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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 3
Lesson 4: Theoreme über die Eigenschaften von DreieckenEigenschaften von Kongruenz und Gleichheit
Lerne, wann die Spiegeleigenschaften, die transitiven und symmetrischen Eigenschaften in geometrischen Beweisen anzuwenden sind. Lerne die Beziehung zwischen gleichen Maßen und kongruenten Figuren.
Es gibt viele Arten, Beweise zu aufzuschreiben, und einige sind stärker formalisiert als andere. In sehr formalen Beweisen leiten wir Sätze her, die dir vielleicht als selbstverständlich vorkommen. Wir beweisen sie deshalb, weil diese Sätze nur für bestimmte Relationen gelten. Was zum Beispiel für die Relation "Gleichheit" zutrifft, gilt nicht unbedingt für die Relation "Ungleichheit".
Schauen wir uns einige dieser Eigenschaften an. Wir verwenden das Symbol \bigstar, um eine unbekannte Beziehung zu darzustellen.
Reflexivität
Wenn eine Relation \bigstar reflexiv ist, bedeutet dies: die Beziehung trifft immer zwischen einer Sache und sich selbst zu. Also A, \bigstar, A.
Beispiele für transitive Relationen
| Beziehung | Symbol | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleichheit | equals | minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction, equals, minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction |
| Kongruenz | \cong | angle, M, N, P, \cong, angle, M, N, P |
| Ähnlichkeit | \sim | triangle, M, N, P, \sim, triangle, M, N, P |
Sehr oft verwenden die Reflexivität, wenn wir Figuren mit Seiten oder Winkel betrachten.
Wenn wir über triangle, M, N, Q und triangle, P, N, Q sprechen, könnten angeben, dass start overline, N, Q, end overline, \cong, start overline, N, Q, end overline gilt - wegen der Reflexivität.
Was sind Relationen, für die das nicht gilt?
Strenge Ungleichungen haben keine reflexive Eigenschaft. Zum Beispiel: 3, \nless, 3.
Jemandes Mutter zu sein ist nicht reflexive. Ich bin nicht meine eigene Mutter.
Symmetrie
Wenn eine Relation \bigstar eine symmetrisch ist, bedeutet das: Wenn Relation zwischen zwei Dingen gilt, gilt sie in beiden Richtungen. Wenn A, \bigstar, B, dann B, \bigstar, A.
Beispiele für transitive Relationen
| Relation | Symbol | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleichheit | equals | Wenn 8, equals, 11, minus, 3, dann 11, minus, 3, equals, 8. |
| Kongruenz | \cong | Wenn start overline, V, W, end overline, \cong, start overline, X, Y, end overline, dann start overline, X, Y, end overline, \cong, start overline, V, W, end overline. |
| Ähnlichkeit | \sim | Wenn A, B, C, D, \sim, L, M, N, P, dann L, M, N, P, \sim, A, B, C, D. |
| Parallelität | \parallel | Wenn Gerade m, \parallel Gerade n, dann Gerade n, \parallel Gerade m. |
| Orthogonalität | \perp | Wenn S, T, with, \overrightarrow, on top, \perp, U, V, with, \overleftrightarrow, on top, dann U, V, with, \overleftrightarrow, on top, \perp, S, T, with, \overrightarrow, on top. |
Im Allgemeinen ist Freundschaft eine symmetrische Relation. Wenn Alaia ein Freund von Kolton ist, dann ist Kolton ein Freund von Alaia.
Was sind Relationen, für die das nicht gilt?
Ungleichheit ist nicht symmetrisch. Zum Beispiel 10, is less than, 100, aber 100, \nless, 10.
Jemandes Mutter zu sein ist auch keine symmetrische Relation. Wenn Karin Santino's Mutter ist, kann Santino nicht Karin's Mutter sein
Transitivität
Wenn eine Beziehung \bigstar eine transitive Eigenschaft hat, dann beziehen sich zwei Dinge, die sich auf ein gemeinsames Mittelding beziehen, auch aufeinander. Wenn A, \bigstar, B und B, \bigstar, C, dann ist A, \bigstar, C.
Beispiele für transitive Relationen
| Relation | Symbole | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleichheit | equals | Wenn m, angle, F, equals, m, angle, G und m, angle, G, equals, m, angle, H, dann m, angle, F, equals, m, angle, H. |
| Kongruenz | \cong | Wenn triangle, R, S, T, \cong, triangle, W, X, Y und triangle, W, X, Y, \cong, triangle, F, G, H, dann triangle, R, S, T, \cong, triangle, F, G, H. |
| Ähnlichkeit | \sim | Wenn circle A, \sim circle B und circle B, \sim circle D, dann circle A, \sim circle D. |
| Parallelität | \parallel | Wenn start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, L, M, end overline und start overline, L, M, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline, dann start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline. |
Was sind Relationen, für die das nicht gilt?
Orthogonalität ist nicht transitiv.
In der Abbildung gilt: start overline, A, B, end overline, \perp, start overline, A, C, end overline und start overline, A, C, end overline, \perp, start overline, C, D, end overline, aber start overline, A, B, end overline ist parallel zu start overline, C, D, end overline.
Auch Freundschaft ist auch nicht transitiv. Wenn Ezekiel mit Romina befreundet ist und Romina mit Nash befreundet ist, wissen wir nicht, ob Ezekiel mit Nash befreundet ist oder nicht.
Gleichheit gegen Kongruenz
Gleichheit und Kongruenz sind eng miteinander verbunden, aber doch verschieden. Wir nutzen Gleichheit für alles, was wir mit Zahlen beschreiben können, einschließlich Messungen, Skalierungsfaktoren und Anteile.
| Wert | Beispiel |
|---|---|
| Winkelmessungen | m, angle, A, plus, m, angle, B, equals, 90, degree |
| Streckenlängen | M, N, equals, P, Q, equals, 5 |
| Fläche | F, start subscript, triangle, D, E, F, G, end subscript, equals, 81, start text, c, m, end text, squared |
| Brüche | start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, J, K, divided by, K, L, end fraction |
Kongruenz und Ähnlichkeit nutzen wir für geometrische Figuren. Mit geometrischen Figuren können wir keine arithmetischen Operationen wie Addition oder Multiplikation durchführen.
| Figur | Beispiel |
|---|---|
| Winkel | angle, A, \cong, angle, C |
| Strecken | start overline, M, N, end overline, \cong, start overline, P, Q, end overline |
| Vieleck | triangle, D, E, F, \sim, triangle, G, H, I |
| Kreise | Alle Kreise sind zu alle anderen Kreisen ähnlich. |
Es gibt drei sehr nützliche Sätze zu Gleichheit und Kongruenz.
- Zwei Winkel sind genau dann kongruent, wenn sie gleich groß sind.
- Zwei Strecken sind genau dann kongruent, wenn sie gleich lang sind.
- Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn alle entsprechenden Winkel und Seiten kongruent sind.
In der folgenden Figur gilt: A, B, equals, C, D, equals, 3, comma, 2.
In einem sehr formalen Beweis bräuchten wir eine eigene Gerade, um die Aussage start overline, A, B, end overline, \cong, start overline, C, D, end overline. Bei einfacheren Beweisen werden die Begriffe "gleiches Maß" und "kongruente Teile" austauschbar verwendet. Erkundige dich in deiner Klasse, was du brauchst!
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