Geometrische Konstruktionen: Kreis mit eingeschlossenem gleichseitigen Dreieck

Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck innerhalb des Kreises. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck innerhalb des Kreises. Also lass mich einen Kreis konstruieren, der genau die gleichen Ausmaße hat, wie unser Originalkreis. Also lass mich einen Kreis konstruieren, der genau die gleichen Ausmaße hat, wie unser Originalkreis. Das sieht gut so aus. Und jetzt bewege ich die Mitte so, dass sie auf unserem ursprünglichen Kreis sitzt Und jetzt bewege ich die Mitte so, dass sie auf unserem ursprünglichen Kreis sitzt. So jetzt sitzen sie aufeinander. Oder ihre Mitten liegen nun aufeinander. So mache ich das, und das sieht gut so aus. Und jetzt lass uns über etwas nachdenken. Wenn ich diesen Abschnitt hier drüben zeichnen würde -- -- das hat die Länge des Radius, natürlich -- Jetzt noch einen -- und das sind beide Radii, weil beide Kreise den gleichen Radius haben. und das sind beide Radii, weil beide Kreise den gleichen Radius haben. Und jetzt befestigen wir das mittig an unserem neuen Kreis und ziehen das nach hier außen Und jetzt befestigen wir das mittig an unserem neuen Kreis und ziehen das nach hier raus Jetzt entspricht das dem Radius des neuen Kreises, der gleich mit dem Radius des Alten ist. Jetzt entspricht das dem Radius des neuen Kreises, der gleich mit dem Radius des Alten ist. Das hat die gleiche Länge wie das hier. Also haben diese beiden Abschnitte die gleiche Länge. Wenn ich jetzt diesen Punkt mit diesem Punkt verbinden würde -- das ist der Radius unseres ursprünglichen Kreises Also hat er die gleiche Länge wie diese beiden. Hier drüben habe ich also so ein gleichseitiges Dreieck konstruiert. Hier drüben habe ich also so ein gleichseitiges Dreieck konstruiert. Aber wofür ist das überhaupt wichtig? Nun, wir wissen, dass die Winkel in einem gleichseitigen Dreieck 60° betragen. Nun, wir wissen, dass die Winkel in einem gleichseitigen Dreieck 60° betragen. Also wissen wir, dass dieser Winkel hier drüben 60° beträgt. Aber warum ist es interessant, dass dieser Winkel 60° ist? Stell dir vor, wir würden hier noch ein Dreieck konstruieren, symmetrisch, nur so nach unten geklappt. Stell dir vor, wir würden hier noch ein Dreieck konstruieren, symmetrisch, nur nach unten geklappt. Das ist das Gleiche, dieser Winkel hier zwischen diesen Seiten, Das ist das Gleiche, dieser Winkel hier zwischen diesen Seiten, beträgt auch 60°. Also dieser gesamte Innenwinkel, wenn wir diese hier zusammenzählen, beträgt 120°. Also dieser gesamte Innenwinkel, wenn wir diese hier zusammenzählen, beträgt 120°. Also warum ist das wichtig? Wenn dieser Innenwinkel 120° beträgt, heißt das, das dieser Bogen hier drüben 120° beträgt. Wenn dieser Innenwinkel 120° beträgt, heißt das, das dieser Bogen hier drüben 120° entspricht. Oder es ist ein Drittel der Strecke um das Dreieck. Das hier drüben ist ein Drittel der Strecke um das Dreieck- Da das ein Drittel der Strecke um das Dreieck ist- wird das, wenn ich ich diese zwei Punkte verbinde, eine Seite unseres gleichseitigen Dreiecks. wird das, wenn ich ich diese zwei Punkte verbinde, eine Seite unseres gleichseitigen Dreiecks. wird das, wenn ich ich diese zwei Punkte verbinde, eine Seite unseres gleichseitigen Dreiecks. Das hier ist eine Sekante durch einen Bogen, der ein Drittel des Kreises ist. Das hier ist eine Sekante durch einen Bogen, der ein Drittel des Kreises ist. Und nun kann ich so weitermachen. Lass uns -- ich benutze diese hier nochmal -- lass uns unseren Kreis hier herumbewegen. Und so werde ich meinen Kreis um den Kreis herumbewegen. Und ich möche nur diese Punkte schneiden. So, mal sehen, Ich könnte einen davon nehmen, es hierhin ziehen, es dorthin ziehen, genau die gleiche Sache Dieser Winkel, den ich nicht ganz gezeichnet habe oder dieser Bogen, könnte man sagen, beträgt 120° Dieser Winkel, den ich nicht ganz gezeichnet habe oder dieser Bogen, könnte man sagen, beträgt 120° Also ist das noch eine Seite unseres gleichseitigen Dreiecks. Es ist eine Sekante zu einem 120° Bogen. Also bewegen wir uns weiter herum. Eigentlich müssen wir das garnicht mehr herumbewegen. Wir können einfach diese beiden letzten Punkte verbinden. Also können wir einfach das hier verbinden. Eigentlich möchte ich-- lass uns das hier an das anschließen. Genau so, und wir sind fertig. Wir haben unser gleichseitiges Dreieck konstruiert.