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Geometrie (alle Inhalte)

Kurs: Geometrie (alle Inhalte) > Lerneinheit 8

Lesson 4: Volumen von Kegeln, Zylindern und Kugeln

Volumenformeln - Wiederholung

Wiederhole die Formeln für Volumen von Prismen, Zylindern, Pyramiden, Kegeln und Kugeln

Auf den ersten Blick mag es so aussehen, als gäbe es eine Vielzahl von Volumenformeln, aber viele der Formeln haben eine gemeinsame Struktur.

Prismen und prismenähnliche Figuren

start text, V, o, l, u, m, e, n, end text, start subscript, start text, P, r, i, s, m, a, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, G, r, u, n, d, f, l, a, with, \", on top, c, h, e, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, H, o, with, \", on top, h, e, end text, end color #ca337c, right parenthesis

Wir messen die Höhe eines Prismas immer senkrecht zur Ebene seiner Grundfläche. Das ist auch dann richtig, wenn ein Prisma auf der Seite liegt oder gekippt ist (ein schiefes Prisma).

Quader

Oft lernen wir das Volumen zuerst anhand von rechteckigen Prismen (insbesondere von Quadern) kennen, z. B. indem wir ein Prisma aus Würfeln bauen.

Beachte, dass jede Fläche eines rechteckigen Prismas seine Basis sein kann, solange wir die Höhe des Prismas senkrecht zu dieser Fläche messen.

\begin{aligned} \text{Volumen}_{\text{Quader}}&=(\blueE{\text{Flächeninhalt}_{\text{Rechteck}}})\cdot (\maroonD{\text{Höhe}})\\\\ &=\left(\blueE{(\text{rechteckige Grundfläche})(\text{rechteckige Höhe})}\right)\cdot (\maroonD{\text{Höhe des Prismas}})\\\\ &=\blueE{lb}\maroonD{h} \end{aligned}

Dreieckprisma

Ein Dreiecksprisma hat eine Grundfläche in Form eines Dreiecks.

\begin{aligned} \text{Volumen}_{\text{Dreiecksprisma}}&=(\blueE{\text{Flächeninhalt}_{\text{Dreieck}}})\cdot (\maroonD{\text{Höhe}})\\\\ &=\left(\blueE{\dfrac{1}{2}(\text{dreieckige Basis})(\text{Höhe des Dreiecks})}\right)\cdot (\maroonD{\text{Höhe des Prismas}})\\\\ &=\blueE{\dfrac{1}{2}bh}\maroonD{\ell} \end{aligned}

Zylinder

Ein Kreiszylinder ist eine prismenähnliche Figur, die eine kreisförmige Basis hat.

\begin{aligned} \text{Volumen}_{\text{Kreiszylinder}}&=(\blueE{\text{Flächeninhalt}_{\text{Kreis}}})\cdot (\maroonD{\text{Höhe}})\\\\ &=(\blueE{\pi \cdot (\text{Radius})^2})\cdot (\maroonD{\text{Höhe}})\\\\ &=\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Schräges Prisma

Bei schrägen Prismen liegen die Basen in parallelen Ebenen,

Aufgrund des Cavalieri-Prinzips berechnen wir das Volumen immer noch auf genau dieselbe Weise.

Welcher Ausdruck gibt das Volumen des schrägen Quaders an?

(Auswahl A)
2, dot, 1, comma, 5, dot, 5
(Auswahl B)
2, dot, 1, comma, 5, dot, 4, dot, 5
(Auswahl C)
2, dot, 1, comma, 5, dot, 4

Pyramiden und pyramidenähnliche Figuren

start text, V, o, l, u, m, e, n, end text, start subscript, start text, P, y, r, a, m, i, d, e, end text, end subscript, equals, start color #7854ab, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #7854ab, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, G, r, u, n, d, f, l, a, with, \", on top, c, h, e, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, H, o, with, \", on top, h, e, end text, end color #ca337c, right parenthesis

Wir messen auch die Höhe einer Pyramide senkrecht zur Ebene ihrer Basis. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips funktioniert die gleiche Volumenformel für rechtwinklige und schräge pyramidenartige Figuren.

Rechteckige Pyramiden

Eine rechteckige Pyramide, hat eine Basis, die wie ein Rechteck geformt ist.

\begin{aligned} \text{Volumen}_{\text{rechteckige Pyramide}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{Flächeninhalt}_{\text{Rechteck}}})\cdot (\maroonD{\text{Höhe}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\left(\blueE{(\text{rechteckige Basis})(\text{rechteckige Höhe})}\right)\cdot (\maroonD{\text{Höhe der Pyramide}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{lb}\maroonD{h} \end{aligned}

Kegel

Ein Kreiskegel ist eine pyramidenähnliche Figur mit einer kreisförmigen Basis.

\begin{aligned} \text{Volumen}_{\text{Kreiskegel}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{Flächeninhalt}_{\text{Kreis}}})\cdot (\maroonD{\text{Höhe}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\pi \cdot (\text{Radius})^2})\cdot (\maroonD{\text{Höhe}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Kugeln

start text, V, o, l, u, m, e, n, end text, start subscript, start text, K, u, g, e, l, end text, end subscript, equals, start color #a75a05, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, end color #a75a05, pi, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, R, a, d, i, u, s, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, cubed

[Woher kommt diese Formel?]

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