Geometrische Konstruktionen: Kreistangente (Beispiel 2)

Hier ist ein anderes Beispiel dafür, wie man mit virtuellem Zirkel und Lineal eine Tangente an einen Kreis zeichnen kann. Wir werden eine Gerade zeichnen, die durch P geht und den Kreis berührt. Und in diesem Beispiel ist P nicht im Inneren des Kreises. P ist außerhalb des Kreises. Wir wollen etwas zeichnen wie, und lass mich erst einmal das Lineal aktivieren. Das Lineal ist hier oben in der Funktionsleiste, dies findest du in der Kahn Academy Übung "Eine Tangente an einen Kreis zeichnen" und das hab ich hier oben. Also lass mich das Lineal benutzen. Natürlich könnten wir das einfach nach Augenmaß zeichnen. Wir zeichnen durch P und berühren den Kreis, also sowas wie das hier. Das sieht ganz gut aus, aber wie wir in anderen Geometrie Videos schon gesagt haben, das wäre lediglich nach Augenmaß und wir wissen nicht, wie genau das ist. das wäre lediglich nach Augenmaß und wir wissen nicht, wie genau das ist. Könnten wir vielleicht mit Zirkel und Lineal etwas genaueres zeichnen? Könnten wir vielleicht mit Zirkel und Lineal etwas genaueres zeichnen? Und während wir das tun, entstehen einige wirklich lustige Muster. Und während wir das tun, entstehen einige wirklich lustige Muster. Also, wie machen wir das? Ich fange damit an, einen Kreis zu zeichnen, Ich fange damit an, einen Kreis zu zeichnen, bei dem die Strecke PC der Durchmesser ist. Laß mich das mal zeichnen. Also ich will einen Kreis zeichnen, bei dem PC der Durchmesser ist. Und um das zu tun, muss ich herausfinden wo der Mittelpunkt dieses Kreises ist. In ein paar Sekunden wirst Du sehen, warum es nützlich ist, dass der Kreis PC als Durchmesser hat. Also, wo ist der Mittelpunkt? Sieht aus, als wäre er hier, aber wie finden wir das nun tatsächlich heraus? Wir müssen zunächst einmal aber wie finden wir das nun tatsächlich heraus? Wir müssen zunächst einmal den Mittelpunkt der Geraden PC oder CP finden. Und um das zu schaffen, werde ich zwei weitere Kreise zeichnen. Ich mache die ein wenig größer. Der erste hat seinen Mittepunkt in C. Ich zeichne ihn angemessen groß, vielleicht so. Und dann zeichne ich noch einen Kreis mit dem gleichen Radius, Und dann zeichne ich noch einen Kreis mit dem gleichen Radius, genauso groß wie der, den ich gerade gezeichnet habe, damit er den gleichen Radius hat. Aber dieser hat seinen Mittelpunkt in P. Warum ist das so interessant? Warum ist das so interessant? Die Schnittpunkte dieser zwei größeren Kreise sind alle gleich weit entfernt von P und von C. Woher wissen wir das? Nun ja, alle Punkte dieses Kreises sind gleich weit entfernt von C, alle Punkte auf diesem Kreis sind gleich weit entfernt von P und diese Kreise haben den gleichen Radius. Und hier an diesem Punkt, sind sie gleich weit entfernt von beiden, Und hier an diesem Punkt, sind sie gleich weit entfernt von beiden, weil sich der Punkt auf beiden Kreisen befindet. Also ist dieser Punkt gleich weit weg zu beiden, und das ist auch der Fall für diesen Punkt hier. Und deshalb befinden sich beide Punkte auf der Streckensymmetrale dieser Geraden, der Geraden CP. Streckensymmetrale dieser Geraden, der Geraden CP. Lass mich das mal einzeichnen. Also, wenn ich eine Gerade zeichne, die etwa so aussieht, dann ist das hier die Streckensymmetrale der Geraden CP. dann ist das hier die Streckensymmetrale der Geraden CP. Alles was uns hier wirklich interessiert ist, dass es sich um die Streckensymmetrale handelt weil wir den Mittelpunkt der Geraden finden wollten. es sich um die Streckensymmetrale handelt weil wir den Mittelpunkt der Geraden finden wollten. Und nun, da wir den Mittelpunkt unserer Geraden haben, können wir den Kreis einzeichnen, von dem ich vorher gesprochen habe. Ein Kreis, dessen Mittelpunkt sich im Mittelpunkt der Geraden befindet und der CP als Durchmesser hat. Soweit bin ich nun gekommen, aber warum hab ich mir so viel Arbeit gemacht, um das herauszufinden? Nun, jetzt können wir das Konzept anwenden, dass es sich bei einen Dreieck innerhalb eines Kreises, wobei eine Seite des Dreiecks der Durchmesser des Kreises ist, um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Worüber rede ich hier? Lass mich mal das Dreieck einzeichnen. Lass mich das Lineal benutzen. Ich zeichne also ein Dreieck, mit dem Durchmesser als ein Seite, umschlossen von diesem Kreis, den ich gerade gezeichnet habe, der Kreis, dessen Mittelpunkt im Mittelpunkt der Geraden liegt, dieser Kreis hier. CP ist definitiv unser Durchmesser. Und ich zeichne es an CP aber ich setze den Endpunkt nach hier, weil dieser sich auf dem Kreis befindet mit Mittelpunkt in C. Und ich zeichne noch eine weiter Gerade ein. Diese Gerade kommt hier hin. Also, ich behaupte jetzt, dass es sich hierbei um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Ich kann das behaupten, da ich in anderen Videos bewiesen habe, Ich kann das behaupten, da ich in anderen Videos bewiesen habe, da es sich innerhalb eines Kreises befindet, also in diesem Kreis hier, in gelb unterlegt. Eine seiner Seiten ist der Durchmesser, diese Seite nennt man die Hypotenuse. Und wir beweisen das in anderen Videos. Also ist das hier ein rechteckiges Dreieck. Warum ist das hilfreich als Beweis, oder hilfreich, um eine Tangente an diesen Kreis hier zu zeichnen? An den Kreis mit Mittelpunkt in C? Also, diese Seite hier, die ich in orange hervorhebe, Also, diese Seite hier, die ich in orange hervorhebe, das ist der Radius von C. Und wenn der Radius einen rechten Winkel bildet mit dieser Geraden hier, Und wenn der Radius einen rechten Winkel bildet mit dieser Geraden hier, dann muss diese Gerade hier die Tangente sein. Und damit es wirklich nach einer Tangente aussieht, werde ich die Gerade noch ein wenig länger einzeichnen. Bitteschön. Jetzt kannst Du sicher sein, dass Bitteschön. Jetzt kannst Du sicher sein, dass sie wirklich in einem rechten Winkel schneidet, und dass diese Gerade, die ich in orange hervorhebe, eine Tangente ist. Und wieder einmal, viel mehr Arbeit, als einfach nur versuchen, per Augenmaß zu zeichnen und wahrscheinlich hätten viele von euch diese Gerade mit Augenmaß einzeichnen können. und wahrscheinlich hätten viele von euch diese Gerade mit Augenmaß einzeichnen können. Aber wenn man so etwas in einem größeren Rahmen tut, dann sollte man genauer sein und dann ist es nützlich, diese Konstruktionen zu verwenden. Und ehrlich gesagt, während du diese Übung absolvierst, und Zirkel und Lineal verwendest, und Zirkel und Lineal verwendest, lernst Du zu schätzen, was sich mit diesen Hilfsmitteln alles machen lässt und du bekommst einige hübsche und lustige Muster und Designs. Ich überlege wirklich, ob ich mir das hier nicht an meine Wand hängen soll.