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Geometrie (alle Inhalte)

Kurs: Geometrie (alle Inhalte) > Lerneinheit 9

Lesson 3: Der Satz des Pythagoras und der Abstand zwischen Punkten
Mathematik
Geometrie (alle Inhalte)
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras und der Abstand zwischen Punkten
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Abstandsformel

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Leite eine allgemeingültige Formel für die Distanz zwischen zwei Punkten her.
Der start color #11accd, start text, A, b, s, t, a, n, d, end text, end color #11accd zwischen den Punkten left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis und left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis ist durch die folgende Formel gegeben:
square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
In diesem Artikel wollen wir diese Formel herleiten!

Herleitung der Abstandsformel

Wir wollen beginnen, indem wir die Punkte left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, vertical bar, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis and left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, vertical bar, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis grafisch darstellen.
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei.
Die Länge der Strecke zwischen den zwei Punkten ist der start color #11accd, start text, A, b, s, t, a, n, d, end text, end color #11accd zwischen ihnen:
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte.
Wir wollen den start color #11accd, start text, A, b, s, t, a, n, d, end text, end color #11accd herausfinden. Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, können wir den Satz des Pythagoras benutzen!
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte. Ein dritter, nicht beschrifteter Punkt befindet sich bei x zwei, y eins. Eine Linie verbindet ihn mit dem Punkt x zwei, y zwei und eine weitere Linie mit dem Punkt x eins, y eins und bildet ein rechtwinkliges Dreieck.
Ein Term für die Länge der Basis ist start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54:
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte. Ein dritter, nicht beschrifteter Punkt befindet sich bei x zwei, y eins. Eine Linie verbindet ihn mit dem Punkt x zwei, y zwei und eine weitere Linie mit dem Punkt x eins, y eins und bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist unbekannt und die Seite, die von den Punkten x eins, y eins und x zwei, y eins gebildet wird, wird mit x zwei minus x eins beschriftet.
Gleichermaßen ist ein Term für die Höhe start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10:
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte. Ein dritter, nicht beschrifteter Punkt befindet sich bei x zwei, y eins. Eine Linie verbindet ihn mit dem Punkt x zwei, y zwei und eine weitere Linie mit dem Punkt x eins, y eins und bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist unbekannt und die Seite, die durch die Punkte x eins, y eins und x zwei, y eins entsteht, wird mit x zwei minus x eins beschriftet. Die dritte Seite wird mit y zwei minus y eins beschriftet.
Wir können nun den Satz des Pythagoras benutzen um eine Gleichung zu schreiben:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, squared, equals, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared
Wir können nach start color #11accd, question mark, end color #11accd auflösen, indem wir die Quadratwurzel auf jeder Seite ziehen:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, equals, square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
Das wars! Wir haben die Abstandsformel hergeleitet!
Interessanterweise erinnern sich eigentlich viele Leute nicht mehr an diese Formel. Stattdessen legen sie immer ein rechtwinkliges Dreieck an und benutzen den Satz des Pythagoras, wenn sie den Abstand zwischen zwei Punkten herausfinden wollen.

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