Gegenwinkel im Parallelogramm - Beweis

In diesem Video möchte ich beweisen, dass die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms kongruent sind. Zum Beispiel möchte ich zeigen, dass CAB kongruent zu BDC ist. Dieser Winkel entspricht diesem Winkel und ABD, das ist dieser Winkel, ist kongruent zu DCA, also dieser Winkel hier. Zuerst stellen wir fest, dass wir hier parallele Geraden und einige Transversale haben und die parallelen Geraden und die Transversalen tauschen ihre Rollen. Ich verlängere nun die Gerade, um zu verdeutlichen, dass die Transversalen die parallelen Geraden schneiden. Du kannst auch das Video pausieren und den Beweis selbst versuchen. Du musst dafür nur die Winkel betrachten, die an den Schnittpunkten entstehen. Dieser Winkel hier -- ich wechsel kurz die Farbe, weil gelb habe ich bereits verwendet. Fangen wir mit dem Winkel BDC an. Ich werde das hier markieren. Der Innenwinkel BDC ist genau so groß wie dieser Wechselwinkel zu BDC. Tatsächlich können wir diesen Punkt hier verlängern. Ich bezeichne diesen Punkt mit E. Winkel CDB ist also kongruent zu seinem Wechselwinkel EBD. Das ist eine Transversale. Diese beiden Geraden sind parallel. AB oder AE ist parallel zu CD. Gut. Wenn wir nun den Betrachtungswinkel ändern und stattdessen BD und AC als parallele Geraden und AB als transversale betrachten, dann sehen wir, dass Winkel EBD kongruent zu Winkel BAC ist, weil sie Stufenwinkel sind. Stufenwinkel sind gleich groß. Der Winkel EBD ist also kongruent zu dem Winkel BAC, beziehungsweise zum Winkel CAB. Sie sind Stufenwinkel. Wenn dieser Winkel kongruent zu diesem Winkel ist und dieser Winkel zu diesem Winkel kongruent ist, dann sind diese Winkel auch kongruent zueinander. Also Winkel -- lass es mich richtig notieren-- CDB oder sagen wir BDC ist kongruent zu Winkel CAB. Damit haben wir den ersten Teil bewiesen und um nun diese Kongruenz zu beweisen, werden wir die gleiche Logik verwenden. Zunächst betrachten wir diese Gerade als Transversale. AC ist die Transversale von AB und CD. Ich zeichne nun wieder eine Hilfestellung ein. Dieser Punkt hier ist F. Wir wissen also, dass der Winkel ACD zu dem Winkel FAC kongruent ist, weil er ein Wechselwinkel ist. Nun ändern wir wieder unseren Betrachtungswinkel. AC und BD sind nun parallele Geraden und AB ist die Transversale. Der Winkel FAC ist kongruent zu dem Winkel ABD, weil es Stufenwinkel sind. Winkel FAC und Winkel ABD sind Stufenwinkel. Zu Beginn haben wie diese Gerade als Transversale betrachte, AC ist eine Transversale von AB und CD, welche parallele Geraden sind. Nun ist AB die Transversale und BD und AC sind die parallelen Geraden. Offensichtlich gilt, dass wenn dieser Winkel zu diesem Winkel kongruent ist und dieser zu diesem kongruent ist, dann sind diese beiden auch kongruent. Wir sehen also, dass gegenüberliegende Winkel kongruent sind -- oder wenn wir ein Parallelogramm haben, dann sind die gegenüberliegenden Winkel kongruent.