Geometrie-Textaufgabe: der goldene Schnitt

Wir sehen hier ein Selbstporträt, das Rembrandt im Jahre 1640 angefertigt hat. Was hier wirklich interesant ist, ist dass Rembrandt, wie andere große Künstler, so wie Leonardo da Vinci und Salvador Dali und viele, viele andere Künstler, sich sehr um etwas bemüht hat, das man den goldenen Schnitt nennt. Ich habe viele Videos über dieses Thema gemacht und über diese wirklich faszinierende Zahl, die normalerweise mit dem griechischen Buchstaben phi bezeichnet wird. Wenn man diese Zahl ausschreibt, erhält man die irrationale Zahl 1,61803, die sich unendlich weiter fortsetzt. Es gibt einige sehr schöne mathematische Eigenschaften von phi oder dem goldenen Schnitt. Wenn wir mit phi starten, oder nein, wir machen es anders. Wenn du mit 1 beginnen würdest und addiertest dann 1 geteilt durch phi hinzu, erhältst du als Ergebnis wieder phi. Das ist wirklich eine tolle Sache. Wenn du nun beide Seiten der Gleichung mit phi multiplizierst, dann erhältst du, wenn du mit phi startest und dann 1 addierst, phi Quadrat. Wenn du zu dieser Zahl also 1 hinzuaddierst, erhältst du ihr Quadrat. Das ist wirklich toll. Sie kann auch als ein Kettenbruch aufgeschrieben werden. Phi kann reformuliert werden als 1 plus 1, geteilt durch 1 plus 1, geteilt durch 1 plus 1, ... und immer so weiter. All diese Möglichkeiten führen zu phi. Vielleicht bekommst du dadurch schon eine Idee davon, dass phi wirklich eine tolle Zahl ist. Sie ist dabei nicht nur mathematisch faszinierend, sondern taucht auch immer wieder in der Natur auf. Dazu ist phi etwas, mit dem sich Künstler oft befasst haben, da viele davon überzeugt sind, dass der goldene Schnitt hilft die menschliche Schönheit zu definieren. Wir können in dem Bild hier sehen, dass Rembrandt sich ebenfalls für phi interessiert hat. Woher wissen wir das? Wir werden das Bild in den folgenden Übungen dieses Videos analysieren. Wir können hier ein Dreieck konstruieren. Natürlich waren diese Dreiecke keine Bestandteile des ursprünglichen Bildes. Wir legen sie über das Bild. Aber wenn du jetzt die Grundlinie eines Dreiecks genau dahin zeichnetest, wo sein Arm liegt und wenn dann die beiden Seiten des Dreiecks seine Arme und Schultern umranden würden, träfen sie sich an der Spitze im oberen Ende des Bogens. Damit erhieltest du das Dreieck ABD so wie wir es hier eingezeichnet haben. Schaue nun auf seine Augen, und du kannst dir vorstellen, dass wir normalerweise zu den Augen schauen, egal ob wir in ein Gesicht schauen oder auf ein Gemälde. Wenn du auf seine Augen schaust und dort eine parallele Linie ziehen würdest, die die Augen verbindet und die dazu parallel zu BD hier drüben ist, wir nennen die Strecke hier PR - werden wir sehen, dass dieses Verhältnis, das Verhältnis zwischen dem kleineren Dreieck und dem größeren Dreieck, mit phi zu tun hat. Also, das ist was wir wissen und was uns über dieses Bild erzählt worden ist, und das ist wirklich interessant. Das Längenverhältnis zwischen den Strecken CD und BC ist phi : 1. Also, wenn du die Höhe des größeren Dreiecks einzeichnest, dieses Verhältnis, das Verhältnis von CD, die Länge von CD bezogen auf BC, ist wiederum phi. Damit ist klar, dass Rembrand wahrscheinlich darüber nachgedach hat. Dazu wissen wir, dass PR parallel zu BD verläuft. Tatsächlich haben wir es so konstruiert. Also wird das hier parallel zu dem hier drüben sein. Der nächste Hinweis darauf, dass Rembrandt tatsächlich über dieses Verhältnis nachgedacht hat, ist das Verhältnis von AC zu AQ. AC ist die Höhe des größeren Dreiecks. Das Verhältnis davon zu AQ, also der Höhe des oberen Dreieckes, dieses Verhältnis ist phi plus 1 zu 1, oder man kann auch sagen dieses Verhältnis ist phi plus 1. Also ist es klar, dass Rembrandt eine Menge darüber nachgedacht hat. Nehmen wir nun einmal all diese Informationen und experimentieren ein wenige damit herum. Wir können ja mal schauen, ob wir einen Ausdruck finden, der die Fläche des Dreiecks ABD also des größeren Dreiecks, zur Fläche des Dreiecks APR ins Verhältnis setzt. Das ist das kleinere Dreieck hier oben. Also wollen wir das Verhältnis zwischen der Fläche des größeren Dreiecks und der Fläche des kleineren Dreiecks finden, und wir wollen einmal schauen, ob wir dies mittels phi erreichen können, ob wir einen Ausdruck finden, welcher nur phi enthält, oder eine konstante Zahl, oder phi in irgendeiner Weise beeinflusst. Halte das Video nun einmal an und probiere es aus. Lass uns sie Aufgabe Schritt für Schritt lösen. Was ist die Fläche eines Dreiecks? Nun, die Fläche eines jeden Dreiecks ist 1/2 mal die Länge der Grundlinie mal der Höhe. Damit ist die Fläche des Dreiecks ABD 1/2 mal der Länge der Grundlinie. Unsere Grundlinie ist die Lägen der Strecke BD. Also 1/2 mal BD Und was ist unsere Höhe? Nun, das ist die Länge der Strecke AC. 1/2 mal BD, Lass mich die gleichen Farben dafür nehmen -- multipliziert mit der Länge der Strecke AC. So, was ist nun die Fläche? Das ist die Fläche des Dreiecks ABD. 1/2 mal Grundfläche mal Höhe. Und was ist nun die Fläche des Dreiecks APR? Nun, das ist 1/2 mal die Länge der Grundlinie, das ist die Strecke PR, multipliziert mit der Höhe, das ist die Strecke AQ also die Länge der Strecke AQ, also mal der Länge der Strecke AQ. Wie können wir das jetzt ein wenig vereinfachen? Wir können zunächst 1/2 durch 1/2 dividieren. Das hebt sich gegenseitig auf. Was wissen wir noch? Nun, sie haben uns das Verhältnis zwischen AC und AQ gegeben. Das Verhältnis von AC zu AQ hier drüben ist gleich phi plus 1 zu 1. Oder wir können einfach sagen es ist gleich phi. Wir können auch sagen es ist gleich phi plus 1. Also lass mich das umschreiben. Lass es mich so aufschreiben. Somit haben wir die Länge der Strecke BD geteilt durch die Länge der Strecke PR, und damit können wir dies hier umschreiben, dies ist gleich phi plus 1 geteilt durch 1. Ich schreibe es einfach so. Somit ist dies phi plus 1 geteilt durch 1. Was ist also das Verhältnis von BD zu PR? Also das Verhältnis der Grundlinie des größeren Dreiecks zur Grundlinie des kleineren Dreiecks. Lass uns hierüber etwas nachdenken. Was du vielleicht direkt siehst ist, dass das größere Dreieck und das kleinere Dreieck, ähnlich zu sein scheinen. Sie haben offensichlich einen gemeinsamen Winkel A, und da PR parallel zu BD verläuft, wissen wir, dass dieser Winkel diesem Winkel entspricht. Somit sind diese beiden Winkel kongruent. Und wir wissen, dass dieser Winkel hier mit diesem Winkel hier drüben übereinstimmt. Damit haben wir drei korrespondierende Winkel, die kongruent sind. Dieser ist in sich kongruent, da er in beiden Dreiecken vorkommt. Dieser ist deckungsgleich mit diesem. Und dieser ist kongruent zu diesem. Somit hast du drei kongruente Winkel und beschäftigst dich mit zwei ähnlichen Dreiecken. Es gibt etwas, das bei ähnlichen Dreiecken sehr praktisch ist, und dies ist das Verhältnis zwischen den korrespondierenden Anteilen. Die korrespondierenden Längen, die korrespondierenden Teile der ähnlichen Dreiecke werden gleich sein. Wir haben eines der Verhältnisse gegeben. Wir haben das Verhältnis der Höhe des größeren Dreiecks zur Höhe des kleineren Dreiecks gegeben. AC verhält sich zu AQ wie phi plus 1 geteilt durch phi. Wenn dies für einen korrespondierenden Teil der ähnlichen Dreiecke wahr ist, dann ist auch für jeden anderen korrespondierenden Teil der ähnlichen Dreiecke wahr, dass das Verhältnis phi plus 1 geteilt durch 1 sein wird. Damit wird das Verhältnis von BD, das Verhältnis der Grundlinie des größeren Dreiecks zur Grundlinie des kleineren Dreiecks ebenso phi plus 1 geteilt durch 1 sein. Lass es mich so aufschreiben. Wir können dies ebenso als phi plus 1 geteilt durch 1 aufschreiben. Wie können wir dies noch vereinfachen? Nun, wir haben phi plus 1 geteilt durch 1 mal phi plus 1 geteilt durch 1. Wir können hier einfach durch 1 teilen. Du veränderst den Wert dabei nicht. Das wird dann gleich, und, wir haben uns jetzt einen Appplaus verdient, das ist gleich phi plus 1 zum Quadrat. Das war jezt sehr geschickt. Versuche einmal darüber nachzudenken, denn wir haben ja schon gesehen, dass phi plus 1 gleich phi zum Quadrat ist, und es gibt noch einige interessante Wege auf denen du dies weiter analysieren könntest.