CA-Geometrie: Weitere Trigonometrie

... Wir sind bei Aufgabe 66. Im untenstehenden Diagramm beträgt das Maß des Winkels 32 Grad Und AC ist gleich 10 Welche Gleichung könnte genutzt werden, um x im Dreieck ABC zu finden? Also, wir wollen X. Also schreiben wir unseren Merksatz auf GAGA-Hühnerhof AG für (sin,cos,tan,cot) GAGA HHAG Welche Informationen haben wir? Nun x ist die gegenüberliegende Seite. Sie liegt dem gesuchten Winkel gegenüber. Und dann liegt diese 10er Seite an. Ich hab noch nicht auf die Lösungen geschaut, aber wenn wir sagen der Tangens von 32 Grad sollte gleich der Gegenkathete, das ist x, durch die Ankathete, die ist 10, sein. Und wenn wir beiden Seiten hiervon mal 10 nehmen, bekommen wir 10 Tangens von 32 Grad ist gleich x. Lass uns hoffen, dass das eine der Antworten ist. Ja, gewiss, C. x ist gleich 10 mal Tangens von 32 Grad. Alles in Trigonometrie läuft auf GAGA-Hühnerhof AG hinaus. Du wirst erstaunt sein. Wenn du Trigonometrie im Unterricht bekommst, Wirst du sehen, dass sie diese Trigonometrie Gleichheiten haben und all das. Aber alle diese DInge, kann man einfach mit GAGA-Hühnerhof AG zeigen. Und diese sind nur Festlegungen der Verhältnisse, die in der ganzen Welt beim Lernen von Dreiecken sehr hilfreich waren, Also gut 67. Aber du kannst auch gucken, wir haben eine ganze Videoserie über Trigonometrie, und wir reden über all die Verhältnisse und den Einheitskreis und all das. Also wenn dir diese Aufgaben Spass machen, ermutige ich dich diese Videos anzusehen. Oder wenn du diese Aufgaben nicht verstehst, ermutige ich dich noch mehr dir diese Videos anzuschauen. Also gut. Die Zeichnung zeigt eine 8 Fuß Leiter, die an einer Wand lehnt. Die Leiter bildet mit der Wand einen 53 Grad Winkel. Welche Antwort gibt am ehesten die Höhe der Leiter an der Wand wieder? Also das wollen sie wissen, diesen Abstand genau hier. Also mal sehen, wie wir das rausfinden können. Wenn wir GAGA-Hühnerhof AG aufschreiben, vielleicht brauchen wir das nicht mehr. Also wir haben diesen Winkel und was geben sie und noch? Hier handelt es sich um die Hypotenuse, die ist 8. Und es geht um die Ankathete. Dies ist die Ankathete. Also welche Winkelfunktion enthält die Ankathete und die Hypotenuse? Nun ich schreib es auf. GAGA HHAG (Spalte 2) Wir wollen die Ankathete herausfinden, und wir haben die Hypotenuse. Welche Trigonometriefunktion behandelt diese? Nun, Cosinus ist Ankathete durch Hypotenuse. Also der Cosinus von 53 Grad ist gleich der Ankathete von diesem Dreieck, von diesem rechtwinkligen Dreieck. Also das ist a. Und du solltest dies im Augenblick nur mit rechtwinkligen Dreiecken benutzen. Später werden wir lernen, wir man Winkelfunkition in beliebigen Dreiecken anwendet. Denn offensichtlich hat nur ein rechtwinkliges Dreieck eine Hypotenuse. Also diese Hs wären nicht sinnvoll, wenn man kein rechtwinkliges Dreieck hat. Zurück zur Aufgabe. Der Cosinus von 53 ist gleich der Ankathete durch die Hypotenuse, die 8 ist. Ich kann hier x schreiben, x ist die Ankathete. Also nehmen wir beide Seiten mit 8, wir erhalten 8 mal Cosinus von 53 Grad ist gleich x. Und sie geben uns eine kleine Tabelle. Sie sagen uns, der Cosinus von 53 Grad ist ungefähr gleich 0,6 Also erhalten wir 8 mal 0,6 ist x. 8 mal 0,6 ist 4,8 48 und eine Dezimalstelle verschoben Also ist x gleich 4,8. Und das ist Antwort B. ... Aufgabe 68. Dreieck JKL wird unten gezeigt. Na gut. Welche Gleichung sollte verwendet werden, um die Länge von JK zu finden. Dies ist JK. Nun gut, wir haben diesen Winkel hier. JK ist die gegenüberliegende Seite Wir wollen die Gegenkathete herausfinden. Wir haben die Hypotenuse. Also welche Winkelfunktion beschäftigt sich mit der Gegenkathete und der Hypotenuse? Nun ich könnte GAGA-Hühnerhof AG schreiben GAGA HHAG aber die erste Spalte reicht schon Denn Sinus ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Also in diesem Fall. Sinus von 24 Grad ist gleich Gegenkathete, das ist JK, durch Hypotenuse. Das ist die Hypotenuse hier, 28. Die längste Seite von eine rechtwinkligen Dreieck, oder die Seite die dem 90 Grad Winkel gegenüberliegt. Und vielleicht sind wir fertig. Also Sinus 24 Grad ist gleich JK durch 28. Das ist Antwort A. ist gleich der Gegenkathete durch Hypotenuse. Aufgabe 69 Diese machen irgendwie Spaß, nicht wahr? Wie hoch (in Fuß) ist der Baum in der Zeichnung unten ungefähr? Nun wirst du sehen, warum Trigonometrie nützlich ist, denn ich bin sicher, du fragst dich häufig, wie hoch ein Baum ist. Und es könnte schwierig sein, hinauf zu klettern. Und nun kannst du Trigonometrie benutzen. Wenn du einen Weg findest den Winkel zwischen deiner Sichtachse und der Baumspitze zu messen. Du hast bestimmt schon diese Vermesser gesehen, sie benutzen diese Dinge eigentlich. Und du kannst die Höhe von entfernten Dingen herausfinde. wenn du weißt, wie weit du weg bist. Wie auch immer, lass uns an der Aufgabe arbeiten. Wie hoch ist der Baum in der Zeichnung unten in Fuß ungefähr?. Ok, also dies ist 50. Lass uns darüber nachdenken. Was geben sie uns? Dies ist 90, dies ist 50. Also ist die ungefähre Höhe in Fuß. Ok, dies ist die Gegenkathete von diesem Winkel. Nenn wir es h. Also was behandelt die Gegenkathete? Eigentlich sollte ich das O nennen. O (G wäre für Deutsch noch besser) ist die Höhe des Baums, denn es ist die Gegenkathete zum 50 Grad Winkel Also was behandelt die Gegenkathete und die Hypotenuse? Also wieder, GAGA HHAG Wir brauchen wieder nur die erste Spalte. Sinus ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Also der Sinus von 50 Grad ist gleich der Gegenkathete von diesem Dreieck, das ist die Höhe des Baums. Also sagen ich O für die Höhe des Baums. durch Hypotenuse, die Hypotenuse ist 100 Fuß. Beide Seiten mal 100 nehmen. Man erhält 100 mal Sinus 50 ist gleich der Gegenkathete. die gleich der Höhe des Baums ist. Sinus von 50 ist 0,76. Also 0,76 mal 100 ist gleich O. Das macht 76 ist gleich O, oder gleich der Höhe des Baums. ... Oh sie hatten 0,766 gesagt. Also lass uns eine weitere 6 anfügen. Das wird dann 76,6. Und das ist Antwort B. Also gut. Aufgabe 70. Diese gehen schnell. Wenn a gleich 3 mal Wurzel 3 in dem rechtwinkligen Dreieck unten ist. Also dies ist gleich 3 mal Wurzel 3 Ich glaube, du lernst jetzt etwas über 30, 60 ,90 Grad Dreiecke. Wie groß ist b? Wie groß ist b? Ok, vielleicht gehen sie davon aus, dass du schon etwas über 30, 60 ,90 Grad Dreiecke weißt. Wie auch immer, wenn a gleich 3 mal Wurzel 3 ist, was ist dann b? und ich überlege, was ich annehmen soll, was du schon weißt. Aber lass uns darüber ein wenig nachdenken. Wenn ich zeichnen sollte... Mal sehen wie ich das machen kann, ohne mich nur in die Definition von 30, 60 ,90 Grad Dreiecken zu flüchten. Ich werde es für dich beweisen. Obwohl, später kannst du dir das merken. Wenn ich immer sage 30, 60, 90 Grad Dreiecke, wissen wir hier sind 60 Grad. Denn 30 plus 60 plus 90 ist gleich 180. Deshalb sollten wir es weiter ein 30, 60, 90 Grad Dreieck nennen. Wie finden wir diese Seite heraus, wenn wir nur diese Seite kennen? Und wir wissen, dies sind 30 Grad. Ich mache folgendes. ich werde versuchen das gleiche Dreieck nochmal zeichnen, aber ich werde es umdrehen. Und das ist wirklich der Beweis für die Maße von einem 30, 60, 90 Grad Dreieck. Vielleicht mach ich es in einer anderen Farbe. Und ich habe Zeit, also mache ich es. Mal sehen. Also ich mache das so. Ich brauche eine Linie nach unten, so etwa. Und dann muss ich eine weitere Linie zeichnen, so in etwa. Ich glaube, du verstehst. Und dann eine Linie quer, so. Und ich werde noch eine weitere Linie gerade herunter zeichnen. Ok, mal sehen was wir damit machen können. Vielleicht gibt es einen einfacheren Weg. Aber so denkt mein Hirn gerade darüber. Lass uns darüber ein wenig nachdenken. In meiner Zeichnung ist dieses Dreieck nur eine Spiegelung von diesem. Also dies hir, ist auch 60. Dies ist 60, dies ist 60, wie groß wird dieser Winkel sein? Nun sie sind alle Ergänzungswinkel voneinander. Wenn du den ganzen Weg von hier nach da gehst, hast du 180 Grad. Also muss dieser große Winkel 60 Grad sein. DIeser Winkel ist ein Komplement von 30. Also hat er 60 Grad. Und dann ist dies 60 grad. Also haben wir ein gleichseitiges Dreieck. Alle Seiten sind gleich lang. Also ist diese Seite gleich der Seite, die wiederum gleich der Seite ist. Nun lass mich eine andere Frage stellen. Wie groß ist diese Seite hier? Lass mich einen kürzeren Teil zeichnen. Und wenn du dir das 30, 60, 90 Grad Dreieck erstmal gemerkt hast, muss du das hier nicht noch mal durch. Aber es ist gut, wenn man es beweisen kann. Also wie lang ist dies? Wenn wir da oben hinsehen, das ist Länge a. Dies ist nur ein Spiegelbild, also ist dies auch Länge a. Die gesamte Basis von dem gleichseitigen Dreieck ist 2a. Nun es ist ein gleichseitiges Dreieck, also sind alle Seiten gleich, also dies ist 2a und das ist 2a. Und genauso sind wir in der Lage die Hypotenuse herauszufinden. Und sie wollen von uns b wissen. Wenn wir die Seiten von einem rechtwinkligen Dreieck kennen, ist es sehr einfach die dritte Seite herauszufinden. Also wir wissen a Quadrat plus b Quadrat . ist gleich C Quadrat Lass mich das aufschreiben. a Quadrat plus b Quadrat ist c Quadrat. Nun was ergibt a Quadrat? a Quadrat. a ist 3 mal Wurzel 3. Also wäre a Quadrat, lass mich das aufschreiben, 3 mal Wurzel 3 ins Quadrat pul b Quadrat,lass mich das in einer anderen Farbe machen, Was ist c? C, haben wir gerade gefunden ist gleich 2 mal a. also ist es 6 mal Wurzel 3. Dafür haben wir den ganzen Kram hier gemacht, um herauszufinden, das dies doppelt so lang ist wie dies. Na schön. Nun lass uns das vereinfachen. Wenn wir also 3 mal Wurzel 3 quadrieren, dann ist das das Gleiche wie 3 Quadrat mal Wurzel 3 ins Quadrat. Also das ist 9 mal 3 plus b quadrat. gleich 36 mal 3. Also das ist 27 plus b Quadrat. 36 mal 3 ist 108. von beiden Seiten 27 abziehen. B Quadrat ist gleich 81. b ist gleich 9. Also ist die Antwort a. Du solltest die VIdeos gucken, die ich in der Trigonometrie Wiedergabeliste über 30, 60, 90 Grad Dreiecke gemacht habe, wenn du willst. um dies schneller erledigen zu können. Aber ich glaube das war nützlich. Denn du hast gesehen, das du herausfinden kannst, wie groß die Seiten im 30, 60, 90 Grad Dreieck sind, ohne es vorher auswendig lernen zu müssen. Wie auch immer, bis zum nächsten Video. ...