Drehungen genau bestimmen

Der Dialog unten findet zwischen einem Lehrer und einem Schüler statt. Ihr Ziel ist es Drehungen allgemein zu beschreiben, indem sie eine genaue mathematische Sprache benutzen. Wie du sehen wirst, muss der Schüler seine Definitionen mehrer Male überarbeiten um sie immer genauer zu fomulieren. Viel Spaß!

Heute werden wir versuchen auf eine allgemeine Art zu beschreiben, was Drehungen machen.

Nehmen wir an, wir haben eine Drehung um $\theta$‍ Grad um den Punkt $P$‍. Wie würdest du den Effekt dieser Drehung auf einen anderen Punkt $A$‍ beschreiben?

Was meinen Sie? Woher kann ich wissen wie eine Drehung auf $A$‍ wirkt, wenn ich überhaupt nicht darüber weiß?

Es ist wahr, dass du nichts über diese spezielle Drehung weißt, aber alle Drehungen verhalten sie in einer ähnlichen Weise. Kannst du dir irgendwie vorstellen was die Drehung mit $A$‍ macht?

Hmmmm... Lasse mich nachdenken... Gut, ich schätze, dass $A$‍ sich in eine andere Position bewegt im Vergleich zu $P$‍. Wenn zum Beispiel $A$‍ rechts von $P$‍ liegt, könnte er nun oberhalb von $P$‍ liegen oder so ähnlich. Das hängt davon ab, wie groß $\theta$‍ ist.

Toll. Wir können, was du gerade gesagt hast, so beschreiben:

Ja, ich stimme dieser Definition zu.

Denke aber daran, dass wir in der Mathematik sein genau sein müssen. Gibt es nur einen Weg einen Winkel $\mathrm{\angle }P$‍ zu konstruieren, der gleich $\theta$‍ ist?

Mal schauen... Nein, es gibt zwei Möglichkeiten einen solchen Winkel zu konstruieren: Im Uhrzeigersinn und entgegen dem Uhrzeigersinn.

Richtig! Drehungen werden entgegen dem Uhrzeigersinn durchgeführt und unsere Definition sollte das erkennen:

Natürlich geht, wenn $\theta$‍ als negative Größe angegeben ist, die Drehung in die entgegensetzte Richtung, also im Uhrzeigersinn.

Cool. Sind wir fertig?

Das musst du sagen. Die Definition muss es absolut klar machen wohin $A$‍ abgebildet wird. In anderen Worten, es darf nur einen Punkt geben, der der Beschreibung von $B$‍ entspricht.

Gibt es nur eine Möglichkeit, einen Winkel entgegen des Uhrzeigersinns zu konstruieren, der gleich $\theta$‍ ist?

Ich denke schon... Warten Sie! Nein! Es gibt viele Punkte die diese Winkel bilden! Jeder Punkt auf dem Strahl von $P$‍ nach $B$‍ hat einen Winkel von $\theta$‍ mit $A$‍.

Gute Beobachtung! Also, kannst du dir eine Möglichkeit vorstellen um unsere Definition zu verbessern?

Ja, zusätzlich dazu, dass der Winkel gleich $\theta$‍ sein muss, muss der Abstand von $P$‍ der gleiche bleiben. Ich denke, man kann das mathematisch definieren als $PA=PB$‍.

Gut gemacht! Wir können unsere Arbeit zusammenfassen in der folgenden Definition:

Wow, das ist sehr präzise!

In der Tat. Als Bonus, will ich euch eine andere Möglichkeit zeigen, Drehungen zu definieren:

Ja, dies funktioniert auch, weil alle Punkte auf einem Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Kreises haben.

Das ist richtig! Der Hauptunterschied zwischen den zwei Definitionen ist, dass die erste Strecken und die zweite einen Kreis benutzt.

Cool. War's das also?

Ja. Ich denke wir haben Drehungen so genau wie möglich definiert.