Eingeschlossene Vierecke lösen

In diesem Video soll es darum gehen, das Maß des Winkels am Scheitelpunkt D herauszufinden. Pausiert das Video und schaut, ob ihr die Aufgabe selbstständig lösen könnt. Denkt beim Lösen an den Zusammenhang zwischen Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, und dem entsprechenden Maß des Kreisbogens, der durch die Schnittpunkte der Schenkel gebildet wird. Beachtet diesen Zusammenhang. Nun machen wir mit der Aufgabe weiter. Welche Angaben haben wir bereits? Die beiden Schenkel des Umfangswinkels um Punkt D, schneiden diesen Kreis und bilden somit den Kreisbogen, den wir hier farblich hervorheben. Die Schenkel bilden somit diesen Kreisbogen. Die Länge dieses Kreisbogens ist bis jetzt noch unbekannt. Wenn wir aber das Maß dieses Bogens kennen würden, wüssten wir auch, dass die Größe des Umfangswinkels die Hälfte des Bogenmaßes wäre, da Umfangswinkel immer halb so groß sind wie die dazugehörigen Kreisbögen. Das trifft immer zu. Kennen wir also das Maß dieses Bogens, können wir berechnen wie groß der Umfangswinkel am Scheitel D ist. Obwohl uns die Größe dieses Kreisbogens fehlt, haben wir dennoch eine andere hilfreiche Größe: Wir kennen nämlich die Größe des Kreisbogens, auf dem der Scheitelpunkt D liegt. Wir kennen also das Winkelmaß des blaugrünen Bogens. Woher kennen wir aber die Größe, wenn wir keine genauen Größenangaben haben? Nun, der blaugrüne Kreisbogen wird durch die Schnittpunkte mit den Schenkeln des Winkelscheitels I gebildet. Dadurch wissen wir automatisch, wie groß der blaugrüne Kreisbogen ist, da das WInkelmaß um den Punkt I gegeben ist. Wenn dieser Winkel hier oben also 45 Grad groß ist, dann ist unser blaugrüne Kreisbogen hier unten doppelt so groß. Das Maß dieses Kreisbogens beträgt also 90 Grad. Anstatt es neben den Kreisbogen zu schreiben, können wir es auch wie folgt notieren: Das Maß des Kreisbogens WL, beträgt 90 Grad. Der Bogen ist doppelt so groß, wie der Winkel, dessen Schenkel den Kreisbogen bilden. Und warum ist das hilfreich? Nun, das Maß des gesamten Kreises beträgt 360 Grad. Dieser violette Bogen wird ja durch den blaugrünen Kreisbogen zu einem vollständigen Kreis ergänzt. Beide Kreisbögen bilden somit einen kompletten Kreis, der 360 Grad groß ist. Lasst uns das niederschreiben. Das Gradmaß des violetten Kreisbogens, der sozusagen unseren „Hauptbogen“ darstellt, bezeichnen wir als LIW. Das Gradmaß des violetten Kreisbogens LIW das Gradmaß des violetten Kreisbogens LIW plus das Gradmaß des Bogens WL plus das Gradmaß des Bogens WL wird insgesamt 360 Grad ergeben, weil wir bereits wissen, dass das Gesamtmaß 360 Grad beträgt. Wir kennen die Größe des Bogens WL, der nämlich 90 Grad groß ist. Wenn wir jetzt 90 Grad subtrahieren, erhalten wir das genaue Bogenmaß des violetten Kreisbogens. Das Bogenmaß des Kreisbogens LIW beträgt demzufolge 270 Grad. Wir sind 360 Grad um den gesamten Kreis gegangen, danach haben wir 90 Grad subtrahiert und 270 Grad herausbekommen. Schreiben wir das auf: Der violette Kreisbogen ist 270 Grad groß. Damit können wir das Winkelmaß am Scheitelpunkt D herausfinden, denn dieser ist ein Winkel, dessen Schenkel den violetten Bogen bilden. Somit wird der Winkel um D halb so groß sein wie der violette Kreisbogen. Also, die Hälfte von 270 Grad ist gleich 135 Grad und damit sind wir fertig. Vielleicht habt ihr bereits bemerkt, dass wir 180 Grad erhalten, wenn 135 Grad und 45 Grad zusammenaddiert werden. In diesem Fall scheint es also, als würden sich gegenüberliegende Winkel im Viereck gegenseitig ergänzen. Nun stellt sich die Frage, ob das immer der Fall ist. Werden sich gegenüberliegende Winkel immer ergänzen, wenn ein beliebiges Viereck innerhalb des Kreises liegt, beziehungsweise alle Ecken dieses Vierecks auf dem Kreis liegen? Ergänzen sich diese Winkel? Summieren sie sich immer zu 180 Grad? Denkt darüber nach und versucht, einen Beweis zu finden. Der Beweis ähnelt unserer bisherigen Herangehensweise. Um es zu beweisen, müssten wir mit allgemeineren Zahlen arbeiten. Anstatt 45 Grad könnten wir die Variable x verwenden. Dann müssten wir beweisen, dass der Winkel um den Punkt D 180 Grad minus x ist. Ich ermutige euch dazu, es einmal auszuprobieren. Ich führe den Beweis in einem anderen Video durch, sodass wir unser Vorgehen vergleichen können.