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Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 3

Lektion 4: Theoreme über die Eigenschaften von Dreiecken

Eigenschaften von Kongruenz und Gleichheit

Lerne, wann die Spiegeleigenschaften, die transitiven und symmetrischen Eigenschaften in geometrischen Beweisen anzuwenden sind. Lerne die Beziehung zwischen gleichen Maßen und kongruenten Figuren.

Es gibt viele Arten, Beweise zu aufzuschreiben, und einige sind stärker formalisiert als andere. In sehr formalen Beweisen leiten wir Sätze her, die dir vielleicht als selbstverständlich vorkommen. Wir beweisen sie deshalb, weil diese Sätze nur für bestimmte Relationen gelten. Was zum Beispiel für die Relation "Gleichheit" zutrifft, gilt nicht unbedingt für die Relation "Ungleichheit".

Schauen wir uns einige dieser Eigenschaften an. Wir verwenden das Symbol

★

, um eine unbekannte Beziehung zu darzustellen.

Reflexivität

Wenn eine Relation

★

reflexiv ist, bedeutet dies: die Beziehung trifft immer zwischen einer Sache und sich selbst zu. Also

A ★ A

Beispiele für transitive Relationen

Beziehung	Symbol	Beispiel
Gleichheit	$=$ ‍	$- 5 \frac{3}{8} = - 5 \frac{3}{8}$ ‍
Kongruenz	$≅$ ‍	$∠ M N P ≅ ∠ M N P$ ‍
Ähnlichkeit	$\sim$ ‍	$△ M N P \sim △ M N P$ ‍

Sehr oft verwenden die Reflexivität, wenn wir Figuren mit Seiten oder Winkel betrachten.

Wenn wir über

△ M N Q

und

△ P N Q

sprechen, könnten angeben, dass

\overset{―}{N Q} ≅ \overset{―}{N Q}

gilt - wegen der Reflexivität.

Was sind Relationen, für die das nicht gilt?

Strenge Ungleichungen haben keine reflexive Eigenschaft. Zum Beispiel:

3 ≮ 3

Jemandes Mutter zu sein ist nicht reflexive. Ich bin nicht meine eigene Mutter.

Symmetrie

Wenn eine Relation

★

eine symmetrisch ist, bedeutet das: Wenn Relation zwischen zwei Dingen gilt, gilt sie in beiden Richtungen. Wenn

A ★ B

, dann

B ★ A

Beispiele für transitive Relationen

Relation	Symbol	Beispiel
Gleichheit	$=$ ‍	Wenn $8 = 11 - 3$ ‍, dann $11 - 3 = 8$ ‍.
Kongruenz	$≅$ ‍	Wenn $\overset{―}{V W} ≅ \overset{―}{X Y}$ ‍, dann $\overset{―}{X Y} ≅ \overset{―}{V W}$ ‍.
Ähnlichkeit	$\sim$ ‍	Wenn $A B C D \sim L M N P$ ‍, dann $L M N P \sim A B C D$ ‍.
Parallelität	$∥$ ‍	Wenn Gerade $m ∥$ ‍ Gerade $n$ ‍, dann Gerade $n ∥$ ‍ Gerade $m$ ‍.
Orthogonalität	$⊥$ ‍	Wenn $\vec{S T} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{U V}$ ‍, dann $\overset{\leftrightarrow}{U V} ⊥ \vec{S T}$ ‍.

Im Allgemeinen ist Freundschaft eine symmetrische Relation. Wenn Alaia ein Freund von Kolton ist, dann ist Kolton ein Freund von Alaia.

Was sind Relationen, für die das nicht gilt?

Ungleichheit ist nicht symmetrisch. Zum Beispiel

10 < 100

, aber

100 ≮ 10

Jemandes Mutter zu sein ist auch keine symmetrische Relation. Wenn Karin Santino's Mutter ist, kann Santino nicht Karin's Mutter sein

Transitivität

Wenn eine Beziehung

★

eine transitive Eigenschaft hat, dann beziehen sich zwei Dinge, die sich auf ein gemeinsames Mittelding beziehen, auch aufeinander. Wenn

A ★ B

und

B ★ C

, dann ist

A ★ C

Beispiele für transitive Relationen

Relation	Symbole	Beispiel
Gleichheit	$=$ ‍	Wenn $m ∠ F = m ∠ G$ ‍ und $m ∠ G = m ∠ H$ ‍, dann $m ∠ F = m ∠ H$ ‍.
Kongruenz	$≅$ ‍	Wenn $△ R S T ≅ △ W X Y$ ‍ und $△ W X Y ≅ △ F G H$ ‍, dann $△ R S T ≅ △ F G H$ ‍.
Ähnlichkeit	$\sim$ ‍	Wenn circle $A \sim$ ‍ circle $B$ ‍ und circle $B \sim$ ‍ circle $D$ ‍, dann circle $A \sim$ ‍ circle $D$ ‍.
Parallelität	$∥$ ‍	Wenn $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{L M}$ ‍ und $\overset{―}{L M} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍, dann $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍.

Was sind Relationen, für die das nicht gilt?

Orthogonalität ist nicht transitiv.

In der Abbildung gilt:

\overset{―}{A B} ⊥ \overset{―}{A C}

und

\overset{―}{A C} ⊥ \overset{―}{C D}

, aber

\overset{―}{A B}

ist parallel zu

\overset{―}{C D}

Auch Freundschaft ist auch nicht transitiv. Wenn Ezekiel mit Romina befreundet ist und Romina mit Nash befreundet ist, wissen wir nicht, ob Ezekiel mit Nash befreundet ist oder nicht.

Gleichheit gegen Kongruenz

Gleichheit und Kongruenz sind eng miteinander verbunden, aber doch verschieden. Wir nutzen Gleichheit für alles, was wir mit Zahlen beschreiben können, einschließlich Messungen, Skalierungsfaktoren und Anteile.

Wert	Beispiel
Winkelmessungen	$m ∠ A + m ∠ B = 90 °$ ‍
Streckenlängen	$M N = P Q = 5$ ‍
Fläche	$F_{△ D E F G} = 81 {cm}^{2}$ ‍
Brüche	$\frac{3}{4} = \frac{J K}{K L}$ ‍

Kongruenz und Ähnlichkeit nutzen wir für geometrische Figuren. Mit geometrischen Figuren können wir keine arithmetischen Operationen wie Addition oder Multiplikation durchführen.

Figur	Beispiel
Winkel	$∠ A ≅ ∠ C$ ‍
Strecken	$\overset{―}{M N} ≅ \overset{―}{P Q}$ ‍
Vieleck	$△ D E F \sim △ G H I$ ‍
Kreise	Alle Kreise sind zu alle anderen Kreisen ähnlich.

Es gibt drei sehr nützliche Sätze zu Gleichheit und Kongruenz.

Zwei Winkel sind genau dann kongruent, wenn sie gleich groß sind.
Zwei Strecken sind genau dann kongruent, wenn sie gleich lang sind.
Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn alle entsprechenden Winkel und Seiten kongruent sind.

In der folgenden Figur gilt:

A B = C D = 3, 2

In einem sehr formalen Beweis bräuchten wir eine eigene Gerade, um die Aussage

\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{C D}

. Bei einfacheren Beweisen werden die Begriffe "gleiches Maß" und "kongruente Teile" austauschbar verwendet. Erkundige dich in deiner Klasse, was du brauchst!

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