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Video-Transkript

Hallo! In diesem kurzen Video werde ich beweisen, dass die Diagonalen einer Raute senkrecht sind. Denkt daran, dass eine Raute bloß ein Parallelogramm ist, dessen alle vier Seiten gleich sind. Wenn alle vier Seiten gleich sind, dann ist das sicher entweder ein Quadrat oder ein Parallelogramm. Lasst mich erklären. Einige Rauten sind Quadrate, aber nicht alle, weil man auf die Rauten stoßen kann, deren Winkel nicht gleich 90 Grad sind. Aber alle Quadrate sind die Rauten, weil ihre Winkel 90 Grad sind. Aber nicht das beweist, dass sie Rauten sind, sondern das, dass ihre Seiten gleich sind. Also alle Quadrate sind Rauten, aber nicht alle Rauten sind Quadrate. Nun zu den Diagonalen der Raute. Ich werde jetzt eine Raute so zeichnen, dass sie die Form eines Diamanten ähnelt. Beachtet aber: Ich werde nicht die Eigenschaften der Raute ändern, sondern ein wenig ihre Anordnung. Nach der Definition sind alle vier Seiten der Raute gleich. Lasst mich eine von ihren Diagonalen zeichnen. Die Raute, die ich gezeichnet habe, sieht wie ein Diamant aus. Und eine ihrer Diagonalen ist genau waagerecht. Die Dreiecke, die oben und unten gebildet worden sind, haben eine gemeinsame Seite. Das ist klar, dass diese Seite für beide Dreiecke gleich ist. Und die beiden anderen Seiten sind auch gleich, weil sie Seiten unserer Raute sind. Das heißt, dass alle drei Seiten des oberen und unteren Dreiecks gleich sind. Also das obere und das untere Dreiecke sind gleich. Erinnert euch an der Geometrie in der neunten Klasse. Wir haben argumentiert, dass zwei Dreiecke, die in den Längen der drei Seiten übereinstimmen, gleich sind. Das bedeutet auch, dass alle Winkel dieser Dreiecke gleich sind. Der Winkel, der der gemeinsamen Seite gegenüber liegt, ist gleich dem entsprechenden Winkel des zweiten Dreiecks. Beide Dreiecke sind auch gleichschenklig. Das heißt, dass ihre Basiswinkel auch gleich sind. Das ist ein gleichschenkliges Dreieck, der auf dem Kopf steht, und das ist das gleiche Dreieck, dessen Eckpunkt oben ist. Also, wenn diese beiden Winkel gleich sind, dann sind diese beiden auch gleich. Diese beiden Winkel sind gleich, weil das ein gleichschenkliges Dreieck ist, und sie sind auch gleich diesen beiden Winkeln, weil unsere Dreiecke gleich sind. Nun, wenn wir ... Wir machen das nicht, weil wir das für unsere Beweisführung nicht brauchen. Lasst uns die Höhe der beiden Dreiecke zeichnen, die nach der Definition senkrecht der Grundseite ist. Ein gleichschenkliges Dreieck ist perfekt symmetrisch. Wenn ihr die Höhe aus seinem oberen Eckpunkt zieht, wird er in zwei symmetrische rechtwinklige Dreiecke geteilt. Sie sind die Spiegelbilder voneinander. Ihr teilt dann auch die Grundseite entzwei. Die Höhe ist auch die Mediane des Dreiecks. Jetzt können wir das Gleiche von der anderen Seite tun. Es geschieht das Gleiche. Wir teilen die Grundseite entzwei, und erhalten einen rechten Winkel. Die Kombination aus diesen beiden Höhen ist nur die Diagonale der Raute, die senkrecht zu der anderen Diagonale der Raute ist und sie halbiert. Hier können wir den gleichen Beweis anbringen. Ihr könnt ein gleichschenkliges Dreieck hier nehmen. Hier ist seine Höhe. Sie teilt das Dreieck in zwei gleiche symmetrische Dreiecke und schneidet seine Grundseite in zwei gleiche Teile. Sie ist, in anderen Worten, die Mediane des Dreiecks. Das gilt für jedes gleichschenkliges Dreieck. Wenn diese Seite der Seite gleich ist, und ihr die Höhe zeichnet, werden die beiden Dreiecke symmetrisch sein, und ihr teilt die Grundseite entzwei. Aus dem gleichen Grund ist diese Seite gleich dieser. Also die Diagonalen der Raute stehen aufeinander senkrecht und halbieren einander. Hoffentlich hat es euch Spaß gemacht.