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Wir wissen bereits, dass die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks 180 Grad ergeben. Wir bezeichnen diesen Winkel mit a, diesen mit b und diesen Winkel mit c. Wir wissen, dass a plus b plus c gleich 180 Grad ist. Was ist aber, wenn wir ein Polygon (Vieleck) betrachten, welches mehr als drei Seiten hat? Wir betrachten nun den Fall mit einem vierseitigen Vieleck - ein Viereck. Ich zeichne ein unregelmäßiges Viereck, damit du gleich siehst, dass die Erkenntnisse dieses Beispiels für alle Vierecke gilt. Also nicht nur für gleichmäßige Vierecke mit rechten Winkeln und parallelen Seiten. Das sieht ein wenig zu parallel aus. Ich korrigiere das nochmal. Wir können nun auf den Erkenntnissen über Dreiecke aufbauen -- die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180 Grad. Wir könnten das Viereck in zwei Dreiecke aufteilen. Ich ziehe nun von diesem Punkt eine Gerade, um es in zwei Dreiecke aufzuteilen. Wenn dieser Winkel a ist, dieser b und dieser Winkel c ist, dann wissen wir, dass a plus b plus c gleich 180 Grad ergibt. Diesen Winkel bezeichne ich mit x, diesen mit y und diesen mit z. Wir wissen, dass x plus y plus z gleich 180 ergibt. Wenn wir nun die Summe aus allen inneren Winkeln bilden, rechnen wir a plus c -- das sind die inneren Winkel des Vielecks -- plus diesem großen Winkel, der aus a und x besteht. a plus x ist der ganze Winkel des Vierecks. Plus dem gegenüberliegenden Winkel, der aus c und y besteht. Wir wissen bereits, dass a plus b plus c 180 Grad ergibt und wir wissen, dass z plus x plus y gleich 180 Grad ist. Also rechnen wir plus 180, was 360 Grad entspricht. Ich denke, dass du die Grundidee erkennst. Wir müssen nur herausfinden, in wie viele Dreiecke du einen beliebigen Körper einteilen kannst und anschließend multiplizierst du die Anzahl der Dreiecke mit 180 Grad, weil jedes Dreieck 180 Grad hat. Wir machen nun ein weiteres Beispiel und dann werden wir den allgemeinen Fall besprechen, um herauszufinden wie viele Dreiecke in einen Körper passen. Ich zeichne ein unregelmäßiges Fünfeck. Eins, zwei, drei, vier, fünf. Es sieht ein wenig wie ein leicht gedrehtes Haus aus. Jetzt zeichnen wir wieder unsere Dreieck in das innere des Fünfecks. Das ist ein Dreieck und das ist ein weiteres Dreieck. Ich kann drei sich nicht überschneidende Dreiecke einzeichnen, die das Fünfeck komplett ausfüllen. Das ist ein Dreieck, das ist eins und das ist eins. Jedes dieser Dreieck hat 180 Grad, wenn wir die Summe aus ihren inneren Winkeln bilden. Die Summe dieser inneren Winkel der drei Dreiecke entspricht der Summe der inneren Winkel des Fünfecks. Die Aussage wollen wir jetzt nochmal nachvollziehen. Das ist ein innerer Winkel des Fünfecks und das hier auch. Wenn du die Summe von diesem Winkel und diesem bildest, dann erhälst du diesen inneren Winkel des Fünfecks. Wenn du diesen Winkel mit diesem addierst, erhälst du diesen inneren Winkel des Fünfecks. Wenn du nun noch diese drei Winkel zusammenrechnest, erhälst du den letzten Winkel des Fünfecks. Wenn du nun alle inneren Winkel aller Dreieck addierst, erhälst du die Summe aller inneren Winkel des Fünfecks. In diesem Beispiel hast du drei Dreiecke. 3 mal 180 Grad entspricht was? 300 plus 240 entspricht 540 Grad. Jetzt wollen wir unsere Erkenntnisse verallgemeinern. Für den allgemeinen Fall müssen wir bedenken, dass wir für zwei Dreiecke einen Körper mit vier Seiten brauchen. Wir brauchen alle vier Seiten dieses Vierecks. Wir haben vier Seiten der fünf Seiten dieses Fünfecks verwendet. Eins, zwei, drei, vier. Für vier Seiten brauchen wir zwei Dreiecke. Es sieht so aus, als bräuchten wir für jede weitere Seite, ein weiteres Dreieck. Wir testen das mal mit einem Sechseck. Ich prüfe nun, wie viele Dreiecke ich dort platzieren kann. Eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs Seiten. Sechs Seiten. Ich erhalte ein Dreieck mit diesen beiden Seiten. Das sind zwei Seiten des Sechsecks. Ich erhalte ein weiteres Dreieck mit diesen Seiten des Sechsecks. Es sieht so aus als würde ich nun mit jeder der übrigen Seiten ein Dreieck erhalten. Also ein Dreieck mit dieser Seite und eins mit dieser Seite. Wir können nun folgende Schlussfolgerung formulieren. Gegeben sind s Seiten, also ein s-seitiges Vieleck. also ein s-seitiges Vieleck. Wir nehmen nun an, -- wir haben bereits den Fall mit vier Seiten, fünf Seiten und sechs Seiten gesehen -- dass s größer als 4 ist. Gegeben ist also ein s-seitiges Vieleck und wir wollen nun wissen, wie viele nicht überlappende Dreicke das Vieleck perfekt ausfüllen. Wie viele Dreiecke passen rein? Anschließend kann ich die Anzahl der Dreiecke mit 180 Grad multiplizieren, um herauszufinden, was die Summe der inneren Winkel des Vielecks ausmacht. Wir bestimmen nun die Zahl der Dreiecke als Funktion der Anzahl an Seiten. Bedenke, vier Seiten benötigen wir, um zwei Dreiecke zu erzeugen. Wir haben also hier zwei Seiten und hier haben wir auch zwei Seiten. Ich kann hier ein Dreieck einzeichnen -- ich werde mich nur auf diesen Teil hier konzentrieren und die restlichen Seiten des Vielecks auslassen. Stell dir vor du hast ein große Stück schwarzes Zeichenpapier. Hier können noch viel mehr Seiten sein, über die ich mir nun aber keine Gedanken mache. Mit diesen beiden Seiten kann ich ein Dreieck zeichnen. Mit diesen zwei Seiten kann ich ein weiteres Dreieck zeichnen. Mit vier Seiten habe ich zwei Dreieck gezeichnet. Mit vier Seiten habe ich zwei Dreieck gezeichnet. Egal wie viele Seiten noch verbleiben, -- vier Seiten sind bereits verwendet, aber hier können noch viele weitere Seiten sein. Hier könnten viele weitere Seiten sein. Lass mich das ein wenig besser zeichnen. Hier sind noch viele weitere Seiten enthalten. Es sieht so aus als würde ich durch jede weitere Seite ein weiteres Dreieck einzeichnen können. Das ist ein Dreieck hier und ein Dreieck dort. Durch diese Seite erhalte ich ein Dreieck, durch diese Seite eins und ein weiteres Dreieck durch diese Seite. Dieser Körper ist sehr unregelmäßig -- eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn. Ist das korrekt? Eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn. Es ist ein Zehneck. In diesem Zehneck wurden vier Seiten durch zwei Dreiecke aufgebraucht. Ich habe zwei Dreiecke aus vier Seiten erhalten. Aus den restlichen Seiten habe ich sechs Dreieck konstruiert. Das sind sechs. Das ist eins, zwei, drei, vier, fünf. Lass mich sicherstellen, dass ich die Anzahl der Seiten richtig zähle. Ich habe eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn. Lass mich das sicherstellen. Habe ich korrekt gezählt? Jetzt fällt es mir auf. Ich habe mich verzählt, hier fehlt eine Gerade. Das sind zwei verschiedene Seiten und deswegen muss ich hier eine Linie einzeichnen. Wir erhalten hier also ein weiteres Dreieck. Jetzt stimmt es. Wir erhalten zwei Dreieck mit diesen vier Seiten und aus den restlichen sechs Seiten können wir für jede Seite ein weiteres Dreieck konstruieren. Also plus sechs Dreiecke. Wir haben also insgesamt acht Dreiecke. Wir können nun den allgemeinen Fall bestimmen. Mit den ersten vier Seiten konstruieren wir zwei Dreiecke. Ich notiere das. Die Anzahl der Dreieck entspricht also 2. Jetzt haben wir vier Seiten verbraucht und mit den restlichen Seiten erhalten wir jeweils ein Dreieck. Die restlichen Seiten sind also s minus 4. Die Anzahl der Dreieck sind also 2 plus s minus 4. 2 plus s minus 4 ergibt s minus 2. Wenn ich ein s-seitiges Vieleck habe, dann kann ich es mit s minus 2 Dreiecken perfekt ausfüllen, ohne das sie sich überschneiden. Daraus folgern wir, dass wenn ein s-seitiges Vieleck aus s minus 2 Dreiecken besteht, die Summe der inneren Winkel insgesamt s minus 2 mal 180 Grad groß ist. Das ist ein ziemlich cooles Ergebnis. Wenn dir jemand sagt, dass er ein 102-seitiges Vieleck hat -- s ist also gleich 102 -- dann kannst du die Summe der inneren Winkel berechnen. Die Anzahl der inneren Winkel ist 102 - 2 und das multiplizierst du mit 180 Grad, was 180 mit zwei weiteren Nullen ergibt. Die inneren Winkel eines 102-seitigen Vielecks haben insgesamt 18.000 Grad.