Trigonometrische Textaufgaben: Sterne

Artemis möchte gerne die Breite des Oriongürtels wissen Dieser stellt eine bestimmte Sternenformation innerhalb des Sternbilds Orion dar. Sie hat früher schon einmal die Entfernungen des Sterns Alnitak zu ihrem Haus, nämlich 736 Lichtjahre und des Sterns Mintaka zu ihrem Haus, nämlich 915 LIchtjahre bestimmt Diese beiden Sterne stellen die Eckpunkte des Oriongürtels dar Sie weiß auch, dass der Winkel zwischen diesen Sternen im Himmel 3 Grad beträgt Wie breit ist nun der Oriongürtel? d.h. wie groß ist die Entfernung zwischen Alnitak und Mintaka? Man will die Antwort in Lichtjahren haben Lass uns eine Skizze zeichnen Damit wir verstehen, worum es geht und bevor wir das tun möchte ich dich ermutigen, das Video zu pausieren und es selbst zu versuchen Also, lass uns eine Skizze machen ok. Hier haben wir Artemis´ Haus Hier Das ist ihr Haus Ich nenne diesen Punkt A und dann ach nein, ich nenne ihn H für Haus Ihr Haus ist hier und dann haben wir diese zwei Sterne und wenn sie in den Sternenhimmel schaut sieht sie diese Sterne Alnitak, 736 Lichtjahre entfernt das kann ich natürlich nicht im Maßstab zeichnen Das hier ist Alnitak und Mintaka ist hier Mintaka und wir wissen dass die Entfernung zwischen ihrem Haus und Alnitak 736 Lichtjahre beträgt Die EInheit ist Lichtjahre 736 Und die Entfernung zwischen ihrem Haus und Mintaka ist 915 Lichtjahre Es würde 915 LIchtjahre dauern, um von ihrem Haus nach Mintaka zu kommen oder von Mintaka zu ihrem Haus 915 Lichtjahre Jetzt möchte ich herausfinden wie breit der Oriongürtel ist also die Entfernung zwischen Alnitak und Mintaka In meiner Skizze ist das diese Entfernung hier Was wir noch haben ist dieser Winkel Dieser Winkel hier in dem wir die beiden Sterne sehen können beträgt 3 Grad 3 Grad Wie können wir nun die Entfernung zwischen Alnitak und Mintaka bestimmen? Wir nennen sie x gleich x Wie machen wir das? Wir haben also zwei Seiten und den dazwischenliegenden Winkel Wir können den Kosinussatz anwenden um die dritte Seite zu bestimmen den Kosinussatz den wollen wir jetzt anwenden Der Kosinussatz besagt dass x zum Quadrat gleich der Summe der Quadrate der anderen zwei Seiten also 736 zum Quadrat + 915 zum Quadrat, minus zwei mal 736 mal 915 mal dem Kosinus des Winkels ist mal dem Kosinus von 3 Grad Nochmal wir versuchen, die Länge der Seite herauszufinden, die dem Winkel von 3 Grad gegenüber liegt Wir kennen die Länge der anderen beiden Seiten Wir brauchen den Kosinussatz, weil es sich um ein beliebiges, nicht ein rechtwinkliges Dreieck handelt Wir kennen den Winkel und die zwei ihm anliegenden Seiten Damit können wir die ihm gegenüberliegende Seite berechnen mit Hilfe des Kosinussatzes Dieser sieht dem Satz des Pythagoras am Anfang ähnlich aber dann brauchen wir eine Anpassung weil es sich nicht um ein rechtwinkliges (sondern um ein beliebiges) Dreieck handelt Und die Anpassung beträgt zwei mal das Produkt dieser beiden Seiten mal dem Kosinus des Winkels und wenn wir nur x haben möchten dann müssen von dem ganzen Ausdruck die Wurzel nehmen Kopieren und einfügen kopieren und einfügen x ist gleich der Wurzel von all dem Ich benutze den Taschenrechner im degree mode Ja, ich bin im degree mode Exit Jetzt haben wir uns einen Trommelwirbel verdient Gerundet ist x gleich 100 Sie wollen, dass wir das Ergebnis gerundet zum nächsten Lichtjahr angeben das nächste Lichtjahr ist 184 Lichtjahre x ist ungefähr 184 Lichtjahre Es bräuchte also 184 Lichtjahre, um von Mintaka zu Alnitak zu reisen Das zeigt dir hoffentlich wenn du dich irgendwann einmal mit Astronomie beschäftigst dass der Kosinussatz( und der Sinussatz) eigentlich die gesamte Trigonometrie überaus nützlich sein kann