haben wir diesen Winkel, der in beiden Dreiecken vorkommt, und natürlich mit sich selbst übereinstimmt. Also beide Dreiecke haben also zwei gleich große Winkel, deshalb müssen die Dreiecke ähnlich sein. Wir können also schreiben, Dreieck ACE ist ähnlich dem Dreieck - und hier ist es wichtig, dass wir die Buchstaben in die richtige Reihenfolge bringen. Also der blaue Winkel hier entspricht dem blauen Winkel dem blauen Winkel am Eckpunkt B. Von da aus gehen wir über den Winkel bei C zu dem unbenannten Winkel dort, das Dreieck heißt also BCD. Das ist das erste Dreieck. Jetzt lasst uns das andere anschauen. Auf den ersten Blick sieht dieses Beispiel in etwa so aus wie unser erstes. Aber es fällt auf, dass YZ definitiv nicht parallel zu ST ist. Wir können also nicht auf die korrespondierenden Winkel schließen. Vor allem sind die Seiten auch nicht als parallel gekennzeichnet. Der erste Eindruck täuscht also. Jetzt müssen wir herausfinden: Was ist gegeben und was ist nicht gegeben? Denn wenn die Seiten nicht als parallel gekennzeichnet sind, dürfen wir das auch nicht annehmen, selbst wenn sie wie Parallelen ausschauen würden. Eine Sache, die sicher ist, ist dieser Winkel hier, denn er ist beiden Dreiecken gemeinsam, dem inneren Dreieck und dem äußeren Dreieck. Außerdem haben wir mehrere Seiten gegeben. Es bietet sich daher vielleicht an, SWS zum Nachweis der Ähnlichkeit zu nutzen. d.h. wenn wir gleiche Verhältnisse der entsprechenden Seiten nachweisen können. Der Seiten, die dem gegebenen Winkel anliegen. Wenn die entsprechenden Seiten des kleineren und größeren Dreiecks dasselbe Verhältnis haben, dann können wir Ähnlichkeit nachweisen. Los geht`s. Wir müssen die dem Winkel anliegenden Seiten betrachten. Wir schauen uns zuerst die kürzere anliegende Seite an. Diese hat die Länge 2 (im kleinen Dreieck). Und für das größere Dreieck? Ja, hier liegt die kürzere Seite rechts zwischen Eckpunkt X und T. Was wir also vergleichen wollen ist das Verhältnis XY zu XT, und ob das gleich dem Verhältnis der langen Seiten ist. Wichtig, wir schauen auf die Länge der dem Winkel anliegenden Seiten und fragen uns, welche ist länger von diesen beiden (nicht: welche ist die längste im Dreieck), obwohl in diesem Fall ist sie es auch. Also noch einmal: Ist das Verhältnis der kürzeren anliegenden Seiten dasselbe wie das der längeren anliegenden Seiten? Es ist ein bischen schwierig, es sich vorzustellen, weil die beiden Dreiecke gespiegelt sind. Also die kürzere Seite des kleineren Dreiecks und des größeren Dreiecks, mit dem Winkel dazwischen und die längere Seite der beiden Dreiecke, jeweils dem Winkel anliegend. Also hier sind die kürzeren Seiten des kleineren Dreiecks und des größeren Dreiecks. Und hier sind die längeren Seiten des kleineren Dreiecks und des größeren Dreiecks. Wir sehen, die Seite XY ist 2 XT ist 3 plus 1, das ist zusammen 4. XZ ist 3 und XS ist 6. Das Verhältnis ist 2 zu 4, oder 1/2. dasselbe Verhältnis wie 3 zu 6. Das Verhältnis der kürzeren Seiten und der längeren Seiten, die dem Winkel anliegen ist also für beide Dreiecke gleich. Das Verhältnis ist gleich. Weil SWS gilt, wissen wir, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind. Wir müssen aber aufpassen, wie wir die Dreiecke beschreiben. weil ja die korrespondierenden Seiten in der gleichen Reihenfolge genannt werden müssen. Jetzt brauche ich mehr Platz. Ich schreibe hier oben weiter. Wir können schreiben: Das Dreieck XYZ ähnelt dem Dreieck - wie nennen wir das größere Dreieck? Wir beginnen bei X, dem Scheitelpunkt des Winkels Dann gehen wir zuerst über die kurze Seite zu Eckpunkt T und schließlich zu S. XTS! Dreieck XYZ ist ähnlich dem Dreieck XTS. Eine weitere Aufgabe. In dem größeren Dreieck haben wir hier einen rechten Winkel. Wir wissen aber keine Details über die kleineren Dreiecke. z.B. kennen wir ihre Winkel nicht. Das hier sieht zwar wie ein rechter Winkel aus, aber wir können nicht davon ausgehen. Und wenn wir uns dieses kleinere Dreieck hier anschauen, sehen wir, dass es eine gemeinsame Seite mit dem größeren Dreieck hat. Das ist aber nicht genug (um Ähnlichkeit zu beweisen). Und dieses andere Dreieck hier hat auch eine gemeinsame Seite. Aber das hilft nicht weiter. Wir können hier wirklich nicht zu der Aussage kommen, dass es Ähnlichkeit gibt. Es gibt keine Ähnlichkeit. Es gibt zwar einige gemeinsame Winkel, z.B. diesen Winkel haben das größere Dreieck und das kleinere Dreieck gemeinsam. Es könnte sich also um Ähnlichkeit der Dreiecke handeln, wenn wir definitiv wüssten, dass dieser Winkel ein rechter Winkel ist. Wenn das zutrifft, könnte man Ähnlichkeit attestieren, Aber das ist nicht sicher, daher können wir keine Aussage treffen. Nun zum nächsten Paar Dreiecke. Sie liegen voneinander getrennt vor. Es sind bei beiden alle 3 Seiten gegeben. Wir wollen jetzt die Verhältnisse der entsprechenden Seiten berechnen und sehen, ob sie übereinstimmen. Wir fangen mit der kurzen Seite an. Bei diesem Dreieck ist die kurze Seite 3. Und hier ist die kurze Seite 9 mal die Wurzel aus 3. Wir wollen sehen, ob das Verhältnis der kurzen Seiten zueinander ( 3 durch 9 mal Wurzel aus 3 ) dem der mittellangen Seiten zueinander (3 durch 27) entspricht. Und dann berechnen wir noch das Verhältnis der längsten Seiten zueinander. Die längste Seite hier ist 6 und bei diesem Dreieck ist sie 18 mal Wurzel von 3. Alle Verhältnisse müssen gleich sein, damit Ähnlichkeit attestiert werden kann. Jetzt vereinfachen wir durch Kürzen. Hier erhalten wir 1 durch Wurzel von 3. Hier erhalten wir 1 mal Wurzel von 3 durch 9. Das sieht anders aus, aber vorsichtig. Und hier kürzen wir Zähler und Nenner durch 6 und erhalten 1 durch 3 mal Wurzel von 3. Also 1 durch 3 mal Wurzel von 3 soll gleich Wurzel von 3 durch 9 und gleich 1 durch 3 mal Wurzel von 3 sein. Wir können hier noch vereinfachen Denn wenn wir diesen Bruch mit Wurzel von 3 erweitern, erhalten wir im Zähler Wurzel aus 3 und im Nenner Wurzel aus 3 mal Wurzel aus 3, was 3 ergibt mal 3 ergibt 9. Wir haben also gezeigt, dass die Gleichung stimmt, also alle Verhältnisse gleich sind. Die beiden Dreiecke sind also ähnlich. Das können wir sagen. Jetzt müssen wir sie noch benennen und die richtige Reihenfolge der Eckpunkte finden. Wir fangen mit E an, das sich zwischen der blauen und der lila Seite befindet. Der Punkt H in dem anderen Dreieck liegt auch zwischen blauer und lila Seite. Im ersten Dreieck gehe ich nun von E über die blaue Seite nach F und erhalte Dreieck EFG. Wie oben schon gesagt befindet sich E zwischen der blauen und der lila Seite. genau wie H. Als nächstes gehen wir entlang der blauen Seit zu Punkt F, entsprechend zu Punkt I im anderen Dreieck. und dann gehen wir entlang der orangen Seite zu Punkt G und hier entlang der orangen Seite zu Punkt J. Wir haben also Dreieck EFG und das ist dem Dreieck HIJ ähnlich, weil die Seitenverhältnisse gleich sind. Es handelt sich nicht um kongruente Dreiecke, weil die Seiten nicht gleich lang sind. Sie haben nur dasselbe Verhältnis zueinander. Jetzt gehen wir zum letzten Paar. Aha. Wir haben einen Winkel, der mit einem anderen übereinstimmt. und wir haben jeweils 2 Seiten gegeben. Verführerisch - vielleicht passt SWS? denn hier haben wir Seite-Winkel-Seite. Und auch das Verhältnis erscheint vielversprechend, denn 4 mal 2 ist ja 8. 5 mal 2 ist 10. Aber, aufgepasst! Es handelt sich nicht um entsprechende Seiten! Um SWS anwenden zu können, und die Verhältnisse zu berechnen, müssen die beiden Seiten S den Winkel einschließen (SWS). Hier ist das der Fall. Aber hier nicht, 4 ist zwar anliegend am Winkel, aber nicht 5. Wenn die 5 hier wäre, könnten wir Ähnlichkeit attestieren. Aber weil 5 nicht am Winkel anliegend ist, zusammen mit 4 den Winkel nicht einschließt, können wir auch nicht SWS anwenden. Es gibt keine Möglichkeit hier, Ähnlichkeit nachzuweisen in unserem letzten Beispiel.