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Beweis des Kreiswinkelsatzes

Wir beweisen, dass ein Kreiswinkel die Hälfte eines Mittelpunktswinkel ist, der dem gleichen Kreisbogen entgegengesetzt ist.

Legen wir los!

Bevor wir über den Beweis reden, müssen wir zunächst einige wichtige Begriffe rund um Kreise klären.
Eine kleine Zuordnungsaufgabe um zu sehen, ob du die Begriffe auf eigene Faust herausfinden kannst:
Ordne mit Hilfe der Grafik die Variablen den Begriffen zu.
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Gut gemacht! Diese Fachbegriffe werden jetzt durchgehen im Rest des Artikels verwendet.

Was wir in Kürze beweisen werden

Wir sind kurz davor zu beweisen, dass etwas total cooles passieren wird, wenn ein Kreiswinkel (ψ) und ein Mittelpunktswinkel (θ) dasselbe Kreissegment unterbrechen: Der Mittelpunktswinkel ist immer doppelt so groß wie der Kreiswinkel.
θ=2ψ

Beweisüberblick

Um zu beweisen, dass θ=2ψ für alle θ und ψ (wie oben definiert) ist, müssen wir die drei voneinander getrennten Fälle betrachten:
Fall AFall BFall C
Zusammen ergeben diese 3 Fälle alle möglichen Situationen, in denen ein Kreiswinkel und ein Mittelpunktswinkel das selbe Kreissegment unterbrechen.

Falll A: Der Durchmesser verläuft entlang einer der Halbgeraden des Kreiswinkels, ψ.

Schritt 1: Finde das gleichschenklige Dreieck.

Die Segmente BC und BD sind beides Radien. Das heißt sie haben dieselbe Länge. Daraus folgt, dass CBD gleichschenklig ist, was gleichzeitig bedeutet, dass ihre Basiswinkel kongruent sind:
mC=mD=ψ

Schritt 2: Finde den gestreckten Winkel.

Der Winkel ABC ist ein gestreckter Winkel, deswegen
θ+mDBC=180mDBC=180θ

Schritt 3: Stell eine Gleichung auf und löse sie nach ψ.

Die Innenwinkel von CBD sind ψ, ψ, und (180θ) . Außerdem wissen wir, dass die Innenwinkel eines jeden Dreiecks immer der Summe von 180 entspricht.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
Super. Unser Beweis für Fall A ist geschafft. Fehlen nur noch die anderen zwei Fälle!

Fall B: Der Durchmesser befindet sich zwischen den Halbgeraden des Kreiswinkels, ψ.

Schritt 1: Mach einen auf Streber und zeichne den Durchmesser

Mithilfe des Durchmessers, teilen wir ψ in ψ1 und ψ2 und θ wird geteilt in θ1 und θ2. Das sieht dann so aus:

Schritt 2: Mithilfe des Erlernten aus Fall A, kannst du nun zwei Gleichungen aufstellen.

In unserem neuen Diagramm, teilt der Durchmesser unseren Kreis in zwei Hälften. Jede Hälfte hat einen Kreiswinkel, bei dem sich eine Halbgerade auf dem Durchmesser befindet. Das ist die gleiche Situation wie bei Fall A, also wissen wir jetzt, dass
(1)θ1=2ψ1
und
(2)θ2=2ψ2
durch das, was wir aus Fall A gelernt haben.

Schritt 3: Füge die Gleichungen hinzu.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Addiere (1) und (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Gruppiere Variablenθ=2ψθ=θ1+θ2 und ψ=ψ1+ψ2
Mit dem Fall B sind wir fertig. Fehlt nur noch einer!

Fall C: Der Durchmesser ist außerhalb der Halbgeraden des Kreiswinkels.

Schritt 1: Mach einen auf Streber und zeichne den Durchmesser

Mithilfe des Durchmesser, können wir nun zwei neue Winkel erstellen: θ2 und ψ2 und zwar folgendermaßen:

Schritt 2: Mithilfe des Erlernten aus Fall A, kannst du nun zwei Gleichungen aufstellen.

Ähnlich wie im Fall B, können wir jetzt ein Diagramm erstellen, das es uns ermöglicht, das Gelernte aus Fall A anzuwenden. Von diesem Diagramm können wir auf Folgendes schließen:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

Schritt 3: Ersetze und Vereinfache deine Gleichung.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
Und fertig! Wir haben bewiesen, dass in allen drei Fällen θ=2ψ ist.

Was wir bis jetzt erreicht haben kurz zusammengefasst

Wir werden versuchen zu beweisen, dass die Größe eines Mittelpunktswinkels immer dem Doppelten des Kreiswinkels entspricht, wenn beide Winkel das selbe Kreissegment unterbrechen.
Wir begannen den Beweis in dem wir drei Fälle aufstellten. Diese drei Fälle zusammen umfassten alle möglichen Situationen, in denen eine Kreiswinkel und ein Mittelpunktswinkel dasselbe Kreissegment unterbrechen.
Fall AFall BFall C
Im Fall A erkennen wir ein gleichschenkliges Dreieck und einen gestreckten Winkel. Mithilfe von ψ und θ können wir einige Gleichungen aufstellen. Und mit ein wenig Algebra, haben wir bewiesen, dass θ=2ψ ist.
Im Fall A und C haben wir klugerweise den Durchmesser eingesetzt:
Fall BFall C
Dadurch konnten wir unser Ergebnis von Fall A nutzen. Sowohl im Fall B, als auch im Fall C stellten wir dann Gleichungen auf, die die Variablen aus den Figuren beinhalteten. Das war nur durch das Erlernte aus Fall A möglich. Nachdem wir die Gleichungen dann zu Papier gebracht hatten, bewiesen wir mithilfe von etwas Algebra, dass θ=2ψ ist.

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