If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:9:39

Besondere rechtwinklige Dreiecke - Einführung (Teil 2)

Video-Transkript

Heute möchte ich weiter mit den 45-45-90 Dreiecken machen. Im letzten Video haben wir gelernt, dass jede Seite des 45-45-90 Dreiecks, die nicht die Hypotenuse ist, ist gleich (√ 2) / 2 mal die Hypotenuse Lasst uns noch ein paar Aufgaben lösen. Nehmen wir an, dass die Hypotenuse... also noch mal, all das gilt nur für die 45-45-90 Dreiecke… Wenn dieser Winkel 45 ° ist, dann ist der zweite Winkel auch 45 °. Nehmen wir an, dass die Hypotenuse gleich 10 ist. Wir wissen, dass es die Hypotenuse ist, weil die gegenüber dem rechten Winkel liegt. Die Frage ist: wie viel die Seite x beträgt? Wir wissen bereits, dass x gleich √ 2 / 2 mal die Hypotenuse, also mal 10 ist. Oder, x = 5 √ 2. 10 wird durch 2 geteilt. Also x = 5 √ 2. Wir wissen, dass diese Seite und dieser gleich sind, weil das ein gleichschenkliges Dreieck ist, denn diese beiden Winkel gleich sind. Also diese Seite ist 5 √ 2. Wenn ihr nicht glaubt, könnt ihr das nachprüfen. Lasst uns der Satz des Pythagoras anwenden. (5√2)²+(5√2)² ist gleich der Hypotenuse in Quadrat. Die Hypotenuse ist gleich 10. Das ist 25 mal 2. Hier erhalten wir 50 plus 50. Hier haben wir 100. Und natürlich wissen wir, dass das wahr ist. Also es funktioniert. Wir haben es mit dem Satz des Pythagoras bewiesen. Und das zeigt wie wir zu dieser Formel gekommen sind. Wenn ihr das vergessen habt, könnt ihr zum entsprechenden Video zurückkehren. Nun möchte ich mit dem anderen Dreiecktyp anfangen. Und ich werde den gleichen Weg gehen: zuerst die Aufgabe definieren und dann den Satz des Pythagoras anwenden, um alles zu berechnen. Das ist ein anderer Dreiecktyp, man nennt die 30-60-90 Dreiecke. Wenn ich in diesem Video nicht genug Zeit habe, mache ich ein anderes Video. Nehmen wir an, dass wir ein Dreieck haben. Das ist nicht hübsch, aber ein anderes haben wir nicht. Das ist ein rechter Winkel. Nehmen wir an, dass dieser Winkel 30° ist. Wir wissen, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt. Hier haben wir 30, hier – 90 und hier, sagen wir, x. x + 30 + 90 = 180, weil die Winkelsumme eines Dreiecks 180 ° beträgt. Wir wissen, dass x=60 ° ist. Dieser Winkel ist 60°. Und das ist der Grund warum man ihn 30-60-90 Dreieck nennt, weil das die Winkelgrößen sind. Wenn das die Hypotenuse ist... lasst uns die nicht „c“ wie üblich, sondern „h“ nennen… Ich möchte die anderen Seiten herausfinden. Wie sollen wir das tun? Wir können den Satz des Pythagoras anwenden. Jetzt zeige ich euch einen kleinen Trick. Lasst uns ein Dreieck zeichnen. Das ist die exakte Kopie des ersten Dreiecks. Wir haben es bloß umgedreht. Hier haben wir 90 °. Diese beiden Winkel sind Supplementwinkel. Wenn ihr vergessen habt, dass die Supplementwinkel 180 Grad betragen, könnt ihr das Video über Winkel noch mal angucken. Das ist 90 °, hier ist also auch 90 °. Das fällt gleich ins Auge. Wir haben das Dreieck umgedreht und die exakte Kopie von ihm erhalten. Es ist einfach umgedreht. Wir wissen, dass dieser Winkel 30 ° ist. Und dass dieser Winkel 60 ° ist. Dieser Winkel ist 30 ° und dieser auch, d. h., dass dieser große Winkel 60 °ist. Wenn dieser Winkel 60 °, der obere Winkel 60 ° und dieser rechte Winkel 60 ° sind, also wenn diese Winkel gleich sind, dann sind die nicht gemeinsamen Seiten auch gleich. Diese zwei Winkel sind gleich. Welche Seiten sind nicht für sie gemeinsam? Es ist diese Seite und diese. Wenn diese Seite gleich h ist, dann ist diese Seite auch h. Aber dieser Winkel ist auch gleich 60 °. Wenn wir auf den Winkel und den gucken, dann wissen wir, dass die nicht gemeinsamen Seiten auch gleich sind. Die für sie gemeinsame Seite ist diese. Die nicht gemeinsamen Seiten sind diese und diese. Da diese Seite h ist, können wir sagen, dass diese Seite auch h ist. Es stellt sich heraus, dass, wenn wir 60, 60 und 60° haben, alle Seiten im Dreieck gleich sind. Dies ist ein gleichseitiges Dreieck. Das soll man merken! Und es ist ganz logisch, weil ein gleichseitiges Dreieck symmetrisch ist. Es ist egal, von welcher Seite man ihn ansieht. Alle seine Winkel sind gleich, und alle seine Seiten sind auch gleich. Aber ... In der ursprünglichen Aufgabe hatten wir nur die Hälfte von diesem Dreieck. Wir wissen, dass diese Seite gleich h ist. Aber wenn die ganze Seite h ist, dann diese Seite, die Grundseite unseres Dreiecks... Ich zeichne es absichtlich dicker ... Lasst uns eine andere Farbe nehmen ... ... wird die Hälfte von diese Seite sein. Hier ist h/2 und hier ist auch h/2. Lasst uns zu unserem ursprünglichen Dreieck zurückkehren. Hier ist 30 °, und das ist die Hypotenuse, weil sie dem rechten Winkel gegenüber liegt. Und wir wissen, dass die Seite, die dem 30 °Winkel gegenüber liegt, gleich der Hälfte der Hypotenuse ist. Lasst uns erinnern, wie wir es getan haben. Wir hatten dieses Dreieck verdoppelt. Und wir haben herausgefunden, dass diese Seite der Hypotenuse gleich ist. Und das ist die Hälfte von der gesamten Länge. Also das ist die Hälfte der Hypotenuse. Lasst uns das merken! Lasst mich das noch mal auf der anderen Seite zeichnen. Gehen wir zur ursprünglichen Aufgabe zurück. Das ist ein rechter Winkel. Das ist die Hypotenuse. Hier haben wir 30 °, und wir haben gerade rausgefunden, dass die Seite, die dem 30 ° Winkel gegenüber liegt, gleich der Hälfte der Hypotenuse ist. Wenn es gleich der Hälfte der Hypotenuse ist, wie viel beträgt dann diese Seite? Hier können wir wieder den Satz des Pythagoras anwenden. Wir wissen, dass diese Seite in Quadrat plus diese Seite in Quadrat, nennen wir sie A, gleich h ² ist. Wir erhalten: (½ h) ² + A ² = h ². Hier erhält man: h ²/4 + A ² = h ². Wir subtrahieren h ² von beiden Seiten und erhalten: A ² = h ²-h ² / 4. Dies wiederum ist gleich h ² (1-1/4) = ¾ h ². Noch mal, das ist gleich A ². Ich habe keinen Platz mehr, also werde ich hierher gehen. Wir ziehen die Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung. Wir erhalten: A = √ (3/4), das ist das Gleiche wie (√ 3)/2. Und √ h ² ist nur h. Mit A haben wir die Fläche bezeichnet. Und jetzt bezeichnen wir damit die Länge dieser Seite. Ich sollte wohl nicht A verwenden... Das entspricht ((√ 3) / 2) h Wir stellten alle Seiten des Dreiecks durch die Hypotenuse dar. Hier haben wir 60 °. Wir können sagen, dass die Seite, die dem 30°-Winkel gegenüber liegt, die Hälfte der Hypotenuse beträgt. Wir wissen auch, dass die Seite, die dem 60 °- Winkel gegenüber liegt, (√ 3) / 2 mal die Hypotenuse entspricht. Im nächsten Video zeige ich euch, wie man diese Informationen benutzen kann, um die Aufgaben mit den 30, 60, 90 ° Dreiecke schnell zu lösen. Bis zum nächsten Video!