2003 AIME II Problem 7

Unsere Aufgabe ist den Flächeninhalt der Raute ABCD zu berechnen. Gegeben sind Umkreisradien von den Dreiecken ABD und ACD, die entsprechend 12,5 und 25 gleich sind. Lasst uns eine Raute ABCD zeichnen. So. Wir wissen, dass alle Seiten der Raute gleich sind. Bezeichnen wir die Eckpunkte der Raute mit den Buchstaben A, B, C, und D. Das ist also die Raute ABCD. In der Aufgabe steht, dass wir den Umkreisradius des Dreiecks ABD kennen. A, B, D. Das ist das Dreieck ABD. Lasst uns einen Umkreis zeichnen, d.h. den Kreis, der durch die Eckpunkte A, B und D geht. Ich versuche ihn schön zu zeichnen. Irgendwie so. Tja, das ist nicht so einfach. Lasst uns das so machen. So. Das ist der Kreis. Der Umkreis des Dreiecks ABD, um genau zu sein. Es ist gegeben, dass sein Durchmesser 12,5 ist. Ich zeichne ihn hier. Er ist 12,5. Nun kommt der zweite Umkreis des Dreiecks ACD. Lasst uns den Kreis zeichnen, der durch diese drei Punkte geht. Er sieht irgendwie so aus. Dieser Kreis ist etwas größer. Er entspricht den Größen, die uns gegeben sind. Ich will nicht viel Zeit mit dem Zeichnen verlieren, aber... …oh, ich muss aufpassen, es steht, dass der RADIUS, und nicht der Durchmesser 12,5 gleich ist. Ich lösche diesen Kreis, weil er nicht gut gelungen ist. Dann kann ich auch diese 12,5 löschen... Also, 12,5 ist der Radius dieses Kreises. Und unser erster Kreis ist um das Dreieck ABD gezeichnet. Dieser Abstand ist 12,5, und dieser Abstand ist auch 12,5. Lasst uns auf das Dreieck ACD konzentrieren. ACD... Sein Umkreis wird so aussehen. Lasst mich zeichnen... Tja, das es nicht gut geraten... Wir sollen einen Umkreis zeichnen, der durch diese drei Punkte geht. Und sein Radius ist 25. Nehmen wir an, dass das der Mittelpunkt ist. Das ist der Durchmesser. Der Radius ist 25. Gut. Wir sollen den Flächeninhalt der Raute ABCD berechnen. Vielleicht habt ihr meine Videos angesehen. Darunter gibt es einige Videos, die für die Lösung dieser Aufgabe wichtig sind. Es gibt eine Formel, die wir bereits bewiesen haben. Es geht um das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt des Dreiecks und dem Umkreisradius. Ich schreibe diese Formel aus. Sie lautet: Umkreisradius ist gleich dem Produkt aus den allen Seitenlängen, geteilt durch 4 mal den Flächeninhalt. Mal sehen, ob wir diese Formel anwenden können, um die Flächeninhalte von der Dreiecke ABD und ACD zu berechnen. Und dann sehen wir, ob wir diese Informationen benutzen können, um den Flächeninhalt der ganzen Raute zu berechnen. Ich werde diese Raute erneut zeichnen, damit es ordentlicher aussieht. Wir brauchen nicht mal die Umkreise zu zeichnen, weil wir diese Formel kennen. Also, das sind A, B, C und D. Behandeln wir erst das Dreieck ABD... Das Dreieck ABD. Hier zeichne ich die Diagonalen. BD ist eine Diagonale, AC ist die andere. Wir wissen, dass Diagonalen der Raute aufeinander senkrecht stehen und einander halbieren. D.h. dass das, das, das, und das die rechten Winkel sind. Und dieser Abstand ist gleich diesem, und dieser Abstand ist gleich diesem. Wenn wir die Länge dieser Strecken kennen würden, würden wir den Flächeninhalt dieser Raute berechnen. Lasst uns sie bezeichnen. Diese Strecke bezeichnen wir mit a, und diese mit b. а mal b mal ½ = Fläche dieses Dreiecks. а mal b mal ½ mal 2 ist die Fläche des Dreiecks ABD. Oder mal anders: Dieses Dreieck hat die Seiten a, b und diese Seite. Bei allen vier Dreiecken sind die entsprechenden Seiten gleich. Also sind diese vier Dreiecke auch gleich. D.h. wir können die Fläche dieses Dreiecks mit 4 multiplizieren und erhalten den Flächeninhalt der Raute. Ich schreibe das auf. Der Flächeninhalt der Raute ist gleich: 4 mal ½ mal a mal b. ½ mal a mal b ist die Fläche dieses Dreiecks. Wenn wir das mit 4 multiplizieren, erhalten wir 2 mal аb oder die Fläche der Raute. Wenn wir irgendwie a und b berechnen würden, würden wir auch den Flächeninhalt der Raute berechnen. Lasst uns also auf diese Aufgabe konzentrieren. Behandeln wir das Dreieck ABD. Wir wissen, dass der Umkreisradius 12,5 gleich ist. Lasst uns einfach diese Formel anwenden. Der Umkreisradius 12,5 ist gleich dem Produkt aus den Seitenlängen. Wie groß sind die Seitenlängen? Wir haben diese Seite BD, sie ist 2a, also a + a. Also 2a mal diese Seite. Wie groß ist sie? Sie ist eine der Seiten der Raute und gleichzeitig ist sie die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks. Das ist der rechte Winkel. Deshalb ist diese Seite √(а² + b²). Da das eine Raute ist, bedeutet das, dass alle ihre Seiten gleich lang und √(а² + b²) gleich sind. Alle Seiten sind gleich. Also 2a (das ist die Diagonale BD) mal die Länge von BA (d.h.√(а²+ b²)) mal die Länge von AD (also √(а²+ b²)), und das alles durch 4 mal die Flächeninhalt von ABD. Wie viel beträgt die Fläche von ABD? ABD ist einfach diese zwei Dreiecke. Dieses Dreieck ist ½ mal ab. Dieses Dreieck ist auch ½ mal ab. Also, der ganze Flächeninhalt ist gleich der Summe der Flächen von diesen zwei Dreiecken. Die Fläche von jedem Dreieck ist 1/2аb. Die ganze Fläche ist ab. Ich kann hier statt der Fläche ab schreiben. Das kann man vereinfachen... 12,5 ist gleich... wir dividieren den Nenner und den Zähler durch zwei, das wird zu 1, und das zu 2, dann dividieren wir durch a, hier erhalten wir 1, und hier auch 1. √(а² + b²) mal √(а² + b²) ergibt einfach а²+ b², und im Nenner bleibt nur 2b. Also der erste Teil der Aufgabe, dass der Umkreisradius von ABD 12,5 gleich ist, ergibt diese Gleichung. Lasst uns dasselbe für das Dreieck ACD tun. Das Dreieck ACD. Der Umkreisradius ist 25. 25 ist die Länge dieser Seite… Das ist b, das ist auch b, d.h. sie ist 2b. 2b mal die Länge dieser Seite, also mal √(а² + b²), mal die Länge dieser Seite, also wieder mal √(а² + b²). und das alles durch 4 mal Flächeninhalt. Und der Flächeninhalt ist gleich der Fläche dieses Dreiecks (½ mal ab) + Fläche dieses Dreiecks (½ mal ab). Nach dem Addieren erhalten wir einfach a b. Jetzt teilen wir das durch 2: hier ist 1, hier 2. b wird weggekürzt, und es bleibt einfach a. Wir erhalten: 25 ist gleich... Im Zähler haben wir √(а² + b²), mit sich selbst multipliziert, oder а² + b² / 2a. Diese Gleichung haben wir für das zweite Dreieck mit dem Umkreisradius 25. Nun können wir die beiden Gleichungen einsetzen. Wir haben zwei Gleichungen mit den zwei Variablen. Lasst uns a und b ermitteln. Wenn wir sie rausfinden, können wir die Fläche der Raute berechnen. Wenn wir hier beide Seiten mit 2b multiplizieren, erhalten wir: 25b = а² + b². Wenn wir hier beide Seiten mit 2a multiplizieren, erhalten wir 50а = а² + b². Also 50а = а² + b² und 25b = а² + b²... d.h., dass 25b=50a ist, weil sie beide а² + b² gleich sind. Nun, nachdem wir beide Seiten durch 25 dividiert haben, erhalten wir: b = 2a halt, ich wollte das in violett schreiben... b = 2a. Jetzt können wir das in jeder dieser Gleichungen einsetzen, um b und dann a zu berechnen. Lasst uns zurückkehren. Wir erhalten 50a... Zuerst berechnen wir a... 50а = а² + b². Aber statt b² zu schreiben, schreiben wir 2a, weil b = 2a. Also, wir schreiben: (2a)². Wir erhalten: 50а = а²+ 4а². Oder 50а = 5а². Nun können wir beide Seiten durch 5a dividieren. Wenn wir diese Seite durch 5a dividieren, erhalten wir 10, und hier erhalten wir a. D.h. a = 10. Nun können wir das hier einsetzen, um b zu berechnen. b = 2*10 = 20. Also a = 10 und b = 20 Und wir sollen hier zurückkehren, um den Flächeninhalt der Raute zu berechnen. Die Fläche der Raute ist gleich 2 mal 10 mal 20, d.h. 20* 20 = 400. Das was! Der Flächeninhalt der Raute ABCD ist gleich 400.