Beweisen, dass die Steigung konstant ist mit Hilfe der Ähnlichkeit

In Algebra hören wir oft, dass wenn wir eine Gerade haben, sie eine konstante Änderungsrate für alle y in Hinblick auf alle x habe. sie eine konstante Änderungsrate für alle y in Hinblick auf alle x habe. Anders ausgedrückt, wird unsere Gerade eine stetige Neigung, oder eine konstante Steigung haben. Und diese Steigung ist definiert als die Veränderung von y -- dieses Dreieck hier ist der griechische Buchstabe "Delta". Und ist eine Kurzform für "Veränderung von". Es bedeutet eine Veränderung von y -- Delta y bedeutet Veränderung von y -- geteilt durch die Veränderung von x. Und wenn du es mit einer Geraden zu tun hast, ist das hier konstant. Und falls du es mit einer Geraden zu tun hast, ist das hier konstant. Was ich in diesen Video vorhabe, ist das mithilfe ähnlicher Dreiecke zu beweisen. ist das mithilfe ähnlicher Dreiecke zu beweisen. Also lasst uns über zwei Mengen von zwei Punkten nachdenken. Nehmen wir an das ist ein Punkt. Lasst mich das in einer anderen Farbe zeichnen. Ich beginne bei diesem Punkt. Und höre bei diesem Punkt auf. Wie verändert sich x zwischen diesen beiden Punkten? Den entsprechenden x-Wert finden wir hier. Und den x-Wert dieses Punktes sehen wir hier. Somit ist die Veränderung von x gleich dem hier. Und wie verändert sich y? Der y-Wert dieses Punktes steht hier. Und den y-Wert dieses Punktes sehen wir hier. Also ist diese Höhe die Veränderung von y. Das ist die Veränderung von y. Schauen wir uns jetzt zwei weitere Punkte an. Nehmen wir an ich habe diesen und diesen Punkt hier. Und das gleiche Spiel nochmal. Wie verändert sich x? Wie verändert sich x? Der x-Wert dieses Punktes liegt hier. Und der x-Wert dieses Punktes ist hier. Wenn wir hier anfangen und so weit gehen, wäre das die Veränderung von x zwischen diesen beiden Punkten. wäre das die Veränderung von x zwischen diesen beiden Punkten. Und das hier ist die Veränderung -- lass mich das ebenfalls mit Grün zeichnen. Also das hier ist die Veränderung von x zwischen diesen beiden Punkten. Also das hier ist die Veränderung von x zwischen diesen beiden Punkten. Und die Veränderung von y? Den y-Wert dieses Punktes sehen wir hier. Und den dieses Punktes hier. Und die Veränderung von y sehen wir hier. Also was ich zeigen möchte -- Ich nehme zwei beliebige Punkte. Ich möchte zeigen, dass das Verhältnis dieser Änderungsrate von y zu dieser Änderungsrate von x dasselbe ist, wie das Verhältnis dieser Änderungsrate von y zu dieser Änderungsrate von x. Oder dass das Verhältnis dieser lilanen Seite zu dieser grünen Seite das selbe sein wird, wie das Verhältnis dieser beiden Seiten. das selbe sein wird, wie das Verhältnis dieser beiden Seiten. Bedenkt, dass ich einfach zwei beliebige Mengen von Punkten nehme. Und dies werde ich anhand von Ähnlichkeit beweisen. Wenn ich beweisen kann, dass dieses Dreieck diesem ähnelt, habe ich mein Ziel erreicht. Ähnlichkeit zweier Dreiecke bedeutet, -- und hier gibt es mehrere Wege sich das vorzustellen -- -- und hier gibt es mehrere Wege sich das vorzustellen -- zwei Dreiecke sind sich ähnlich, wenn ihre Winkel gleich bzw. kongruent sind. zwei Dreiecke sind sich ähnlich, wenn ihre Winkel gleich bzw. kongruent sind. zwei Dreiecke sind sich ähnlich, wenn ihre Winkel gleich bzw. kongruent sind. Und lass es mich deutlich sagen: Die Winkel müssen sich nicht genau gleichen. Die entsprechenden Winkel müssen sich gleichen. Die entsprechenden Winkel müssen sich gleichen. Die entsprechenden Winkel müssen sich gleichen. Oder sie sind kongruent zueinander. Wenn ich zum Beispiel dieses Dreieck hier nehme, dessen Winkel 30, 60 und 90 Grad betragen. Und dann dieses Dreieck hier betrachte. Und dann dieses Dreieck hier betrachte. in dem dieser Winkel 30 Grad ist, dieser 60 und dieser 90. in dem dieser Winkel 30 Grad ist, dieser 60 und dieser 90. Auch wenn ihre Seiten verschieden lang sind, werden sich diese Dreiecke ähneln. Sie sind im Grunde skalierte Versionen voneinander. Alle entsprechenden Winkel -- diese 60 entspricht dieser 60, diese 30 dieser 30, und diese 90 zu diesem hier. Somit sind die beiden Dreiecke einander ähnlich. Das coole an ähnlichen Dreiecken ist, dass wenn du ihre Ähnlichkeit beweisen kannst, du weißt, dass das Verhältnis der entsprechenden Seiten gleich sein wird. dass das Verhältnis der entsprechenden Seiten gleich sein wird. Also wenn sich diese Dreiecke ähneln, wird das Verhältnis dieser Seite zu dieser Seite dasselbe sein wie -- lasst mich das auch mit Pink zeichnen -- das Verhältnis dieser Seite zu dieser. Und damit siehst du, wie das hier helfen kann, zu beweisen, dass die Steigung stetig ist, denn wir müssen nur hinschauen. Falls diese Dreiecke sich ähneln, wird das Verhältnis zwischen den sich entsprechenden Seiten immer gleich sein. Wir haben zwei beliebige Mengen von Punkten gewählt. Das trifft jedoch auf alle zwei Mengen beliebiger Punkte einer Geraden zu. Das trifft jedoch auf alle zwei Mengen beliebiger Punkte einer Geraden zu. Das würde auch für die gesamte Gerade gelten. Also lasst uns versuchen die Ähnlichkeit nachzuweisen. Zunächst einmal wissen wir, dass diese beiden Dreiecke rechtwinklig sind. Zunächst einmal wissen wir, dass diese beiden Dreiecke rechtwinklig sind. Diese grünen Geraden sind absolut horizontal. Und diese lilanen absolut vertikal, da die grünen Geraden waagerecht und die lilanen senkrecht verlaufen. da die grünen Geraden waagerecht und die lilanen senkrecht verlaufen. da die grünen Geraden waagerecht und die lilanen senkrecht verlaufen. Lass mich sicherstellen das zu markieren. Also wir wissen, dass diese beiden rechte Winkel sind. Also haben wir einen entsprechenden Winkel der kongruent ist. Jetzt müssen wir zeigen, dass es die anderen auch sind. Und wir können das zeigen, indem wir unser Wissen über parallele Geraden und Transversale nutzen. indem wir unser Wissen über parallele Geraden und Transversale nutzen. Betrachten wir diese grünen Geraden. Ich verlängere sie. Das sind Geradenabschnitte, aber wenn wir sie uns als Geraden vorstellen und sie einfach fortführen. und sie einfach fortführen. Also diese Gerade ist offensichtlich parallel zu dieser. Sie sind absolut horizontal. Und jetzt kann man unsere orange Gerade als einen Transversal betrachten. Und wenn du sie als einen Transversal betrachtest, siehst du, dass dieser Winkel diesen entspricht. Und wir wissen von Transversalen paralleler Geraden, dass sich entsprechende Winkel kongruent sind. Also muss dieser Winkel kongruent zu diesem sein. Also muss dieser Winkel kongruent zu diesem sein. Jetzt argumentieren wir für diesen Winkel auf eine ähnliche Weise, doch nun nehmen wir die beiden vertikalen Geraden. Wir wissen, dass wir diesen Abschnitt wie eine Gerade fortführen könnten. Wir wissen, dass wir diesen Abschnitt wie eine Gerade fortführen könnten. Eine vertikale Gerade. Und wir könnten diesen Abschnitt hier wie eine vertikale Gerade fortführen. Wir wissen, dass beide vertikal verlaufen. Sie verlaufen genau in y-Richtung, also vertikal. Sie verlaufen genau in y-Richtung, also vertikal. Folglich ist diese Gerade parallel zu dieser hier. ]Unsere orange Gerade ist ein Transversal hiervon. Und dieser Winkel entspricht diesem hier drüben. Und das wollte ich zeigen. Sie sind kongruent. Entsprechende Winkel einer Transversalen zweier paralleler Geraden sind kongruent. Entsprechende Winkel einer Transversalen zweier paralleler Geraden sind kongruent. Das haben wir im Geometrie-Unterricht gelernt. Und damit hätten wir es. Alle entsprechenden Winkel -- dieser ist kongruent zu diesem. Dieser kongruent zu diesem. Außerdem betragen beide 90 Grad. Somit sind die beiden Dreiecke einander ähnlich. Somit sind die beiden Dreiecke einander ähnlich. Lasst mich das aufschreiben, damit wir wissen, dass sie sich ähneln. Und jetzt können wir das gemeinsame Verhältnis der Seiten benutzen. Wenn wir zum Beispiel diese Seitenlänge a nennen, diese b, diese c und diese d. Wenn wir zum Beispiel diese Seitenlänge a nennen, diese b, diese c und diese d. Wenn wir zum Beispiel diese Seitenlänge a nennen, diese b, diese c und diese d. Wenn wir zum Beispiel diese Seitenlänge a nennen, diese b, diese c und diese d. Da es ähnliche Dreiecke sind, wissen wir, dass das Verhältnis zwischen entsprechenden Seiten, Da es ähnliche Dreiecke sind, wissen wir, dass das Verhältnis zwischen entsprechenden Seiten, das Verhältnis zwischen a und b dem zwischen c und d entspricht. das Verhältnis zwischen a und b dem zwischen c und d entspricht. das Verhältnis zwischen a und b dem zwischen c und d entspricht. Und dieses Verhältnis ist die Definition der Steigung, Veränderung von y geteilt durch Veränderung von x. Und das ist konstant, da alle rechtwinkligen Dreiecke, die wir zwischen diesen beiden Punkten erzeugen könnten, einander ähneln werden, wie wir soeben gezeigt haben. Und wenn sie einander ähneln, ist das Verhältnis der Länge dieses vertikalen Geradenabschnittes zu der dieses horizontalen gleichbleibend. Das ist die Definition einer Steigung. Somit ist die Steigung einer Geraden stetig.