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CA-Geometrie: Dreiecke und Parallelogramme

Video-Transkript

... Wir sind bei Aufgabe 21. In der gezeigten Figur ist n eine ganze Zahl. Also gut. Welches ist der kleinstmögliche Wert für n? Diese beiden Seiten haben die Größe n. Und das ist eigentlich etwas richtig Gutes, um ein Gespür dafür zu bekommen. Weil das bei jeder Art von standardisierten Tests vorkommt. Lasst uns darüber nachdenken, wie klein wir n machen können. Also je niedriger die Spitze dieser Pyramide wird, desto kleiner wird n. Wenn wir die Spitze der Pyramide sehr hoch ziehen, dann muss n sehr groß werden. Wenn wir das Dreieck z.B. so wie dieses machen. dann ist die Länge eindeutig kürzer als diese Länge. Wir wollen es weiter senken, um ein kleinstmögliches n zu erhalten. Aber was passiert, wenn wir es so vollständig senken? Wenn wir das Dreieck ganz flach machen. Wenn wir es total flach machen. Im wesentlichen wäre das die Spitze davon und das wäre n und das wäre n. Ich hoffe, ihr könnt euch das richtig vorstellen. Ich habe das Dreieck flach gedrückt. Diese beiden Seiten sind eben mit der Basis. Und so ist die Spitze - ich nehme dafür Magenta - jetzt genau hier. Das ist die kleinste Möglichkeit für n. Jemand könnte jetzt fragen, ob das überhaupt noch ein Dreieck ist. In Wirklichkeit ist es jetzt eine Linie, da ich die gesamte Fläche rausgenommen habe. Aber auch in diesem Fall, in diesem kleinsten Fall, wäre n = 7,5. Jedes n ist die Hälfte von 15. Wenn wir das Dreieck also zusammendrücken, stellt das die Grenze für n dar. n kann nicht kleiner als 7,5 sein . Die Vorgabe sagt, dass n eine ganze Zahl ist. Also n muss größer als 7,5 sein, damit wir ein Dreieck bekommen. Und n ist eine ganze Zahl, also ist n gleich 8. Das ist Möglichkeit C. Das ist eine allgemein wichtige Erkenntnis, dass die dritte Seite in einem Dreieck nie größer als die Summe der beiden anderen Seiten sein kann. Sonst habt ihr es mit etwas anderem zu tun. Es handelt sich nicht um ein Dreieck. Selbst wenn die dritte Seite gleich den anderen beiden ist ... ... dann habt ihr eine Gerade. Weil ihr die ganze Fläche aus dem Dreieck "drückt", um dahin zu kommen. Wie auch immer, ich mag diese Aufgabe. Nächste Frage. Ich denke wir sollen nochmal das selbe machen. Gleiche Art Aufgabe. ... Ich habe mich im letzten Video darüber geärgert, dass die Aufgaben euch keine Erkenntnis bringen oder eure Intuition testen. Aber ich nehme das zurück, denn ich denke, genau das machen sie jetzt. Welche der folgenden Zahlen könnten die Länge der Seiten von einem Dreieck sein. 2 und 2 und 5. So das ist wieder das Gleiche. Wie können zwei Seiten von einem Dreieck zusammen kürzer sein als die dritte Seite. Wenn eine Seite die Länge 2 hat, und ich habe eine andere Seite mit der Länge 2, kann die dritte Seite auf gar keinen Fall 5 sein. Selbst wenn wir das Dreieck ganz flach machten, 2 und 2, die größte Länge, die diese letzte Seite, die dritte Seite haben könnte, wäre 4. Also kann das kein Dreieck sein. Genau wie hier. Lass uns die anderen anschauen. 3, 3 und 5. Es gibt keinen Grund, warum das kein Dreieck sein kann. 3 und 3 ist 6. Also selbst wenn ich das sehr flach mache, kann diese Seite 6 sein. Und offensichtlich kann ich sie so zusammenquetschen. 3 und 3 , und dann könnte diese kleine dritte Seite etwas wirklich kleines sein. Denn es kann irgendetwas zwischen 0 und 6 sein. Also kann es offensichtlich 5 sein. Also wird das die Antwort sein. 4 und 4 und 8. Gleiches Problem. Ich müsste das Dreieck so sehr quetschen. Wenn dies zwei Seiten sind, 4 und 4 , diese letzte Seite muss dann dennoch kleiner sein als 8. Der einzige Weg, wie man sie 8 lang bekommt, ist wenn ich die Spitze von dem Dreieck ganz runterdrücke und es eigentlich zu einer Linie mache. Noch einmal, eine Dreiecksseite kann nicht länger sein als die anderen beiden zusammen. Tatsächlich kann sie nicht genauso groß sein wie die anderen Seiten zusammen. Dann haben wir eine Linie. Also testen sie die gleiche Einsicht. Und die Antwort ist B. 23. kopieren wir und fügen es hier ein. ... OK. Ich bemühe mich nicht zu sprechen, wenn ich kopiere und einfüge. weil ich glaube, es verlangsamt meinen Computer. Im beiliegenden Diagramm sind die parallelen Linien L und M durch die Querachse T durchkreuzt. Also ist es ein klassische Problem mit Parallele und Transversale. Und sie sind parallel. Deshalb habe ich diese Pfeile gezeichnet. Welche Aussagen über den Winkel 1 und 2 müssen richtig sein? ... Ich weiß nicht, ob Du die Videos der Khan Akademie über das Winkelspiel gesehen hast, aber genau das werden wir hier spielen das Winkelspiel. Also Winkel 1, wenn Du auf dessen korrespondierenden Winkel willst, sein Stufenwinkel auf der anderen parallelen Linie, oder anders gesagt, der Winkel mit Transversale und der anderen Parallele, der ist genau hier. Und die sind kongruent. Diese beiden WInkel sind kongruent. Man könnte auch sagen, dies ist gleich dem Winkelgrad von Winkel 1 Ich glaube ich habe deren Ausdrucksweise gut angenommen. Also ist dies gleich dem Winkelmaß von Winkel 1 Und dies ist offensichtlich Winkel 2. Man sieht sofort, dass sie ergänzend sein müssen. Denn wenn Du sie addierst bekommst Du 180 Grad. Zusammen gehen sie ganz herum und bilden quasi eine Linie. Daher weißt Du, dass, wenn dieser Winkel und dieser Winkel ergänzend sind, und dieser Winkel kongruent zu Winkel 1 ist, dann müssen Winkel 1 und Winkel 2 ergänzend sein. So, was sagen sie? Winkel 1 ist gewiss nicht notwendigerweise kongruent mit Winkel 2 Er ist kongruent mit diesem Winkel hier. Winkel 1 ist ein Komplementwinkel zu Winkel 2 Komplement bedeutet hier, sie haben zusammen 90 Grad Nein, wir sprechen hier über ergänzend. Also das ist es nicht. Winkel 1 ist eine Ergänzung von Winkel 2. Genau Und nichts sagt aus, dass sie rechte Winkel sind. das ist dumm. Also, nächstes Problem. ... Lass mich das kopieren und einfügen. Ok. Und einfügen. Bereit. Welche Werte - lass mich eine gute Farbe wählen - welche Werte von A und B machen das Viereck MNOP zu einem Parallelogramm. Damit dies ein Parallelogramm ist, müssen die gegenüberliegenden Seiten gleich sein. Und ich fordere dich heraus herumzuexperimentieren und ein Parallelogramm zu zeichnen, wo die gegenüberliegenden Seiten parallel sind und wo die gegenüberliegenden Seiten nicht gleich sind. Wenn du zwei Seiten ungleich machst, dann werden die anderen beiden Seiten nicht mehr parrallel sein. Und du kannst damit herumspielen, wenn du willst. Aber wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich sind, dann heißt das, 4a plus b ist gleich 21. Weil sie sich gegenüberliegen, sollten sie gleich lang sein. Genauso sollte 3a minus 2b gleich 13 sein, weil sie gegenüberliegende Seiten sind. Also 3a minus b ist gleich 13. Und nun haben wir zwei lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten. Also ist dies eigentlich ein verschleiertes Algebra 1 Problem. Mal sehen, sie wollen, dass wir beide herausfinden. Mal sehen, ob wir b aufheben können. Also nehmen wir die obere Gleichung mal 2. Und ich mach das, um dies b aufheben zu können. Also erhält man 8a plus 2b ist gleich 42. Und ich habe das gemacht, damit diese 2b und diese minus 2b sich aufheben. Also lass uns diese zwei Gleichungen addieren. Auf der linken Seite, 3a plus 8a ist 11a. Die b heben sich auf, minus 2b plus 2b das ist kein b. ist gleich 42 plus 13 gleich 55. Das hat gut geklappt. teile beide Seiten durch 11, und du erhälst a ist gleich 5. Nun, wenn a gleich 5 ist, was ist b? Lass uns das in die erste Gleichung einsetzen. Weil man sich eine aussucht. Also 4 mal 5 plus b ist gleich 21. 20 plus b ist gleich 21. Von beiden Seiten 20 abziehen, b ist gleich 1. Also a ist 5 und b ist 1. Das ist Antwort B. Aufgabe 25. Ich denke, ich muss das hier jetzt löschen. ... Viereck ABCD ist ein Parallelogramm. Wenn benachbarte Winkel kongruent sind, welche Aussage muss dann wahr sein? Also gut. Also lass mich ein Parallelogramm zeichnen. Nun, ich machs mal auf die Schnelle. Ein Parallelogramm heißt, die gegenüberliegenden Setien sind parallel. Dies ist parallel zu dem und das ist parallel zu dem. Aber sie sagen uns noch etwas. Sie sagen nebeneinander liegende Seiten sind kongruent. Wenn nebeneinander liegende Seiten kongruent sind.. Also sagen sie, dies ist kongruent zu dem. Sie sagen, wenn nebeneinander liegende Winkel kongruent sind. Also weiß ich nicht, ob sie nur einen meinen oder alle. Aber es ist eigentlich das Gleiche. Wenn dieser Winkel kongruent zu diesem ist, muss etwas Spannendes passieren. Sie haben beide 90 Grad. Und ich möchte da ein bisschen drüber nachdenken. Also lass mich eben eine Art unteren Teil von diesem Parallelogramm zeichnen. Den unteren Teil von dem Parallelogramm. Und ich ein bisschen drübergemalt, so dass man sagen kann diese Linie hier ist eine Transversale. Das ist eine Transversale. Und da es ein Parallelogramm ist, wissen wir, dass diese Linie parallel zu dieser Linie ist. Also diese Linie ist parallel zu dieser Linie. Also wir haben eine Transversale zwischen parallelen Geraden. Diesr WInkel ist kongruent zu diesem und sie sind Stufenwinkel. Und dieser Winkel ist ein Ergänzungswinkel zu diesem Winkel. Sie ergeben zusammen 180. Also müssen dieser Winkel,. der rote Winkel, und dieser braune Winkel Ergänzungswinkel sein. Oder, wenn wir sagen Winkel 1 und WInkel 2. Sie müssen zusammen 180 ergeben. Das Maß von Winkwl 1 plus das Maß von WInkel 2 müssen gleich 180 sein. Aber sie sagen uns sogar noch mehr. Sie sagen, sie sind kongruent. Sie sind benachbart, richtig? Das ist Winkel 1 und das ist WInkel 2. Sie sind benachbart. Also wenn beide kongruent sind, wenn ihr Maß gleich ist, dann müssen sie 90 Grad haben. Also wenn benachbarte Winkel in einem Parallelogramm kongruent sind dann haben diese Winkel 90 Grad. Und wenn diese Winkel 90 sind, werden diese auch 90 sein aus dem selben Grund. Also haben wir es nicht nur mit einem Parallelogramm zu tun. Oh ich wollte das nicht ausgefüllt zeichnen. Das sieht schäbig aus. Es ist ein Rechteck. Sie sagen Viereck ABCD ist ein Quadrat. Es könnte ein Quadrat sein, aber dafür müssten sie uns sagen, dass die Seiten alle gleich sind. Also ist es nicht A. Es kann passieren, aber es muss nicht. ABCD ist eine Raute. Nein, in einer Raute, müssen alle Seiten gleich lang sein. Das haben sie uns nicht gesagt. ABCD ist ein Rchteck. Sicher. Da wir jetzt wissen, dass alle WInkel 90 Grad haben. Und das ist Antwort C. Bis zum nächsten Video. ...