If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:5:42

Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks

Video-Transkript

Ich möchte in diesem Video beweisen, dass der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks der Mittelpunkt der Hypotenuse ist und um das zu tun schauen wir uns zunächst die Mittelsenkrechte einer der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks an. Ich konstruieren die Mittelsenkrechte der Seite BC, das würde etwa so aussehen. Es schneidet in einem rechten Winkel, es ist senkrecht und es halbiert es. Von B zum Punkt, welchen wir M für Mittelpunkt nennen, ist gleich M zu C, also sind diese zwei Distanzen gleich und nennen wir den Punkt, in dem die Mittelsenkrechte die Hypotenuse schneidet, O und wir werden beweisen, dass er der Umkreismittelpunkt dieses Dreiecks ist. Das erste was du vielleicht bemerkt hast und das haben wir bereits in vielen Aufgaben gesehen, das Dreieck OBM ähnelt dem Dreieck ABC und das ist nicht schwierig zu beweisen, denn sie haben beide einen 90 Grad Winkel, könnten wir also zeigen, dass sie einen weiteren Satz entsprechender Winkel haben, welche kongruent sind, dann wissen wir, dass sie ähnlich sind durch die WW-Ähnlichkeit und sie teilen sich diesen Winkel, OBC ist Teil des kleineren Dreiecks und ABC, welcher eigentlich der gleiche Winkel ist, ist Teil des größeren Dreiecks und sie teilen sich offensichtlich den 90 Grad Winkel, also durch die WW-Ähnlichkeit, ist das Dreieck OBM ähnlich zum Dreieck ABC. Was hilft uns das? Bei ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis entsprechender Seiten konstant, zum Beispiel wissen wir, dass das Verhältnis zwischen BM, welche auf dem kleineren Dreieck liegt, wir wissen, dass das Verhältnis zwischen BM, ich mach das in einer anderen Farbe, wir wissen, dass das Verhältnis zwischen BM und BC, das Verhältnis dieser Seite des kleineren Dreiecks zu der entsprechender Seite des größeren Dreiecks gleich sein wir zu dem Verhältnis der Hypotenuse des kleineren Dreiecks, BO zu der zu der Hypotenuse des größeren Dreiecks, weil sie ähnlich sind. Wir wissen bereits was das Verhältnis zwischen BM und BC ist, BM ist die Hälfte von BC, also wird das Verhältnis hier ein Halb sein, M ist der Mittelpunkt, also hat das die gleiche Länge wie das, also ist das eine Hälfte von BC. Wenn eine Hälfte gleich BM über BC gleich BO über BA ist, dann wissen wir, wenn diesen mittleren Teil ignorieren, dass ein Halb gleich BO über BA ist, wenn du einen Dreisatz anwendest, es gibt verschiedene Wege, man wendet den Dreisatz an und du erhälst BA gleich 2BO oder wenn du beide Seiten durch zwei dividierst und sie sind einfach gleichwertige Ausdrücke, ein Halb BA ist gleich BO, also ist BO ein Halb von BA, also ist das ein Halb BA und die andere Länge AO hier. Das wird BA sein Minus ein Halb BA, das wird also auch ein halb BA ergeben. Diese Strecke hier, AO wird zu OB kongruent sein. Wir haben gerade gezeigt, dass diese Mittelsenkrechte hier, die Mittelsenkrechte der Strecke BC, es schneidet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks im Mittelpunkt. Wir haben bereits festgestellt, dass einerseits O der Mittelpunkt der Hypotenuse ist, der Hypotenuse AB, was an sich schon interessant ist, andererseits wissen wir auch, dass wenn ein Punkt auf der Mittelsenkrechte einer Strecke ist, so ist es gleich weit von den Enden einer Strecke entfernt, wir haben das bereits in einem vorherigen Video gezeigt. Wir wissen auch, dass OB gleich weit von den Endpunkten der Strecke entfernt ist, OB ist gleich OC, aber wir wissen von der ersten Aussage hier, dass OB auch gleich OA ist. OB ist gleich OC, OB ist gleich OA, das heißt OC muss gleich OA sein, OC muss gleich OA sein. Oder anders ausgedrückt, Punkt O ist gleich weit von allen Punkten, allen Eckpunkten sollte ich sagen, dieser Punkt O ist gleich weit von allen Eckpunkten unseres Dreiecks entfernt. Diese Distanz, welcher unser Umkreisradius ist, ist gleich wie diese Distanz hier, welche gleich dieser Distanz hier ist. Wir wissen also, dass O gleich weit von allen Eckpunkten entfernt ist, was anders ausgedrückt bedeutet, dass O der Umkreismittelpunkt ist. Wir haben also bewiesen, dass wenn du den Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks hast, dass es dann der Mittelpunkt der Hypotenusen des rechtwinkligen Dreiecks ist oder anders herum, dass die Hypotenuse des rechtwinklige Dreiecks der Umkreismittelpunkt ist, weil du nur einen Umkreismittelpunkt für irgendein Dreieck hast.