CA-Geometrie: Pythagoras, Fläche

... Wir sind bei Aufgabe 36. Die Frage lautet: Wie viele Quadrateinheiten hat die Fläche im gezeigten Trapez. Wenn du dir das Trapez ansiehst, sagst du dir "OK, Trapez, kenne ich die Formel für die Fläche bei einem Trapez.? " Dann wirst du vielleicht verwirrt und verunsichert. Aber du sagst: " Gut, ein Trapez kann ich aufteilen in ein Rechteck und ein Dreieck." Einfach indem wir hier eine Linie ziehen. ... Damit habe ich das Trapez aufgeteilt in ein Rechteck und ein Dreieck. Und wenn ich die Abmessung der beiden kenne, kenne ich auch die Flächen der beiden und somit auch die Fläche des Ganzen. Wie sieht also die Höhe hier aus ... ... oder besser die Breite. Wir gehen also von 0 bis wo ...? x = 8 in diesem Fall. Ich bin von x = 8 gerade nach unten gegangen, y = 5 wie wir sehen. Also ist die Abmessung gleich 8. Wenn wir dann von x = 8 nach x = 12 gehen, wie weit ist das? Nun, dass ist dann gleich 4. Also ist das 4 und das ist 8. Gut soweit. Wie hoch ist jetzt dieses Rechteck? Wir gehen von y = 0 nach y = 5, also ist die Antwort 5. Und natürlich ist auch das hier 5. Damit haben wir es. So können wir die Fläche berechnen. Die Fläche des rechteckigen Teils ist 8 mal 5, also 40. Die Fläche des Dreiecks ist 5 mal 4 mal 1/2. Wenn wir das 1/2 weglassen würden, bekämen wir die Fläche von diesem Rechteck hier. 5 x 4 gleich 20 ... 20 mal 1/2 gleich 10. Also ist die vereinte Fläche gleich 10 + 40 = 50. 37. Das Bild unten ist ein Quadrat, das 4 kongruente Parallelgramme enthält. Das sieht interessant aus. Wie groß ist die Fläche des schraffierten Bereichs. Also der schraffierte Bereich ist das ganze Quadrat ohne die Fläche der Parallelogramme. Also das ganze Quadrat, das ist einfach, das ist 12. Und die Höhe ist 12, aber da wir wissen, dass es ein Quadrat ist, muss die Breite auch 12 sein. Die Fläche von dem ganzen Quadrat ist 144. Wenn wir die Fläche von einem Parallelogramm kennen, kennen wir die Größe von allen Parallelogrammen, weil sie kongruent sind. Also, mal sehen, ob wir die Fläche von einem Parallelogramm herausfinden. Es gibt tatsächlich eine Formel für die Fläche eines Parallelogramms, es ist nur Grundseite mal Höhe. Und sie geben uns das. Aber lass mich zeigen, dass sie uns das geben, denn es könnte dir nicht klar sein. Ich versuch das zu zeichnen. Ich benutze mein Linienwerkzeug. Nein das ist nicht das Linienwerkzeug. ... Eine Seite, dann geradeaus, so, so runter, gut genug. Ok, nun wenn ich mir nur dieses Parallelogramm anschaue, da sagen sie uns die Höhe hier ist 3. Richtig, diese Höhe ist 3. Und ich weiß, dass es die Höhe ist, denn sie haben mir gesagt, dass das ein 90 Grad Winkel ist. Und sie sagen uns, dass die Grundseite 5 ist. Und ich sage dir, dass die Fläche eines Parallelogramms nur die Grundseite mal die Höhe, gleich 15 ist. Aber du solltest dich nicht nur auf mein Wort verlassen. Das sollte dir einleuchten. Und so ergibt das Sinn, stell dir vor, wenn wir diese Stück von dem Parallelogramm nehmen, und es dahin verschieben. Wenn wir das hier abschneiden und dahin verschieben. Dann würde das Parallelogramm etwa so aussehen. Du hättest den Teil, den wir nicht abgeschnitten haben. Und dann schiebst du den abgeschnittenen Teil hier hin. .... Und nun die Abmessungen, diese Grundlinie wäre 5 und die Höhe wäre 3. Und die Fläche von dem Rechteck ist 15. Und es gibt keinen Grund, warum die Fläche hiervon, sich von diesem unterscheiden sollte. Wir haben nur die Teile verschoben. Also deshalb ist die Fläche eines Parallelogramms genau die Grundseite mal die Höhe. Also ist die Fläche von jedem Parallelogramm 15. Also ist die Fläche von allen zusammen 15 mal 4, und das ist 60. Also 144 minus 60 ist 84. Und das ist Antwort B. Aufgabe 38. Wie groß ist die Fläche in Quadratmetern von dem unten gezeigten Trapez. Um auf die Fläche zu kommen, könnten wir es in diese Rechtecke und Dreiecke aufteilen. Um die Fläche von dem Rechteck zu bestimmen, brauchen wir seine Höhe. Und tatsächlich brauchen wir das auch, um die Fläche von den Dreiecken herauszufinden. Also wie lang ist die Höhe hier? Mal sehen, wir wissen, dass dieser Abstand 6 ist. Es ist ein Rechteck. Dieser Abstand ist 6. Wenn dieser Abstand 6 ist und diese beiden sind 5, dann sind die beiden Dreiecke kongruent. Da diese Länge genauso lang ist wie diese Länge. Diese Länge ist gleich dieser Länge. Und wir können auch sehen, dieser Winkel ist gleich diesem Winkel. Aber wie auch immer, lass mich das in einer anderen Farbe machen. Wie lang sind diese beiden grünen Seiten? Nennen wir sie x. Nun wir wissen, x plus 6 plus x muss gleich 12 sein. Der ganze obere Teil. Also erhälst du x plus 2x plus 6 ist gleich 12. 2 x ist gleich 6. x ist gleich 3. Und vielleicht konntest du das im Kopf lösen. Das wenn das 6 ist und diese gleich groß sind, dann werden diese beiden 3 sein. Und jetzt können wir diese Information benutzen um diese Höhe herauszufinden. Wenn wir jetzt dieses Dreieck zeichnen, 3 das ist 5, dies ist eine unbekannte Seite, a. Vielleicht erkennst du schon das wir Pythagoras anwenden werden. Und das ist ein sehr typisches rechtwinkliges Dreieck Also kannst du vielleicht schon raten, wie groß a ist. Aber wir werden dahin auflösen. Also wir wissen, a Quadrat plus 3 Quadrat gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, der Seite gegenüber des 90 Grad WInkels. Also das ist gleich 25. 5 Quadrat ist 25. A Quadrat plus 9 ist gleich 25. A Quadrat ist 16. a ist gleich 4. a ist gleich 4. Und nun könne wir die Fläche berechnen. Wie groß ist die Fläche von dem Rechteck? 6 mal 6, es 24. (Gemeint ist 6 mal 4) Wie groß ist die Fläche von diesen Dreiecken? 3 mal 4 mal 1/2. 3 mal 4 ist 12 mal 1/2 ist 6. Also ist die Fläche von diesem Dreieck gleich 6. Die Fläche von diesem Dreieck ist 6. Also 6 plus 24 plus 6 ist 36. B. Aufgabe 39. Wie groß ist die Fläche von dem unten gezeigten Dreieck in Quadratzoll Interessant Ok. also es ist ein gleichseitiges Dreieck, alle Seiten sind gleich lang. Und so können wir sagen, da diese Dreiecke symmetrisch sind. ist das gleich dem. Und dies führt zu einer allgemeinen Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks. Aber lass es uns einfach herausfinden. Also diese Seite ist 5. Und diese Seite ist 5. Wenn dies 5 ist und das ist 10, Wie groß ist diese Seite hier? Nennen wir sie x. Satz des Pythagoras. Dies ist die Hypotenuse. Also x Quadrat plus 5 plus 25 ist gleich der Hypotenuse ins Quadrat, es ist gleich 100. x Quadrat ist gleich 100 minus 25, 75. x ist gleich der Wurzel von 75. 75 ist 25 mal 3. Also ist das gleich Wurzel aus 25 mal 3. Was gleich der Wurzel asu 25 mal der Wurzel aus 3 ist. Was gleich 5 mal Wurzel 3 ist. x ist gleich 5 mal Wurzel3 Und nun wie groß ist die Fläche von nur dem rechten Dreieck hier? Dieses auf der rechten Seite. Nun seine Grundseite ist 5 und seine Höhe ist 5 mal Wurzel 3. So, es ist also 1/2 mal der Grundseite,5, mal die Höhe 5 mal Wurzel 3. Und das ergibt was? 1/2 mal 5 mal 5. Also ist es 25 mal Wurzel 3 durch 2, das ist nur dieses Dreieck. genau hier. Nun diese Dreieck wird genau die gleich Fläche haben. Sie sind kongruente Dreiecke. Also ist die Fläche der Figur ist dies mal 2. Also 2 mal das ist gleich nur die 25 mal Wurzel 3 Und das ist Antwort B. Nächste Aufgabe, Aufgabe 40. Der Umfang zweier Quadrate stehen im Verhältnis 4 zu 9 Wie ist das Verhältnis zwischen den Flächen der beiden Quadrate. Lass mich zwei Quadrate zeichnen. Das ist ein Quadrat. Lass mich das andere Quadrat zeichnen. Das ist ein anderes Quadrat. Nehmen wir an die Seiten von diesem x sind und die Seiten von diesem sind y. ... Also sie geben an, die Umfänge von diesen beiden Quadraten stehen im Verhältnis von 4 zu 9. Wenn also der Umfang von dem ersten Quadrat 4x ist. x plus x plus x plus x. Also der Umfang von derm ersten Quadrat ist 4x. Der Umfang von dem zweiten Quadrat ist 4 y. Also das ist das Verhältnis von dem Umfang des ersten Quadrats zu dem Umfang des zweiten Quadrats. Und das ist dann gleich 4 zu 9. ... und sie fragen, wie das Verhältnis zwischen den Flächen von den 2 Quadraten? Also sie wollen, das wir die fläche von dem ersten Quadrat herausfinden. das ist x Quadrat. Grundseite mal Höhe, x mal x. And die Fläche von dem zweiten Quadrat ist y mal y. Und sie wollen, wie groß das ist. Nun das ist x Quadrat durch y Quadrat. Das ist das gleiche, wie x durch y ins Quadrat. Wenn wir also rausfinden was gleich x durch y ist, können wir es einfach quadrieren und bekommen x Quadrat durch y Quadrat. Lass uns das versuchen. Sie gaben uns dies. .Mal sehen Dies hebt sich einfach auf. x durch y ist 4 durch 9. stimmts? Also lass uns das hier einsetzen. Also x Quadrat durch y Quadrat ist gleich x durch y Quadrat. Das ist gleich 4 durch 9 Quadrat. das ist gleich 16 durch 81. Oder das Verhältnis der Flächen zueinander ist 16 zu 81. Antwort D Ich glaub hier passt noch eine Aufgabe rein. Eigentlich nicht, ich bin über 10 Minuten. Ich höre hier auf. Bis zum nächsten Video. ...