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CA-Geometrie: Mehr über kongruente und ähnliche Dreiecke

Video-Transkript

... Ok Wir sind bei Aufgabe 17. Sie lautet: Welche der folgenden Aussagen beschreibt die unten angezeigten Dreiecke am besten? ... Sie wollen wissen: sind die Dreiecken ähnlich? Sind sie kongruent? und so weiter ... Dies soll ein Winkel von 60° sein. Dies ist ein 90° Winkel, sie zeichnen dieses kleine Rechteck dort. Alle Winkel im Dreieck ergeben immer 180°. Also wenn das hier 90° ist, und das hier 60° Grad, das ist gleicht 150°. Also dann muss dieser Winkel 180° - 150° sein. Daher muss dies ein Winkel von 30° sein. Das da muss 30° sein. In Ordnung Jetzt das andere Dreieck Das ist 30° und daß ist 90° Mit der selben Begründung muss dieser Winkel auch 60° sein, weil alle zusammen ja 180° ergeben müssen Wunderbar. Wir wissen jetzt, dass alle Winkel in beiden Dreiecken kongruent sind. Oder anders, dass ihr Maß gleich sind. So, wir wissen also, daß sie bestimmt beide ähnliche Dreiecken sind. ... Bei ähnliche Dreiecken, sind auch jeweils die Verhältnisse der Seiten gleich. Also Auf den ersten Blick könntest du sagen, die Seite gegenüber dem 90° Winkel, das hier sind sich entsprechende Seiten und sie haben gleiche Verhältnisse. Hier wurde aber auch noch die tatsächliche Länge angegeben. Die Hypotenuse der beiden Dreiecke ist also jeweils 8. Das Verhältnis ist also 1:1 Und wenn das Verhältnis der Seiten 1:1 ist, sie sind also deckungsgleich, selbst wenn nur eine Seite gegeben ist, dann reicht das. Du kannst damit schon alle anderen Seiten berechnen. z.B. mit Trigonometrie Aber darauf gehen wir jetzt noch nicht ein. Aber im Geometriekurs hast du gelernt, daß, wenn etwas ähnlich ist, und mindestens eine Seite kongruent ist, dann ist das Ganze kongruent. Daß hier sind also zwei ähnliche und kongruente Dreiecke. ... Beide sind ähnlich und congruent, daß ist Punkt A Aufgabe 18 Ich füg das hier schnell mal ein. ... Welche der folgenden Aussagen muss wahr sein, damit das Dreieck GHI ähnlich ist.. .. Dieses Zeichen bedeutet kongruent. Wenn nur das geschrieben wird, bedeutet es ähnlich Welche der folgenden Aussagen muss wahr sein, damit Dreieck GHI ähnlich Dreieck JKL ist? Daher selbst bevor Du die Moeglichkeiten betrachtest, bedeutet es dass das Verhältnis aller Seiten das Gleiche ist, oder dass alle Winkel gleich sind. Mal sehen was wir hier haben. Die zwei Dreiecke müssen ungleichseitig sein. Hier hast Du ähnliche Dreiecke die gleichschenklig sind oder gleichseitig. Das ist nicht richtig. Die zwei Dreiecke müssen genau einen spitzen Winkel haben. .. Nein, sie könnten zwei spitze Winkel haben. Sie könnten drei spitze Winkel haben. So wie es hier gezeichnet ist sind alle Winkel spitze Winkel. Keiner dieser Winkel ist größer als 90˚ so wie sie gezeichnet sind. Das ist also nicht richtig Einige dieser Aussagen sind so verrückt, daß sie schwer zu verstehen sind Wie auch immer, C, mindestens eine der Seiten der zwei Dreiecke muß parallel sein egal wie sie ausgerichtet sind. ... Die Ausrichtung der Dreiecke ist unwichtig Die entsprechenden Seiten der Dreiecke müssen proportional sein. Genau, so weiß man, dass etwas ähnlich ist. Dass die entsprechenden Seiten proportional sind. Also hier ist D Das ist also fast, kennst Du die Definition ähnlicher Dreiecke? Aufgabe 19. Ich will das erst mal auswischen OK. Ich habe es kopiert Jetzt füge ich es ein In der Abbildung unten ist AC kongruent mit DF Das heißt sie sind gleich. AC und DF sind kongruent. Und Winkel A ist kongruent mit Winkel D. .. Na schön. Hier ist Winkel A und dort ist Winkel D. Das bedeutet es Welche zusätzliche Information würde beweisen dass Dreieck ABC mit Dreieck DEF kongruent ist? Sie haben uns also nur eine Seite und einen Winkel gegeben. Wenn man uns eine andere Seite gäbe, wenn man sagen könnte dass DE mit AB kongruent ist, das wäre doch prima. Wenn man uns diesen Winkel gäbe, wenn man sagen könnte Winkel F ist kongruent mit Winkel C, das wäre gut. Mal sehen, was wir hier haben. AB ist kongruent mit DE. Ja sicher. Wenn AB mit DE kongruent ist, haben wir mit Sicherheit kongruente Dreiecke. Und du kennst den Lehrsatz, den Du in Deinem Geometrieunterricht sagen müßtest, Ich habe eine Seite, einen Winkel und eine Seite daher würdest Du sagen daß mit Angabe SWS, Seite ,Winkel, Seite, weiß ich, dass diese zwei Dreiecke kongruent sind daher ist AB kongruent mit DE. Lass unds die anderen anschauen, damit wir sicher nichts übersehen. AB ist kongruent zu BC. ... Nun, das ist gut. Aber das sagt uns nichts dazu, wie sich AB zu DE verhält. Also ist das eine nutzlose Aussage. BC ist kongruent zu EF. ... Nun, jetzt habe ich wieder ein leichtes Problem, damit, wie sie hier vorgehen. Denn wenn BC kongruent zu EF wäre, ... Lass mich darüber nachdenken. Könnte ich das Dreieck so zeichnen, dass sie immer noch nich kongruent wären? Denn es gibt diesen Winkel, der es beschränkt. Sie haben uns das gesagt. Also kann ich diese Linie FE nicht hier heraus zeichnen. Denn wenn es hier heraus käme, dann müsste DE hier so herauskommen. Und dann könnte der Winkel nicht sein, was sie uns gesagt haben. Also ich versuch nur zu denken, ich glaube wirklich, dass würde reichen. ... Wenn man voraussetzt, dass diese Seite zu dieser kongruent ist. Ich glaub mit einem Trigonometrie Gesetz könnte man sehr einfach zeigen, dass diese Dreiecke gleich Seiten haben. Aber ich werde mich damit nicht rumschlagen. Mal sehen. Lass uns auf D gucken. BC ist kongruent zu DE. ... Nun dies sind keine entsprechenden Seiten. Also ist das offensichtlich nutzlos. Ich habe den verdacht, dass dies auch genügt hätte, für den Beweis. Aber wie auch immer, ich will niemand von Calofornia Department of Education beleidigen, aber ich bin leicht enttäuscht von einigen von diese Fragen. Denn ich habe das Gefühl, sie testen nicht die EInsicht, sie testen nur, ob du die Definitonen von einigen dieser geometrischen Ausdrücke kennst. Und ob du Seite, Winkel, Seite und Winkel, Seite, Winkel entdecken kannst. Und solche Dinge. Und du wirst diese ungefähr drei Stunden nach dem Test vergessen, Das ist ziemlich nutzlos. Was nützlich ist, ist wenn du etwas weißt, dass dir ein Gefühl für Dreiecke gibt. Das ist nützlich für Tests, und es wäre nützlich wenn du Trigonometrie bekommst. Und ich verrate die ein schmutziges Geheimnis. Du wirst diese WSW und SWS Theoreme oder irgendetwas wie das, nie wieder in deiner mathematischen Karriere benutzen. Der Geometrie Unterricht der 9. und 10. Klasse ist das erste und letzte Mal, dass du die jemals siehst. Also habe ich ein kleines Problem, wenn sie nur wollen, dass du das auswendig kannst. Und selbst einige von den Bezeichnungen werden nie wieder auftauchen in deiner Mathelaufbahn. Selbst wenn du einen Doktor in Mathematik machst. Das einzige wobei dir das wieder begegnet ist, wenn du Geometrie Lehrer wirst. Wie auch immer, es ist gut. Ich meine, du musst wissen wie das geht, wenigstens, damit du durch den Reif springen kannst, durch das uns die Gesellschaft springen lässt. Also Aufgabe 20. Du möchtest nicht, dass jemand besser bezahlt wird, nur weil er bereit ist SWS und WSW zu sagen. Wie auch immer, na gut, Aufgabe 20. Es sei: AB und CD schneiden sich in Punkt E. ... Und noch eine Nebenbemerkung, Ich glaube, du kannst hören, dass ich die SAT (standardisierte Tests der USA) mehr genieße. Denn irgendwie, eigentlich in jeder Weise, die SAT testet wirklich dein Verständnis der Geometrie, aber sie erwähnenn nie die Wörter ähnlich, kongruent, SWS, WSW. Sie erwähnen nie diese Dinge, die du im Unterricht auswendig lernst. Und ich kenne haufenweise Leute die As (Einsen) in Geometrie schreiben und bei den SAT nicht gut abschneiden. Und ich kenne Leute, denen es genau anders geht. Und ganz ehrlich, ich stell lieber Leute ein, die bei SAT gut sind. Denn ich glaube, das ist die Person, die das Gefühl hat. Aber wie auch immer, wir müssen diese machen. Und ich sollte wahrscheinliich nicht so schimpfen. Es Sei: AB und CD schneiden sich im Punkt E. ... Na schön. Und sie sagen uns Winkel 1 und WInkel 2 sind kongruent. Also das und das ist gleich. Also gut, die sehen also schon aus wie Z-Winkel. wenn diese Linien parallel wären. Ich glaube wirklich es reicht zu zeigen, dass diese Linie parallel zu dieser Linie ist. Diese beiden sind parallel. Denn, wenn du dies als Transversale ansiehst, wenn du DC als Transversale ansiehst, dann siehst du das ist eine Transversale zwischen diesen beiden Linien. Und da die Z-Winkel gleich sind. oder kongruent, weißt du das diese parallele Linien sind. Aber wie auch immer, ich weiß nicht ob das was nützt. Was werdn sie uns fragen? Welcher Satz oder welches Axiom kann benutzt werden, um zu zeigen dass AED ähnlich zu BEC ist. OK. So mal sehen, ich muss noch nicht einmal sagen, dass dies parallele Linien sind. Also was sagen sie uns? Vor allem, wissen wir das 3 und 4 kongruente WInkel sind, da sie Scheitelwinkel sind. Nochmal ich mag die Bezeichnung vertikale Winkel nicht, diese Winkel sind ganz klar nicht vertikal. Sie sind eher Seite an Seite. Aber sie liegen sich ganz sicher gegenüber. Diese beiden Winkel sind gleich. ... 1 und 2 sind gleich und 3 und 4 sind gleich. Wenn du 2 Winkel in einem Dreieck kennst, kennst du den dritten. Also dieser Winkel und dieser Winkel müssen gleich sein. Aber im Allgemeinen, wenn du weißt das zwei Winkel in einem Dreieck gleich sind, dann muss der dritte Winkel auch gleich sein. Also, das sagt die, das es ein ähnliche Dreiecke sind. Also wir könnten Winkel, Winkel Wir wissen, das zwei Winkel genauso sind wie zwei andere Winkel. Also wissen wir, dass wir ähnliche Dreiecke haben. Wie auch immer, keine Zeit mehr, wegen meiner Tirade. Bis zum nächsten Video. ...