Diagonalen von Rauten sind Mittelsenkrechten - Beweis

Wir müssen feststellen ob das Viereck ABCD eine Raute ist. Und was sie von uns wissen wollen ist, ob deren Diagonalen senkrecht sind, also dass AC senkrecht ist zu BD. Lasst uns überlegen was wir alles über eine Raute wissen. Zunächst einmal ist die Raute ist eine spezielle Art eines Parallelogramm. Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden seiten parallel. Also ist diese Seite parallel zu dieser Seite. Diese beiden Seiten sind parallel. Doch in einer Raute sind nicht nur die gegenüberliegenden Seiten parallel... Es ist ein Parallelogramm, jedoch haben alle Seiten die selbe Länge. Also entspricht diese Seite dieser hier, welche wiederum dieser Seite gleich ist, welche wieder dieser Seite hier entspricht. Jetzt gibt es noch andere interessante Dinge die wir über die Diagonalen eines Parallelogramms wissen. Wir kennen alle Rauten sind Parallelogramme . Umgekehrt ist das jedoch nicht unbedingt wahr. Wir wissen, dass bei jedem Parallelogramm -- und ein Raute ist ein Parallelogramm -- die Diagonalen sich gegenseitig halbieren. Also zum Beispiel, lass mich kurz diesen Punkt in der Mitte markieren. Lass mich den Punkt E. markieren. Wir wissen, dass AE gleich ist zu EC. Ich mache hier mal zwei Striche. Und wir wissen auch, dass EB ED gleich sein wird. Also das ist alles was wir wissen wenn uns jemand sagt, dass ABCD eine Raute ist, basierend auf anderen Dingen, welche wie bereits geprüft haben Jetzt müssen wir überprüfen ob AC senkrecht zu BD ist. Also eine interessante Möglichkeit dies zu überprüfen--und du kannst nur durch Anschauen erkennen, dass dieses Dreieck deckungsgleich zu diesem Dreieck ist, und dass diese beiden Winkel hier einander übereinstimmen. Dann müssen sie gleich sein. Und sie sind ergänzend, und bilden somit 90 Grad. Lasst es uns also für uns beweisen. Das erste, was wir sehen ist: wir haben eine Seite, noch eine Seite , und noch eine Seite -- eine Seite, noch eine Seite und noch eine Seite. Also wir sehen hier das Dreieck-- Lass mich das in einer neuen Farbe schreiben. Wir sehen, dass Dreieck ABE deckungsgleich ist zu Dreieck CBE. Wir wissen das durch eine Seite-Seite-Seiten Deckungsgleichheit. Wir haben eine Seite, eine Seite, und noch eine Seite --- eine Seite noch eine Seite und noch eine Seite. Und dann wissen wir, dass alle entsprechenden Winkel deckungsglecih sind. Und vor allem wissen wir, dass der Winkel AEB dem Winkel CEB deckungsgleich sein wird. Weil sie entsprechende Winkeln von deckungsgleichen Dreiecken sind. Also ist dieser Winkel hier gleich zu diesem Winkel hier. Und wir wissen auch, dass sie sich ergänzen. Lass es mich so schreiben. Sie sind deckungsgleich, und sie sind sich ergänzend. Diese beiden haben also das selbe Maß und sie müssen sich zu 180 Grad ergänzen . Also wenn ich zwei Dinge habe die gleich sind und sie sich zu 180 Grad ergänzen, was sagt mir das? Also das sagt mir, dass das Maß des Winkel AEB gleich ist dem Maß von Winkel CEB, welcher jeweils 90 Grad entsprechen muss. Sie haben die selben Maße, und sie sind sich ergänzend. Das ist also ein rechter Winkel, und das ist dann ebenso ein rechter Winkel. Und natürlich, wenn dieser ein rechter Winkel ist, dann ist dieser Winkel hier unten ein Scheitelwinkel. Wenn das hier ein rechter Winkel ist, wird das hier ein Scheitelwinkel sein. Und du siehst die Diagonalen schneiden sich in einem Winkel von 90 Grad. Also wir haben nun überprüft -- und das ist interessant Ein Parallelogramm, dessen Diagonalen einander halbieren . Für eine Raute, bei dem alle Seiten gleich sind, haben wir gezeigt sie halbieren sich nicht nur gegenseitig sondern sie sind senkrechte Seitenhalbierende voneinander.