Einführung in die Änhlichkeit von Dreiecken

Wenn wir das Dreieck ABC mit dem Dreieck XYZ vergleichen, ist es offensichtlich, dass sie nicht kongruent sind, denn sie haben unterschiedliche Seitenlängen. Trotzdem scheinen sie in einer besonderen Beziehung zueinander zu stehen. Erstens, alle entsprechenden Winkel sind gleich groß. Zum Beispiel hat der Winkel BAC dieselbe Größe wie der Winkel YXZ. Und auch der Winkel BCA ist kongruent zu Winkel YZX. Auch der Winkel ABC ist kongruent zu Winkel XYZ. Also alle entsprechenden Winkel sind gleich groß. Daraus folgt, dass die entsprechenden Seiten vergrößerte Versionen voneinander sind. Um von der Länge von XZ zur Länge von AC zu kommen, können wir einfach mit 3 multiplizieren. Um von der Länge von XY zur Länge von AB zu kommen, können wir ebenfalls mit 3 multiplizieren. Um von der Länge von YZ zur Länge von BC zu kommen, können wir ebenfalls mit 3 multiplizieren. Das Dreieck ABC ist also einfach eine vergrößerte Version von Dreieck XYZ. Wenn sie den gleichen Maßstab hätten, wären sie genau gleiche Dreiecke (kongruente Dreiecke). Sie sind aber nicht kongruent. Das eine ist nur größer, eine vergrößerte Version des anderen. Wenn du alle Seiten mit 3 multiplizierst, bekommst du dieses Dreieck. Es gibt also eine Beziehung zwischen diesen beiden Dreiecken. und wir nennen sie "Ähnlichkeit". Also wir können sagen, dass Dreieck ABC dem Dreieck XZY ähnlich ist. Das Dreieck ABC ist dem Dreieck XYZ ähnlich. Es gibt hierbei drei Gesichtspunkte, die man feststellen kann. und sie müssen alle zutreffen, wenn man es mit Ähnlichkeit zu tun hat: Erstens: Bei Ähnlichkeit ist ein Dreieck eine vergrößerte oder verkleinerte Version des anderen Dreiecks. Als wir uns mit dem Thema Kongruenz beschäftigt haben, war das etwas anders. Man konnte die Dreiecke drehen und spiegeln und dann mussten sie identisch sein. Ähnliche Dreiecke kannst du auch drehen und spiegeln, zusätzlich kannst du sie aber auch noch verkleinern oder vergrößern, um sie zur Deckung zu bringen. Wenn ein Dreieck CDE kongruent zu Dreieck FGH ist, dann ist es ihm immer auch ähnlich. Kongruente Dreiecke sind immer auch ähnliche Dreiecke. Umgekehrt stimmt es aber nicht. Wenn ein Dreieck ABC dem Dreieck XYZ ähnlich ist, - wie in diesem Beispiel - dann heißt das nicht, dass sie auch kongruent sind - hier im Beispiel ist das ganz sicher nicht der Fall. Das war Punkt eins. Zweitens: Bei Ähnlichkeit sind alle entsprechenden Winkel gleich groß. Wenn also etwas ähnlich ist, dann sind alle entsprechenden Winkel gleich groß. Also wenn wir sagen, dass Dreieck ABC dem Dreieck XYZ ähnlich ist, besagt das, dass der Winkel ABC kongruent zu - -oder man kann auch sagen, gleich groß wie - der Winkel XYZ ist. Ebenso ist der Winkel BAC kongruent zu Winkel YXZ. Und schließlich ist der Winkel ACB kongruent zu Winkel XZY. Wenn du also zwei Dreiecke hast, die alle Winkel gemeinsam haben, dann weißt du, dass es sich um ähnliche Dreiecke handelt. Oder wenn du zwei ähnliche Dreiecke gegeben hast, dann weißt du dass sie alle Winkel gemeinsam haben (die entsprechenden Winkel gleich groß sein) müssen. Drittens: Bei Ähnlichkeit müssen alle Seiten mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert vorliegen. Die entsprechenden Seiten des Dreiecks müssen um den gleichen Skalierungsfaktor verändert sein. In unserem Beispiel war der Skalierungsfaktor 3. Er muss nicht 3 sein. Der Skalierungsfaktor muss nur immer genau gleich groß sein für jede Seite. Wenn wir zum Beispiel diese Seite um den Faktor 3 vergrößern und diese Seite nur um den Faktor 2, dann würde es sich nicht mehr um ähnliche Dreiecke handeln. Wenn wir aber alle Seiten um den Faktor 7 vergrößern, dann erhalten wir ein ähnliches Dreieck, denn dafür müssen wir ja um exakt denselben Faktor vergrößern oder verkleinern. Ich werde es jetzt nochmal graphisch darstellen, ganz allgemein. Also hier zeichne ich das Dreieck ABC und hier das Dreieck XYZ. Wenn also diese beiden Dreiecke ähnlich sein sollen, dann müssen die korrespondierenden Seiten der Dreiecke eine vergrößerte (oder verkleinerte) Version voneinander sein. So könnten wir sagen, dass die Länge der Seite AB gleich dem Skalierungsfaktor - - nennen wir ihn k- (und der Skalierungsfaktor k kann kleiner als 1 sein) Also die Länge der Seite AB ist gleich dem Skalierungsfaktor k mal der Länge der Seite XY . (Die Seite XY korrespondiert nämlich mit der Seite AB) Also Skalierungsfaktor k mal XY. Ebenso wissen wir, dass die Länge von BC gleich demselben Skalierungfaktor k mal der Länge von YZ ist. Genauso wissen wir, dass die Länge von AC gleich dem gleichen Skalierungsfaktor k mal der Länge von XZ ist. Wenn das Dreieck ABC größer als XYZ ist, dann muss jeder mögliche Skalierungsfaktor k größer als 1 sein. Wenn es sich um kongruente Dreiecke handelt, dann ist k=1. Und wenn XYZ größer ist als ABC dann ist der Skalierungsfaktor kleiner als 1. Man kann es auch anders aufschreiben: Wenn wir in dieser Gleichung beide Seiten durch XY teilen erhalten wir AB durch XY ist gleich Skalierungsfaktor k. Jetzt sehen wir die zweite Gleichung an und teilen beide Seiten durch YZ. Wir erhalten BC durch YZ ist gleich diesem Skalierungsfaktor k. Und erinnere dich, in unserem Beispiel war der Skalierungsfaktor 3. Hier haben wir verallgemeinert und den Skalierungsfaktor k genannt. Ähnlichkeit liegt vor, wenn der Skalierungsfaktor für alle Seiten gleich groß ist. Und hier dasselbe. Wenn wir in dieser Gleichung beide Seiten durch XZ teilen, erhalten wir AC durch XZ ist gleich k. Jetzt sehen wir, dass das Verhältnis zwischen den entsprechenden Seiten also das Verhältnis zwischen AB und XY, das Verhältnis zwischen BC und YZ, und das Verhältnis zwischen AC und XZ immer die gleiche Konstante ergibt. Man kann auch schreiben, das AB durch XY gleich BC durch YZ und gleich AC durch XZ ist, nämlich gleich dem Skalierungsfaktor k ist. Zusammenfassend: Ähnliche Dreiecke liegen vor, wenn man sie ineinander überführen kann durch Drehen und/oder Spiegeln und/oder Vergrößerung oder Verkleinerung Immer sind alle korrespondierenden Winkel gleich groß und das Verhältnis korrespondierender Seiten ist gleich groß, und beträgt k, eine Konstante.