Einführung in trigonometrische Verhältnisse

Hallo! In diesem Video erzähle ich euch über die Grundlagen der Trigonometrie. Das klingt kompliziert, in Wirklichkeit prüft sie einfach das Seitenverhältnis eines Dreiecks. Das Wort Trigonometrie kommt von griechischen trígonon „Dreieck“ und métron „Maß“. Ich gebe euch einige Beispiele, die alles klären sollten. Lasst mich ein Paar rechtwinklige Dreiecke zeichnen. Das ist das erste. Das ist ein rechtwinkliges Dreieck. Wir nennen es rechtwinklig, weil einer von seinen Winkel gleich 90° ist. Hier ist der rechte Winkel. Er ist 90°. In den folgenden Videos werden wir über andere Möglichkeiten sprechen, um Winkelgröße zu zeigen. Wir haben also einen 90°-Winkel, was bedeutet, dass das ein rechteckiges Dreieck ist. Wir bezeichnen die Seiten. Diese Seite ist gleich 3. Das ist die Höhe. Die Grundseite des Dreiecks ist gleich 4. Die Hypotenuse des Dreiecks…hier ist sie…ist gleich 5. Die Hypotenuse gibt es nur in den rechtwinkligen Dreiecken. Das ist eine Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt, und zur gleichen Zeit die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist. Das ist die Hypotenuse ... Wenn ihr den Satz des Pythagoras anwendet, könnt ihr euch überzeugen, dass das Dreieck solche Seiten haben kann. Wir wissen, dass 3 ²+ 4 ² gleich der Länge der längsten Seite, der Länge der Hypotenuse in Quadrat ist. Das ist gleich 5 ². Ihr könnt prüfen, ob diese Längen dem Satz des Pythagoras genügen. Und jetzt können wir uns mit der Trigonometrie befassen. Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Man bezeichnet sie üblicherweise mit sin, cos, tan und cot. Welche Bedeutung haben diese Funktionen? Sie zeigen Seitenverhältnisse für jeden Winkel im Dreieck. Lasst mich jetzt etwas schreiben. Das ist so etwas wie eine Eselsbrücke, die euch helfen soll, die Definition dieser Funktionen besser zu merken. GAGA HHAG Ihr fragt euch vielleicht, wie solche Technik wird euch helfen, Trigonometrie zu verstehen. Mal sehen. Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse. Es scheint jetzt schwierig zu sein, aber ich werde bald alles detailiert erklären. Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Hypotenuse. Der Tangens ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Ankathete. Mit dem Kotangens befassen wir uns noch nicht. Ihr denkt vermutlich, "Hmm, was sind diese Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse? Worüber geht es überhaupt?" Sagen wir, dass wir einen Winkel haben. Nennen wir ihn θ. Er liegt zwischen Seiten mit den Längen 5 und 4. Das ist der Winkel θ. Lasst uns die Werten von Sinus, Cosinus und Tangens von θ herausfinden. Fangen wir mit dem Sinus an. Wir sollen uns bloß an GAGA/HHAG erinnern. GAGA/HHAG... Der Sinus ist die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Was ist die Gegenkathete? Das ist unser Winkel. Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt. Die Gegenkathete ist 3. Welche Seite ist die Hypotenuse? Wir wissen bereits, dass die Hypotenuse 5 ist. Also 3 durch 5. sin(θ) = 3 / 5. Was sind die Sinuswerte von θ? 3 / 5. Und ich werde euch bald zeigen, dass, wenn dieser Winkel ein besonderer Winkel ist, dann wird der Sinus immer gleich drei Fünftel sein... Das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse wird immer das Gleiche sein, egal ob das Dreieck größer oder kleiner wäre. Jetzt zum Kosinus. Der Kosinus ist die Ankathete durch die Hypotenuse. Wir haben festgestellt, dass 3 die Gegenkathete ist, aber nur für den Winkel. Und die Seite 4 ist für diesen Winkel die Ankathete. Das ist eine von Seiten, die den Eckpunkt bilden. Sie ist Ankathete. Damit es klar ist: Das gilt nur für den Winkel θ. Wenn wir über diesen Winkel sprechen, ist diese grüne Seite die Gegenkathete und diese gelbe ist Ankathete. Wir sprechen jetzt aber über diesen Winkel. Also der Kosinus von θ. Die Ankathete ist 4. Die Ankathete durch die Hypotenuse, die 5 ist. Wir erhalten 4 / 5. Lasst uns jetzt mit demTangens befassen. Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Die Gegenkathete ist 3. Wie viel beträgt die Ankathete? Das wissen wir bereits. Die Ankathete ist 4. Wenn wir die Seitenlängen kennen, können wir die Winkelfunktionen herausfinden. Wir werden erfahren, dass es andere Winkelfunktionen gibt. Die sind aber alle von diesen drei elementaren Winkelfunktionen abgeleitet. Jetzt kommen wir nun zum anderen Winkel. Ich zeichne es noch mal. Lasst uns genau das gleiche Dreieck zeichnen. Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind wiederum gleich... Die eine ist 4, die andere ist 3 und die dritte ist 5. In dem letzten Beispiel haben wir θ benutzt. Lasst uns jetzt einen anderen Buchstaben nehmen. Ich wähle irgendeinen griechischen Buchstaben... sagen wir ψ. Ein wenig seltsam, natürlich. In der Regel wird θ verwendet. Ich habe sie aber schon verwendet. Also nehme ich sie ψ. Nein, ich werde diesen Winkel lieber x nennen. Also, lasst uns die Winkelfunktionen von x rausfinden. Wir haben Sinus von x. Wie ist sein Wert? ... Der Sinus ist die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Welche Seite liegt dem Winkel x gegenüber? Er liegt der Seite 4 gegenüber. Die ist die Gegenkathete. Ihr wisst ja, dass die Seite 4 die Ankathete für den Winkel θ war. Jetzt ist sie aber die Gegenkathete. Also 4 durch ... Wie viel beträgt die Hypotenuse? Die Hypotenuse bleibt konstant, egal welchen Winkel wir auswählen. Die Hypotenuse ist also 5. Wir erhalten 4 / 5. Und weiter geht es. Jetzt zum Kosinus. Der Kosinus ist die Ankathete durch die Hypotenuse. Welche Seite an Winkel x grenzt und doch keine Hypotenuse ist? Die Hypotenuse ist hier. Die Seite 3 ist eine der Seiten, die Winkel bilden. Und sie ist keine Hypotenuse. D. h, dass sie Ankathete ist. Wir erhalten: 3 durch die Hypotenuse. Hypotenuse ist gleich 5. Und zuletzt der Tangens... Wir wollen tan(x) ermitteln. Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. GAGA/HHAG. Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Die Gegenkathete ist 4. Wir zeichnen sie blau. Die Ankathete ist 3. Das was! In dem nächsten Video werde ich viele Aufgaben lösen, bis ihr versteht wie das geht. Ihr könnt gerne nachdenken, was passiert, wenn dieser Winkel sich 90°-Grenze annähert, oder wenn er größer als 90° ist? Wir werden feststellen, dass unsere Eselsbrücke nur für die Winkel von 0 bis 90° gut ist. Für die Winkel, die größer als 90° sind, brauchen wir was anderes auszudenken.