Challenge-Aufgabe: Punkte auf zwei Kreisen

Punkt A liegt bei (-5|5). Hier ist -5. Hier ist 1,2,3,4,5. Hier ist 5. Punkt A liegt also hier. Das hier ist Punkt A (-5|5). Punkt A ist das Zentrum des Kreises A, den ich jetzt noch nicht einzeichne, weil ich den Radius von Kreis A noch nicht kenne. Punkt B liegt -- ich verwende eine andere Farbe -- bei (3|1). Also 1,2, ... (3|1). Das hier ist also Punkt B und gleichzeitig auch das Zentrum von Kreis B. Punkt P liegt bei (0|0), also auf dem Koordinatenursprung und ebenfalls auf den Kreisen um A und B. Das ist eine wichtige Information. Damit wissen wir, dass der Radius des Kreises B bis zum Koordinatenursprung reichen muss, damit P auf dem Kreis liegt. Gleichzeitig wissen wir auch, dass der Radius von Kreis A ebenfalls bis zum Koordinatenursprung reicht. Versuchen wir nun herauszufinden wie groß diese Radien nun sind. Ich zeichne nun den Radius für Kreis A ein. Wir wissen, dass P auf dem Kreis von A liegt, deswegen muss der Radius bis zum Punkt P reichen. Wir können die Formel zur Berechnung der Distanz verwenden, welche dem Satz des Pythagoras entspringt. Die Distanzformel besagt, dass der Radius der Distanz dieser zwei Punkte hier entspricht. Der Radius von Kreis A zum Quadrat entspricht der Veränderung der x-Werte zwischen A und P. Um die Veränderung zu bestimmen rechnen wir -5 minus 0 zum Quadrat. rechnen wir -5 minus 0 zum Quadrat. Das ist die Veränderung in x, -5 minus 0 zum Quadrat plus der Veränderung in y, 5 minus 0 zum Quadrat. Damit erhalten wir die Distanz zwischen A und P, was der Länge des Radius zum Quadrat entspricht. Das ist gleich -5 zum Quadrat plus 5 zum Quadrat. Oder wir sagen, dass der Radius der Quadratwurzel aus 50 entspricht. 50 können wir auch als 25 mal 2 notieren. Das entspricht der Quadratwurzel aus 25 mal der Quadratwurzel aus 2, was 5 mal der Quadratwurzel aus 2 entspricht. Der Abstand entspricht also 5 mal der Quadratwurzel aus 2. Ich habe bereits gesagt, dass das hier dem Satz des Pythagoras entspricht. Warum? Nun, wenn wir hier ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren und dann diesen Abstand hier betrachten. Dieser Abstand hat den absoluten Wert aus -5 minus 0. Oder andersrum, das ist 0 minus -5. Dieser Abstand ist also 5. Diese Distanz hier ist der Abstand zwischen 0 und 5 auf der y-Achse. Das ist 5. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Länge (5) dieser Seite zum Quadrat plus die Länge (5) dieser Seite zum Quadrat der Hypotenuse zum Quadrat entspricht. Und das ist was wir hier haben. Dir ist wahrscheinlich aufgefallen, dass wir -5 quadriert haben, während wir hier 5 quadriert haben. Durch das Quadrieren haben wir das negative Vorzeichen eliminiert. Die Abstandsformel kannst du auch so schreiben, dann ist klar, dass es hier um absolute Werte handelt. Es ist wirklich nur der Satz des Pythagoras. Hier steht 5 zum Quadrat plus 5 zum Quadrat. 5 zum Quadrat plus 5 zum Quadrat. Du brauchst die Betragsstriche nicht, weil das Quadrieren der Zahlen die gleiche Wirkung hat. Du erhälst immer positive Werte. Wir haben nun diesen Radius bestimmt. Jetzt wollen wir den Radius vom Kreis B mit der gleichen Methode bestimmen. Der Radius von Kreis B zum Quadrat entspricht der Veränderung in X. Wir können also 3 minus 0 oder 0 minus 3 schreiben. Hier nehmen wir 3 minus 0. 3 minus 0 zum Quadrat plus 1 minus 0 zum Quadrat. Der Radius bzw. Abstand der zwei Punkte entspricht der Quadratwurzel aus 3 zum Quadrat plus 1 zum Quadrat. Das ergibt 9 plus 1. Das entspricht der Quadratwurzel aus 10. Der Radius von B entspricht der Quadratwurzel aus 10. Nun müssen wir noch herausfinden, welche der folgenden Punkte auf dem Kreis A, Kreis B oder beiden Kreisen liegen. Nun müssen wir nur die Koordinaten prüfen. Wenn dieser Punkt die Quadratwurzel aus 10 von Punkt B entfernt ist, dann liegt der Punkt auf dem Kreis. Er ist dann genau so weit entfernt, wie der Radius lang ist. Ein Kreis ist eine Menge aus Punkten, die alle den gleichen Abstand vom Zentrum haben. Wenn der Punkt 5 mal der Quadratwurzel aus 2 entfernt ist, dann liegt der Punkt auf dem Kreis A. Der Punkt kann auch auf keinem der beiden Kreise liegen oder auf beiden. Wir prüfen nun jeden Punkt. Punkt C liegt bei (4|-2). Ich verwende nun eine neue Farbe. Also Punkt C -- ich verwende dafür Orange -- C liegt bei 1,2,3,4 und -2. Punkt C liegt also hier. Es sieht aus als würde er sehr nah am Kreisrand liegen. Ich habe ihn mit der Hand eingezeichnet, es ist also nicht perfekt. Das ist also Punkt C hier. Sieht nah aus. Den Abstand zwischen Punkt C und Punk D prüfen wir nun genauer. Der Abstand zum Quadrat entspricht der Veränderung der x-Werte. Also 4 minus 3 zum Quadrat plus -2 minus 1 zum Quadrat, was 1 zum Quadrat plus -3 zum Quadrat entspricht. Die Distanz entspricht also 10 bzw. die Distanz entspricht der Quadratwurzel aus 10. Diese Strecke ist also die Quadratwurzel aus 10 lang. Damit liegt der Punkt auf dem Kreis. Wenn wir Kreis B zeichnen, würde es ungefähr so aussehen. Ich zeichne den Kreis mal mit der Hand ein. Es sieht ungefähr so aus -- ich zeichne nur einen Teil ein -- es müsste so aussehen. Dieser Punkt ist exakt einen Radius entfernt. Ich schreibe das mal auf. Punkt C liegt auf Kreis B. Nun betrachten wir Punkt D. Er liegt bei (5|3). Ich verwende dafür pink. 1,2,3,4,5 auf der x-Achse und 3 auf der y-Achse. Auch dieser Punkt sieht so aus, als würde er auf dem Kreisrand liegen. Die Distanz zum Quadrat entspricht also Die Distanz zum Quadrat entspricht also die Veränderung in x zum Quadrat plus der Veränderung in y zum Quadrat. 5 minus 3 zum Quadrat für die x-Achse plus 3 minus 1 zum Quadrat für die y-Achse. Die Distanz ist also -- ich möchte nicht zu viele Schritte überspringen. 2 zum Quadrat ergibt 4 plus 2 zum Quadrat ergibt auch 4. Die Distanz entspricht also der Quadratwurzel aus 8, was das Gleiche ist, wie die Quadratwurzel aus 2 mal 4, was 2 mal der Quadratwurzel aus 2 entspricht. Die Quadratwurzel aus 4 ergibt 2. Jetzt steht nur noch eine 2 unter der Wurzel. Das ist eine andere Distanz als die Quadratwurzel aus 10. Damit liegt dieser Punkt nicht auf dem Kreis von B. Mit dem bloßen Auge lässt sich auch gleich erkennen, dass dieser Punkt auch nicht auf dem Kreis von A liegt. Die Distanz ist größer als 5 mal die Quadratwurzel aus 2. Das Gleiche gilt auch für Punkt C. Punkt C ist weiter entfernt als 5 mal die Quadratwurzel aus 2. Das lasst aus der Zeichnung visuell erkennen. Der Abstand ist größer als der Radius von A. Dieser Punkt liegt also weder auf Kreis A, noch auf Kreis B. Der Punkt liegt außerhalb beider Kreise. Nun der letzte Punkt E (-2|8). Ich verwende wieder eine andere Farbe. Diesmal nehme ich gelb. (-2|8), also -2 und 1,2,3,4,5, 6,7,8. Der Punkt liegt ungefähr hier. Das ist Punkt E. Die Distanz hier ist ganz klar größer als der Radius von B. Dieser Punkt liegt also nicht auf dem Kreis B. Es sieht so aus als wäre Punkt E näher am Punkt A als der Radius von Kreis A weit ist. Ich spekuliere, dass dieser Punkt auf keinem der Kreise liegt. Jetzt wollen wir das überprüfen. Wir ermitteln den Abstand dieser zwei Punkte. Der Abstand zum Quadrat entspricht der Veränderung in X. 2 minus -5 zum Quadrat plus der Veränderung in Y. Diese entspricht 8 minus 5 zum Quadrat. Der erste Term ist ist -2 minus -5 zum Quadrat und das ergibt -2 plus 5 zum Quadrat, was 3 zum Quadrat ist. Der zweite Term ist ebenfalls 3 zum Quadrat. Hier kann ich den Satz des Pythagoras wieder veranschaulichen. Dieser Abstand ist 3 und dieser ist auch 3. Das ist die Veränderung in X und das ist die Veränderung in Y. 3 zum Quadrat plus 3 zum Quadrat ergibt den Abstand zum Quadrat bzw. die Hypotenuse zum Quadrat. Der Abstand zum Quadrat bzw. die einfache Distanz -- wir überspringen nun ein paar Schritte -- entspricht der Quadratwurzel aus -- wir können das auch als 9 mal 2 schreiben -- oder als die Distanz entspricht 3 mal die Quadratwurzel aus 2. Der Radius von Kreis A ist 5 mal die Quadratwurzel aus 2 und nicht 3 mal die Quadratwurzel aus 2. Damit liegt der Punkt innerhalb des Kreises. Wenn wir den Kreis zeichnen, dann sieht das ungefähr so aus. dann sieht das ungefähr so aus. Punkt E liegt innerhalb des Kreises. Punkt D und Punkt C liegen außerhalb von Punkt A. Der einzige Punkte, der auf einem Kreis liegt ist Punkt C. Der einzige Punkte, der auf einem Kreis liegt ist Punkt C.