Ähnliche & kongruente Dreiecke verwenden

In diesem Problem wird uns gesagt, dass das Dreieck ACE gleichschenklig ist. Das ist dieses große Dreieck hier. Es ist gleichschenklig, was heißt, dass es zwei gleiche Seiten besitzt. Und wir wissen auch von gleichschenkligen Dreiecken, dass die Basiswinkel gleich sind. Also diese beiden Basiswinkel sind gleich. Und diese Seite hier drüben ist genauso lang wie diese Seite hier. Wir könnten sagen, AC ist gleich CE. Damit haben wir alles aus dem ersten Satz hier drüben. Weiter werden uns noch ein paar mehr Hinweise oder etwas mehr Informationen gegeben: Weiter werden uns noch ein paar mehr Hinweise oder etwas mehr Informationen gegeben: CG ist gleich 24. Das ist CG hier drüben. Seine Länge beträgt 24. BH ist gleich DF, also sind diese beiden Strecken kongruent. BH ist gleich DF, also sind diese beiden Strecken kongruent. Sie haben dieselbe Länge. GF ist gleich 12. Das ist GF hier drüben. Und GF ist gleich 12. Das ist die Strecke dort. Und schlussendlich, FE ist gleich 6. Das ist FE, und zuletzt wird gefragt, was die Fläche von CBHFD beträgt. Das ist FE, und zuletzt wird gefragt, was die Fläche von CBHFD beträgt. Es wird nach der Fläche dieses Teils hier gefragt. Dieser Teil und der Teil dort. das ist CBHFD. Nun lass uns darüber nachdenken, wie wir das ausrechnen könnten. Wir könnten die Fläche des großen Dreiecks ausrechnen und davon dann die Flächen dieser kleinen Teile abziehen. So sind wir in der Lage, diesen Mittelteil herauszukriegen, diese Fläche die ich schraffiert habe. Aber wir haben noch nicht alle Informationen zur Lösung. Wir kennen die Höhe des Dreiecks, Aber wir wissen die Länge der Basis nicht. Wenn wir die Grundseite wüssten, könnten wir einfach Höhe mal Grundseite geteilt durch Zwei rechnen. So würden wir die Fläche des Dreiecks kriegen und dann müssten wir diese Flächen abziehen. Dort haben wir auch noch nicht alle Informationen. Wir kennen diese Höhe nicht. Wenn wir die Höhe wissen, dann könnten wir diese Höhe herauskriegen, allerdings wissen wir auch noch nicht, was die Länge hier drüben beträgt. Also müssen wir hier Stück für Stück herangehen. Zuallererst wollen wir, du vermutest es vielleicht schon, weil wir schon viel über Ähnlichkeit gesprochen haben, wollen wir eine Aussage über Ähnlichkeit hier tätigen, weil es hier eine ganze Reihe ähnlicher Dreiecke gibt. Zum Beispiel: Dreieck CGE teilt diesen Winkel mit Dreieck DFE. Sie beide haben diesen orangenen Winkel hier und beide haben diesen rechten Winkel hier. Also haben sie zwei Winkel gemeinsam. Sie sind also ähnlich durch Winkel-Winkel-Ähnlichkeit. Und du kannst sogar nachweisen, dass sie dann auch einen dritten Winkel gemeinsam haben, weil diese beiden Linien parallel sind. Also können wir schreiben, dass Dreieck CGE zum Dreieck DFE ähnlich ist. Und das wissen wir durch Winkel-Winkel. Wir haben einen Satz entsprechender kongruenter Winkel Und dann ist dieser Winkel in beiden Dreiecken, also ist das auch ein Satz entsprechender kongruenter Winkel dort drüben. also ist das auch ein Satz entsprechender kongruenter Winkel dort drüben. Also dann, sobald wir wissen, dass sie ähnlich sind, können wir das Verhältnis zwischen den Seiten festmachen. Weil wir ein paar Informationen über einige Seiten haben. Wir wissen, dass das Verhältnis zwischen DF und dieser Seite hier, die eine korrespondierende oder entsprechende Seite ist-- das Verhältnis zwischen DF und CG, CG ist 24, wird das Gleiche sein wie das Verhältnis zwischen FE, FE ist 6, und GE. GE ist nicht 12, es ist 12 plus 6. Also 18. Also mal sehen. 6 durch 18 vereinfacht ist 1/3. Also ist 3 DF gleich 24. ich habe das jetzt über Kreuz multipliziert, aber du kannst auch beide Seiten mit 24 und dann mit 3 multiplizieren. Dann bekommst du das hier raus. Eigentlich kann man sogar nur beide Seiten mit 24 malnehmen, dann bekommt man 24 mal 1/3. Aber wir haben das jetzt schon so gemacht. Beide Seiten durch 3 teilen. Ergibt DF ist gleich 8. Also haben wir rausgekriegt, dass DF gleich 8 ist, also diese Länge dort drüben. Also haben wir rausgekriegt, dass DF gleich 8 ist, also diese Länge dort drüben. Und das ist nützlich für uns, weil wir wissen, dass die Länge hier drüben auch 8 ist. Und was können wir nun tun? Nun, es sieht so aus, als könnten wir noch eine Ähnlichkeit nachweisen, weil wir diesen Winkel hier drüben haben. Er ist kongruent zu diesem Winkel dort, und wir haben auch diesen Winkel, der 90 Grad beträgt. Wir haben einen 90-Grad-Winkel dort. Und eigentlich ist das allein schon genug um zusagen, dass wir hier zwei ähnliche Dreiecke haben. Wir müssen noch nicht einmal zeigen, dass sie eine kongruente Seite hier haben. Und eigentlich können wir zeigen, dass das hier tatsächlich kongruente Dreiecke sind, mit denen wir arbeiten. Also wir haben zwei Winkel, und eigentlich können wir davon direkt zum Punkt kommen. Denn wenn wir über Kongruenz sprechen, wenn du einen Winkel hast, der kongruent zu einem anderen Winkel ist, einen anderen Winkel, der kongruent zu einem anderen Winkel ist, und dann eine Seite, die kongruent zu einer anderen Seite ist, dann hast du zwei kongruente Dreiecke. Also können wir schreiben-- ich schreib das hier drüben auf. Ich schreibe das in rosa. Dreieck AHB ist kongruent zu-- wichtig ist, die entsprechenden Eckpunkte in der richtigen Reihenfolge zu schreiben -- ist kongruent zu Dreieck EFD. Und wir wissen das durch den Winkel-Seite-Winkel Kongruenzsatz. Und wir wissen das durch den Winkel-Seite-Winkel Kongruenzsatz. Und wenn beide Dreiecke kongruent sind, macht das die Sache einfacher. Das heißt, wenn diese Seite 8 ist, ist diese Seite auch 8. Das wussten wir bereits. Das ist, wie wir unsere Kongruenz gezeigt haben. Aber das heißt auch, dass wenn diese Seite 6 ist, dann ist die entsprechende Seite dieses Dreiecks auch 6. Also können wir hier schreiben, dass die Länge ebenfalls 6 beträgt. Ich denke du kannst dir denken, wo uns all das hinführt. Aber wir wollen es für uns beweisen. Wir wollen ganz sicher sein, was die Fläche beträgt. Wir wollen nicht sagen, hey, vielleicht ist das das Gleiche wie das. Wir ollen das tatsächlich beweisen. So, und wie machen wir das? Wir haben fast die gesamte Grundseite des Dreiecks herausbekommen. Aber wir haben immer noch nicht die Länge von HG. Aber wir können hier wieder einen Ähnlichkeitssatz benutzen, weil wir sehen können, dass Dreieck ABH tatsächlich ähnlich zu Dreieck ACG ist. Beide haben diesen Winkel hier, und dann haben beide einen rechten Winkel. ABH hat einen rechten Winkel dort. ACG hat einen rechten Winkel dort. Also haben wir zwei Winkel. Zwei entsprechende Winkel gleichen sich. Also arbeiten wir hier mit ähnlichen Dreiecken. Also wissen wir, dass Dreieck ABH-- ich schreibe es einfach als AHB, weil ich es schonmal so aufgeschrieben habe. AHB ist ähnlich zu Dreieck AGC. Wichtig ist hier wieder, dass du die Eckpunkte in die richtige Reihenfolge bringst. A ist der orangene Winkel. G ist der rechte Winkel und dann C ist der unbeschriftete Winkel. Das ist zum Dreieck AGC ähnlich. Und für uns heißt das nun, wir können die Verhältnisse nutzen, um herauszufinden, wie lang HG ist. Also was sagen wir hier drüben? Wir sagen, dass 8 durch 24-- BH durch seine entsprechenden Seite des größeren Dreiecks-- wir sagen 8 durch 24 ist gleich 6 durch, nicht HG sondern AG. 6 durch AG, ich denke du siehst wohin wir damit kommen. es ist 1/3. 1/3 ist gleich 6 durch AG, wenn wir hier über Kreuz multiplizieren erhalten wir AG ist gleich 18. Also ist die gesamte Länge hier 18. Wenn AG 18 ist und AH 6 ist, dann ist HG 12. Das ist, was du dir vielleicht schon gedacht hast, als du gerade die Antwort hier herauszufinden versucht hast. Aber nun haben wir uns bewiesen, dass diese Grundseite die Länge-- wir haben 18 hier und dann noch eine 18 hier. Also hat sie die Länge 36. Also ist die Länge der gesamten Grundseite 36. 36. Und so können wir nun die Fläche des gesamten gleichschenkligen Dreiecks finden. Die Fläche ACE ist gleich Grundseite, also 36, mal 24, also der Höhe, geteilt durch 2. Also ist das das Gleiche wie 1/2 mal 36, was 18 ist, mal 24. Ich schreib das hier drüben aus. also 18 mal 24. 8 mal 4 ist 32. 1 mal 4 ist 4, plus 3 ist 7. Dann kommt hier eine 0 hin, weil wir nun nicht mit 2 sondern 20 rechnen. 2 mal 8 ist 16. 2 mal 1 ist 2 plus 1. also ist das 360 und dann hast du eine 2, 7 plus 6 ist 13. 1 plus 3 ist 4. Also ist die Fläche von ACE 432. Aber wir sind noch nicht fertig. Die Fläche, die wir haben wollen, ist die Fläche des gesamten Dreiecks minus dieser Fläche hier und minus dieser hier. Also brauchen wir die Flächen dieser kleinen Dreiecke. Also brauchen wir die Flächen dieser kleinen Dreiecke. Also 8 mal 6 durch 2. Also 1/2 mal 8 ist 4 mal 6. Also ist das hier 24. Und das hier drüben ist auch 24. Also ist die Fläche, die wir suchen, 432 minus 24 minus 24. Oder minus 48, was-- und wir können das im Kopf rechnen. wenn wir 32 abziehen kriegen wir 400. und dann müssen wir noch 16 abziehen. Wenn du 10 von 400 abziehst, kriegst du 390, also sind wir dann bei 384-- wie auch immer die Flächeneinheit lautet. Wenn das hier Meter wären, wäre das hier in Quadratmetern. Wenn das Centimeter wären, wäre das Quadratcentimeter. Habe ich das richtig gemacht? Machen wir die Umkehrprobe. Wenn ich 40 addiere ist das 424, plus 8 führt mich zu 432. Damit sind wir fertig.