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Beweis: Die Diagonalen eines Drachens sind senkrecht zueinander

Video-Transkript

In diesem Video möchte ich beweisen, dass die Strecke AC senkrecht zu der Strecke DB verläuft. Für den Beweis werde ich nur die Informationen der Zeichnung verwenden. Für den Beweis werde ich nur die Informationen der Zeichnung verwenden. Diese Seite ist so lang wie diese Seite und diese Seite ist so lang wie die andere. Wir werden auch einige Kongruenzaxiome verwenden. Wir werden auch einige Kongruenzaxiome verwenden. Ich werde sie ab jetzt nur noch Axiome oder Kongruenzsätze nennen. Axiome, die wir kennen -- ich zeichne hier eine Linie ein. Das ist unser Werkzeugkasten. Wir haben das erste Axiom, welches besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn die drei Seiten der Dreiecke kongruent sind. Wir haben das zweite Axiom, welches besagt: Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel kongruent sind, dann sind die beiden Dreiecke kongruent. Das dritte Axiom gilt für zwei Winkel und die dazwischen liegende Seite. Und das letzte Axiom für zwei Winkel und eine Seite. Dies sind die Axiome mit denen wir Kongruenz nachweisen können. Dies sind die Axiome mit denen wir Kongruenz nachweisen können. Dies sind die Axiome mit denen wir Kongruenz nachweisen können. Ich werde den Beweis mit Hilfe einer Tabelle führen. Ich werde den Beweis mit Hilfe einer Tabelle führen. Dieses Verfahren siehst du normalerweise Dieses Verfahren siehst du normalerweise in Einführungsveranstaltungen für Geometrie und deswegen zeige ich es dir jetzt. Wir verwenden ein einfaches Prinzip, wir stellen eine Behauptung auf und begründen diese. Im Grunde haben wir das bei jedem Beweis gemacht, die Struktur ist nur etwas strikter. Ich zeichne hier eine Linie, so dass ich hier zwei Spalten einzeichnen kann. Dann notiere ich eine Behauptung und begründe sie. Dann notiere ich eine Behauptung und begründe sie. Zunächst werde ich mit dem ersten Axiom oder dem ersten Kongruenzsatz beweisen, dass das Dreieck CDA kongruent zu Dreieck CBA ist. das Dreieck CDA kongruent zu Dreieck CBA ist. Das ist ein guter Start, denn wenn ich die Kongruenz einmal nachweisen kann, dann kann ich auf dieser Erkenntnis aufbauen. Der Grund warum ich das beweisen kann ist, dass diese Seite und diese Seite gleich sind, diese Seite gleicht dieser und beide teilen sich die mittlere Strecke. Nun möchte ich das gerade besprochene in diese Tabelle eintragen. Nun möchte ich das gerade besprochene in diese Tabelle eintragen. Die Strecke CD ist genau so lang wie CB. Die Strecke CD ist genau so lang wie CB. CD ist gleich CB, das ist gegeben. CD ist gleich CB, das ist gegeben. Diese Seiten sind gleich lang. Wir wissen auch, dass DA genau so lang ist wie die Strecke BA. Wir wissen auch, dass DA genau so lang ist wie die Strecke BA. DA ist genau so lang wie BA. Das ist auch durch die Zeichnung gegeben. Wir wissen auch, dass CA gleich CA ist. Wir wissen auch, dass CA gleich CA ist. Wir wissen auch, dass CA gleich CA ist. Die Seite ist in beiden Dreiecken enthalten. Diese Eigenschaft ist auch durch die Zeichnung gegeben. Diese Eigenschaft ist auch durch die Zeichnung gegeben. Das ist offensichtlich. Die Dreiecke teilen sich diese Seite. Wir haben zwei Dreiecke. Die anliegenden Seiten sind gleich lang und deswegen wissen wir, dass sie kongruent sind. Wir wissen, dass das Dreieck CDA kongruent zu dem Dreieck CBA ist. Wir wissen, dass das Dreieck CDA kongruent zu dem Dreieck CBA ist. Wir wissen das durch das erste Kongruenzaxiom. Wir wissen das durch das erste Kongruenzaxiom. Ich nummeriere die Behauptungen, damit ich mich einfacher darauf beziehen kann. 1,2,3 und 4. Wir haben das erste Axiom verwendet und beziehen es auf die Behauptungen 1,2 und 3. Das Axiom und die Behauptungen 1,2 und 3 ermöglichen uns die Folgerung, dass die zwei Dreieck kongruent sind. Wenn die Dreiecke kongruent sind, dann wissen wir, dass die Gegenwinkel gleich sind. wissen wir, dass die Gegenwinkel gleich sind. Zum Beispiel, dieser Winkel entspricht diesem Winkel. Wir machen daraus eine Behauptung. Wir wissen, dass Winkel DCE -- das wird nun Behauptung 5 -- wir wissen, dass der Winkel DCE, das ist dieser Winkel hier, genau so groß ist wie Winkel BCE. Wir können auch sagen, dass sie kongruent sind. Der Winkel DCE ist genau so groß wie der Winkel BCE. wie der Winkel BCE. Das schließen wir direkt aus der Behauptung 4. Ich schreibe Kongruenz in Klammern. Kongruenz der Dreiecke. Wir können das direkt ableiten, weil beide Winkel zusammen diesen großen Winkel formen und damit Gegenwinkel sind. diesen großen Winkel formen und damit Gegenwinkel sind. Sie sind damit genau gleich groß. Es sieht so aus als könnten wir etwas sehr interessantes mit den zwei oberen Dreiecken machen. Wir haben eine gemeinsame Seite, zwei anliegende kongruente Seiten, zwei kongruente Winkel und sie teilen sich diese Seite hier. Sie teilen sich diese Seite hier. Zunächst wollen wir feststellen, dass sie sich diese Seite teilen. Das wird Behauptung 6. Die Länge der Strecke CE entspricht ihrer eigenen Länge. Das ist offensichtlich. Das ist das Gleiche. Man sieht es offensichtlich in der Zeichnung. Ich notiere, dass es offensichtlich durch die Zeichnung ist. Diese Information können wir jetzt verwenden. Wir haben hier keine drei Seiten, weil wir noch nicht bewiesen haben, dass diese Seite gleich dieser Seite ist, also DE gleich EB. Wir haben aber eine Seite, einen Winkel der von zwei Seiten eingeschlossen wird und eine weitere Seite. Das sind wichtige Eigenschaften für den zweiten Kongruenzsatz, unser zweites Axiom. Mit dem zweiten Kongruenzsatz können wir folgern, dass das Dreieck DCE kongruent zu dem Dreieck BCE ist. Wenn ich die Bezeichnung der Dreieck eintrage, möchte ich sicherstellen, dass ich einen Bezugspunkt herstelle. Ich habe mit D angefangen, dann zu C und dann zu E. Der Gegenwinkel oder Bezugspunkt oder Eckpunkt für dieses Dreieck hier ist B. Bezugspunkt oder Eckpunkt für dieses Dreieck hier ist B. Wenn ich bei D anfange, fange ich hier mit B an. C in der Mitte ist der Scheitelpunkt für jedes der Dreiecke, also schreibe ich es in die Mitte. Und dann landen beide bei E. So möchte ich sicherstellen, dass wir festlegen was sich auf was bezieht. Durch den zweiten Kongruenzsatz wissen wir, dass dies wahr ist. Durch die erste Behauptung wissen wir, dass diese zwei Seiten kongruent sind. dass diese zwei Seiten kongruent sind. Die Kongruenz dieser zwei Winkel haben wir durch die Behauptung 5 gezeigt Die Kongruenz dieser zwei Winkel haben wir durch die Behauptung 5 gezeigt und Behauptung 6 hat uns die andere Seite geliefert. Behauptung 6. Wenn wir wissen, dass diese Dreiecke kongruent sind, bedeutet das, dass alle Gegenwinkel kongruent sind. bedeutet das, dass alle Gegenwinkel kongruent sind. Wir wissen also, dass dieser Winkel hier mit diesem Winkel kongruent ist. Das notiere ich. Behauptung 8 ist, dass die Winkel DEC und BEC gleich sind. Winkel DEC und BEC gleich sind. Das können wir direkt von Behauptung 7 ableiten. Nochmal, sie sind kongruent. Kongruenz. Behauptung 9. Nun behaupte ich für Nummer 9, dass Winkel DEC und Winkel BEC Supplementärwinkel sind. dass Winkel DEC und Winkel BEC Supplementärwinkel sind. Sie sind supplementär und das kannst du auch schon an der Zeichnung sehen. das kannst du auch schon an der Zeichnung sehen. Supplementär bedeutet, dass sie zusammen 180 Grad ergeben. Wir wissen das, da sie angrenzende Winkel sind und die äußeren Seiten einen gestreckten Winkel bilden. Winkel sind und die äußeren Seiten einen gestreckten Winkel bilden. Wenn wir wissen, dass diese Winkel gleich sind und wir wissen, dass sie komplementär sind, dann können wir im nächsten Schritt ableiten, dass sie 90 Grad groß sind. können wir im nächsten Schritt ableiten, dass sie 90 Grad groß sind. Behauptung 10, der Winkel DEC ist so groß wie der Winkel BEC, welcher 90 Grad groß ist. Als Begründung für diese Behauptung Als Begründung für diese Behauptung verbinden wir Behauptung 8 und 9. Aus Behauptung 8 und 9 folgern wir, dass Winkel DEC plus dem Winkel -- eigentlich möchte ich nicht so viele Schritte gleichzeitig machen. eigentlich möchte ich nicht so viele Schritte gleichzeitig machen. eigentlich möchte ich nicht so viele Schritte gleichzeitig machen. Ich mach es anders. Winkel DEC plus Winkel BEC ergibt 180. Winkel DEC plus Winkel BEC ergibt 180. Wir schließen direkt aus Punkt 9, dass sie supplementär sind. Die nächste Behauptung ist Behauptung 11 und hier sagen wir, dass Winkel DEC plus Winkel DEC 180 Grad ergibt. Winkel DEC plus Winkel DEC 180 Grad ergibt. Das wissen wird durch Behauptung 9. Wir wissen das durch Behauptung 9 und Behauptung 8. Im Grunde haben wir Behauptung 9 verwendet und BEC mit DEC ersetzt. und BEC mit DEC ersetzt. In Behauptung 12 stellen wir fest, dass Winkel DEC 90 Grad misst und dem Winkel BEC gleicht. dem Winkel BEC gleicht. Diese Erkenntnisse folgern wir aus Behauptung 11 und 8. Diese Erkenntnisse folgern wir aus Behauptung 11 und 8. Du siehst, der Beweis dauert etwas länger, weil ich jeden Schritt einzeln gehe. In anderen Beweisen hätte ich schnellere Schlussfolgerungen gezogen. Wir sind fertig. Denn wenn diese Winkel 90 Grad haben -- lass mich die Behauptung aufschreiben. Das ist dann Behauptung 13. Das ist das, was wir beweisen wollten. Wir wollten beweisen, dass AC senkrecht zu DB verläuft. Wir wollten beweisen, dass AC senkrecht zu DB verläuft. AC verläuft senkrecht zu DB, AC verläuft senkrecht zu DB, das können wir direkt aus Punkt 12 folgern. Damit sind wir fertig. Wir haben nun einen Beweis über eine Tabelle geführt und bewiesen, dass diese Strecke hier senkrecht zu dieser Strecke verläuft. Wir haben das mit den Kongruenzsätzen bewiesen.