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Gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm - Beweis

Video-Transkript

Wir werden in diesem Video ein paar eher unkomplizierte Wir werden in diesem Video ein paar eher unkomplizierte parallelogrammbezogene Beweise führen. Und bei diesem ersten hier haben wir das Parallelogram ABCD und wir wollen beweisen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Also beweisen, dass AB gleich DC und dass AD gleich BC ist. Ich zeichne hier eine Diagonale. Und diese Diagonale, abhängig davon, wie du sie betrachtest, schneidet zwei Gruppen paralleler Strecken. Man könnte sie auch als Transversale bezeichnen. Aber lass mich das etwas ordentlicher zeichnen. Das kriege ich besser hin. Nein. Das ist nicht besser. Das ist das Beste was ich hinkriege. Also wenn wir DB, diese Diagonale DB anschauen, können wir sie als Transversale zu den parallelen Strecken AB und DC betrachten. können wir sie als Transversale zu den parallelen Strecken AB und DC betrachten. Und wenn du das so betrachtest, kannst du herauslesen, dass der Winkel ABD kongruent-- ABD, das ist der Winkel dort drüben-- dass der Winkel ABD kongruent-- ABD, das ist der Winkel dort drüben-- kongruent zum Winkel BDC ist. Weil sie Wechselwinkel sind. Du hast eine Transversale -- parallele Strecken. Also wissen wir, dass der Winkel ABD kongruent zu Winkel BDC ist. Nun könntest du diese Diagonale, BC -- Nun könntest du sie als Transversale dieser beiden parallelen Strecken, des anderen Paares paralleler Strecken, AD und BC betrachten. des anderen Paares paralleler Strecken, AD und BC betrachten. Und wenn du sie so betrachtest, siehst du sofort, dass der Winkel DBC da drüben kongruent zum Winkel ADB sein muss, aus genau dem gleichen Grund. kongruent zum Winkel ADB sein muss, aus genau dem gleichen Grund. Sie sind Wechselwinkel einer Transversalen, die diese beiden Parallelen schneidet. Sie sind Wechselwinkel einer Transversalen, die diese beiden Parallelen schneidet. Also schreibe ich das so auf. Die Wechselwinkel sind kongruent wenn du eine Transversale hast, die zwei Parallelen schneidet. Die Wechselwinkel sind kongruent wenn du eine Transversale hast, die zwei Parallelen schneidet. Die Wechselwinkel sind kongruent wenn du eine Transversale hast, die zwei Parallelen schneidet. Und wir sehen auch, dass diese beiden Dreiecke, Dreieck ADB und Dreieck CDB sich beide diese Seite hier teilen. Sie ist offensichtlich gleich sich selbst. Warum ist das nützlich? Nun, du merkst vielleicht, dass wir gerade gezeigt haben, dass beide Dreiecke diesen rosa Winkel haben. Dann haben sie noch diese Seite gemeinsam. Und dann haben sie beide den grünen Winkel. Rosa Winkel, gemeinsame Seite und dann der grüne Winkel. Also haben wir gerade mit Winkel-Seite-Winkel gezeigt, dass diese beiden Dreiecke kongruent sind. Also schreibe ich das auf. Wir haben gezeigt, dass Dreieck-- Ich gehe von unbeschrieben zu rosa zu grün-- ADB kongruent zu Dreieck --unbeschrieben zu rosa zu grün-- CBD ist. Und das kommt durch die Winkel-Seite-Winkel-Kongruenz. Und was heißt das für uns? Nun, wenn zwei Dreiecke kongruent sind, dann sind alle korrespondierenden Eigenschaften dieser beiden Dreiecke kongruent. dann sind alle korrespondierenden Eigenschaften dieser beiden Dreiecke kongruent. Im Besonderen entspricht Seite DC hier am unteren Dreieck Seite BA am oberen Dreieck. Insbesondere entspricht Seite DC hier am unteren Dreieck Seite BA am oberen Dreieck. Also müssen sie kongruent sein. Also ist DC gleich BA. Und dass ist so, da sie einander entsprechende Seiten kongruenter Dreiecke sind. Und dass ist so, da sie einander entsprechende Seiten kongruenter Dreiecke sind. Also ist das gleich das. Und aus genau derselben Logik entspricht AD CB. AD ist gleich CB. Aus genau dem selben Grund: einander entsprechende Seiten kongruenter Dreiecke. Aus genau dem selben Grund: einander entsprechende Seiten kongruenter Dreiecke. Und damit sind wir fertig. Wir haben bewiesen, dass gegenüberliegende Seiten kongruent sind. Nun lass uns das umkehren. Angenommen, wir haben irgendeine Art Viereck, und wir wissen, dass gegenüberliegende Seiten kongruent sind. Können wir beweisen, dass das ein Parallelogramm ist? Nun, es ist eigentlich der gleiche Beweis nur umgekehrt. Wir zeichnen hier eine Diagonale ein, da wir eine Menge über Dreiecke wissen. Okay. Das ist der schwierigste Teil. Zeichnen. Das ist ziemlich gut. Okay. Wir wissen natürlich, dass CB sich selbst gleicht. Also zeichne ich das so. Natürlich, weil es dieselbe Linie ist. Und dann haben wir etwas Interessantes hier. Wir haben dieses Viereck in zwei Dreiecke geteilt, Dreieck ACB und DBC. Wir haben dieses Viereck in zwei Dreiecke geteilt, Dreieck ACB und DBC. Und merke, alle drei Seiten dieser beiden Dreiecke gleichen einander. Und merke, alle drei Seiten dieser beiden Dreiecke gleichen einander. Also wissen wir durch Seite-Seite-Seite, dass sie kongruent sind. Also wissen wir, dass Dreieck A-- und wir fangen an mit A, dann gehe ich zur eingestrichenen Seite. Also ACB ist kongruent zu Dreieck DBC. Aufgrund von Seite-Seite-Seite-Kongruenz. Und was heißt das für uns? Nun es sagt uns, dass alle korrespondierenden Winkel kongruent sind. Zum Beispiel, Winkel ABC ist-- lass mich das kennzeichnen. Du kannst sagen, ABC ist kongruent zu DCB. Und du kannst sagen, kongruent, aufgrund der korrespondierenden Winkel kongruenter Dreiecke. Und du kannst sagen, kongruent, aufgrund der korrespondierenden Winkel kongruenter Dreiecke. Ich kürze das hier ab um Zeit zu sparen. ABC ist also kongruent zu DCB, also sind diese beiden Winkel kongruent. Und das ist interessant, weil du hier eine Strecke hast. Und sie schneidet AB und CD. Und wir sehen ganz klar, dass diese Winkel, die kongruente Wechselwinkel sein könnten, kongruent sind. Und weil wir diese kongruenten inneren Wechselwinkel haben, wissen wir, dass AB parallel zu CD sein muss. Also muss das parallel zu dem sein. Also wissen wir, dass AB parallel zu CD ist, da sie Wechselwinkel einer Transversalen sind, die die Parallelen schneidet. da sie Wechselwinkel einer Transversalen sind, die die Parallelen schneidet. Und jetzt können wir dieselbe Logik benutzen. Wir wissen auch, dass Winkel -- jetzt keinen Fehler machen. Winkel ACB kongruent zu Winkel DBC ist. Und wir wissen das, weil einander entsprechende Winkel kongruenter Dreiecke kongruent sind. Und wir wissen das, weil einander entsprechende Winkel kongruenter Dreiecke kongruent sind. Also sagen wir, dass dieser Winkel ist gleich diesem Winkel. Nun, noch einmal, diese könnten Wechselwinkel sein. Sie sehen so aus als wären sie es. Das ist eine Transversale. Und hier sind zwei Strecken, bei denen wir nicht sicher sind, ob sie parallel sind. Aber weil Wechselwinkel kongruent sind, wissen wir, dass sie parallel sind. Also ist das parallel zu dem. Also wissen wir, dass AC parallel zu BD ist. Durch die Wechselwinkel. Und wir sind fertig. Was wir hier gemacht haben ist-- es ist interessant. Wir haben gezeigt, dass in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben. Und wenn gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann hast du ein Parallelogramm. Also haben wir es tatsächlich in beide Richtungen bewiesen. Also können wir tatsächlich etwas formulieren, was "Dann, und nur dann"-Aussage genannt wird. Also können wir tatsächlich etwas formulieren, was "Dann, und nur dann"-Aussage genannt wird. Du könntest sagen, gegenüberliegende Seiten eines Vierecks sind parallel, dann, und nur dann, wenn ihre Längen gleich sind. Und du sagst dann, und nur dann. Also wenn sie parallel sind, dann kannst du sagen ihre Länge ist gleich. Und nur dann, wenn ihre Länge gleich ist, sind sie parallel. Wir haben es in beide Richtungen bewiesen.