Beweis: Rechtwinklige Dreiecke in Kreisen

Wir haben hier einen Kreis mit einem Durchmesser. Wir haben hier einen Kreis mit einem Durchmesser. Wir haben hier einen Kreis mit einem Durchmesser. Wir haben hier einen Kreis mit einem Durchmesser. Das hier ist der Durchmesser. Das hier ist der Durchmesser. Das hier ist der Durchmesser. Ich habe ein Dreieck, wo eine Seite der Durchmesser des Kreises ist und dem gegenüberliegenden Winkel auf dem Umkreis liegt. und dem gegenüberliegenden Winkel auf dem Umkreis liegt. Sagen wir, der gegenüberliegenden Winkel liegt auf dem Umkreis. Sagen wir, der gegenüberliegenden Winkel liegt auf dem Umkreis. So sieht das Dreieck aus. So sieht das Dreieck aus. Ich werde heute beweisen, dass dieses Dreieck ein rechtwinkeliges Dreieck ist. ein rechtwinkeliges Dreieck ist. Der rechte Winkel sitzt gegenüber dem Durchmesser. Der rechte Winkel sitzt gegenüber dem Durchmesser. Ich beschrifte es noch nicht, um diesen Video spannend zu machen. Ich beschrifte es noch nicht, um diesen Video spannend zu machen. Wie gehen wir also vor? Wir wissen schon, was ein Sehnenwinkel ist und sein Verhältnis gegenüber zum Mittelpunktswinkel, der den gleichen Bogen aufspannt. Wir haben hier einen Sehnenwinkel, Wir haben hier einen Sehnenwinkel, nennen wir ihn theta. Der Mittelpunkt des Kreises liegt hier. Der Mittelpunkt des Kreises liegt hier. Das hier ist der Mittelpunktswinkel. Ich zeichne schnell das Dreieck. Ich zeichne schnell das Dreieck. Das hier ist der Mittelpunktswinkel. Das ist der Radius. Und das ist auch der Radius. Und das ist auch der Radius. Wir haben vorher gelernt, dass der Mittelpunktswinkel Wir haben vorher gelernt, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Winkel, der den gleichen Bogen aufspannt. doppelt so groß ist wie der Winkel, der den gleichen Bogen aufspannt. doppelt so groß ist wie der Winkel, der den gleichen Bogen aufspannt. Das haben wir früher schon bewiesen. Das ist also 2 theta. Der Mittelpunktswinkel spannt den gleichen Bogen auf. Dieses Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck. Dieses Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck. Ich kann es umdrehen und so zeichnen. Ich kann es umdrehen und so zeichnen, dass Ich kann es umdrehen und so zeichnen, dass die grüne Seite nach unten zeigt. Beide Seiten haben die Länge r. Dieser Winkel ist 2 theta. Ich habe einfach das Dreieck umgedreht. Ich habe einfach das Dreieck umgedreht. Das hier ist diese Seite hier. Weil dieses Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck ist, sind die beiden Basiswinkel gleich. sind die beiden Basiswinkel gleich. Die beiden Basiswinkel sind gleich. Die beiden Basiswinkel sind gleich. Ich nenne diesen Winkel x. Ich nenne diesen Winkel x. Diesen beiden Winkel sind x. Und was ist x gleich? x + x + 2 theta = 180 Grad. Sie sind im gleichen Dreieck. x + x + 2 theta = 180 Grad. x + x + 2 theta = 180 Grad. Das heißt 2x + 2theta = 180 Grad oder 2x = 180 - 2theta. Wir teilen beide Seiten durch 2 und erhalten x = theta - 90. x = 90 - theta Was können wir noch damit machen? Wir können dieses Dreieck hier anschauen, das ebenfalls gleichschenklig ist. Wir können dieses Dreieck hier anschauen, das ebenfalls gleichschenklig ist. Das hier ist auch der Radius. Das hier ist auch der Radius. Das hier ist auch der Radius. Das ist also auch ein gleichschenkliges Dreieck. Die beiden Basiswinkel sind also gleich. Die beiden Basiswinkel sind also gleich. Wenn das theta ist, dann ist das hier auch theta. Wenn das theta ist, dann ist das hier auch theta. Diese Informationen haben wir genutzt, um das Verhältnis zwischen Mittelpunktswinkel und einem Winkel, der den gleichen Bogen aufspannt, zu zeigen. Diesen Winkel ist auch theta, weil das ein gleichschenkliges Dreieck ist. Was ist also der ganzen Winkel da? Das ist theta + 90 - theta. Das ist theta + 90 - theta. Das ist theta + 90 - theta. Die thetas heben sich auf. Wir sehen, solange eine Seite des Dreiecks der Durchmesser ist, und die andere Seite Wir sehen, solange eine Seite des Dreiecks der Durchmesser ist, und die andere Seite auf dem Umkreis liegt, wird dies ein rechter Winkel sein, und das ein rechtwinkliges Dreieck. Auch wenn ich irgendein beliebiges Dreieck wählen würde, zum Beispiel nehme ich dort einen Punkt und zeichne ein Dreieck. und zeichne ein Dreieck. Das ist ein rechter Winkel Ich könnte den gleichen Beweis ausführen. Im vorliegenden Fall haben wir es allgemein bewiesen, dass heißt unsere Erkenntnis kann auf jedes der Dreiecke angewandt werden.