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CA-Geometrie: Kreisfläche Sehnen Tangente

Video-Transkript

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Nun befassen wir uns mit der Aufgabenstellung 71 Sie lautet: Was ist der Wert für x in dem unten skizzierten Dreieck? Inordnung, hierfür können wir den Satz des Pythagoras benutzen. Des Weiteren, fällt dir eventuell auf, dass falls diese beiden Seiten gleich sind, diese beiden Winkel ebenfalls gleich sind Und falls diese beiden Basiswinkel gleich sind, musst du 90 Grad auf diese beiden aufteilen. Folglich müssen sie 45 Grad groß sein Weil sie identisch sind. Das ist also ein 45, 45, 90 Dreieck. Und falls du noch nicht soweit bist, wirst du es dir irgendwann merken können, wie die Seiten eines 45, 45, 90 sich zu seiner Hypotenuse verhalten. Aber du musst es dir nicht merken. Du kannst es beweisen. Ab und zu geht das einfach schneller bei standartisierten Tests und diesen Sachen. Also, was sagt uns der Satz des Pythagoras? Er sagt uns, das diese Seite zum Quadrat, sagen wir mal x zum Quadrat plus diese Seite zum Quadrat, plus x zum Quadrat gleich ist zur Länge der Hypothenuse zum Quadrat Diese ist 10 zum Quadrat, was 100 ist. Also erhalten wir 2 mal x zum Quadrat ist gleich 100. x zum Quadrat ist gleich 50 beide Seiten durch 2 teilen. Und was erhalten wir? Also können wir sagen: x ist gleich der Quadratwurzel aus 50. Gibt es irgend eine Möglichkeit um das zu vereinfachen? Lass mich nachdenken Aber natürlich, 50 lässt such aufteilen in 25 mal 2. Also ist das gleich zu der Quadratwurzel von 25 mal die Quadratwurzel aus 2. Welches gleich ist zu:5 mal der Quadratwurzel aus 2. Möglichkeit B. Aufgabenstellung 72 Was ist der Wert für x in Inches Ok, vor ein paar Aufgabenstellungen, haben wir uns mit einem 30, 60, 90 Dreieck befasst, dies ist wiederum ein 30 Grad, 90 Grad, am Ende muss 180 rauskommen bleibt 60 Grad übrig. Und ich hab damals diese große verworrenes Zeichnung, in der ich es rumgedreht habe und all das. Ich denke es ist ein guter Zeitpunkt sich die Seiten eines 30, 60, 90 Dreiecks zu merken Das ist sowas, was man im Leben braucht Es ist erstaunlich nützlich Besonders wenn du dich mit standartisierten Tests oder Trigonomitrie befasst. Also gebe ich dir nur die Grundregeln. Lass mich hier nur ein eiteres malen. Sagen wir mal das hier ist mein anderes 30, 60, 90 Dreieck. Das hier oben ist klar ersichtlich die Hypotenuse. Dies hier ist, nennen wir es mal die 30 Grad Seite. Sie ist gegebüber dem 30 Grad Winkel nd ist die kürzeste Seite Die Regel lautet also: Wenn diese Seite hier x ist. Dann wir die Hypotenuse 2 x sein Und das haben wir im letzen Video gesehen Und dann kann man hier wiederum den Satz des Pythagoras benutzen um das Ergebnis für die Letzte Seite zu erhalten Das einzige was du dir merken musst ist, dass die Hypotenuse dem 2-fachen der kürzesten entspricht. Also in diesem Fall, was ist die kürzeste Seite? Es ist die, die dem 30 Grad Winkel gegenüber liegt. Also 7. Die Hypotenuse ist also das Doppelte, was 14 ist. Und du kannst den Satz des Pythagoras benutzen um herauszufinden was x ist. Oder du merkst dir, dass die mittlere Seite, man könnte auch sagen, die längste Seite die nicht die Hypotenuse ist, oder doe 60 Grad Seite, die Seite die dem 60 Grad Winkel gegenüber liegt, ist gleich zu der Quadratwurzel von 3 mal der kürzesten Seite. In diesem Fall ist x die Quadratwurzel aus 3 mal 7. Also ist x gleich 7 mal die Quadratwurzel aus 3. So sehe ich das zumindest. Was du mir glauben kannst, ist, das das das Doppelte vom dem ist. Das haben wir vor ein paar Videos bewiesen. Aber natürlich kann man den Satz des Pythagoras an dieser Stelle benutzen. Man könnte sagen, das 7 zum Quadrat, was 49 ist, plus x zum Quadrat gleich der Hypotenuse zum Quadrat ist 14 zum Quadrat ist 196 49 von beiden Seiten subtrahieren Und du erhälst: x zum Quadrat ist gleich 196 minus 50, was 157 ist, stimmt das? Lass mich nachdenken. 14 mal 14 4 mal 4 ist 16 56 140, richtig 196. Und wenn man nun 49 davon abzieht, das ist eine 8, das ist 16, wir erhalten eine 7. Sorry, 147 Gut das ich das nachgerechnet habe. ... OK Also, x ist gleich der Quadratwurzel aus 147 147 ist 49 mal 3 Das ist gelich zu der Quadratwurzel aus 49 mal 3 Hmm, das ist gleich zu der Quadratwurzel aus 49 mal der Quadratwurzel aus 3 Was das gleiche ist wie 7 mal Wurzel aus 3 Was das ist, was wir erhalten haben Aber es ist vielleicht einfacher sich zu merken, dass die Seite gegenüber der 60 Grad Seite, die Quadratwurzel aus 3 mal der kurzen Seite ist. und die kurze Seite ist die Hälfte der Hypotenuse. Naja egal, je mehr man das übt, desto mehr Sinn wird das machen. Ok, ein Kreis wird in ein Quadrat eingepasst Was ist das Verhätnis vom Kreis zu der Fläche des Quadrats? Lass mich den Kreis und das Quadrat malen. ... Naja, so ähnlich. Wir wissen, dass das Quadrat außen ist, weil der Kreis eingepasst werden soll. Wie verhält sich die Fläche des Kreises zur Fläche des Quadrats? Also sagen wir mal, dies ist der Mittelpunkt des Kreises. Genau hier. Das ist der Radius Nennen wir den r Also wird also die Fläche des Quadrates sein? Wenn das der Radius ist, ist dies ebenfalls der Radius. Eine Seite des Quadrats ist also 2 mal r Diese Seite ist also auch 2r Es ist ein Quadrat alle Seiten sind gleich lang Wir wollen also das Verhältnis der Fläche des Kreises zur Fläche des Quadrates wissen. Der Flächeninhalt des Quadrates ist 2r mal 2r. was nichts anderes ist als (2r) zum Quadrat Der Flächeninhalt des Kreises ist Pi mal r zum Quadrat Du hast hoffentlich die Kreisflächeninghaltsformel gelernt Dividiere den Zähler und den Nenner durch r zum Quadrat Und übrig bleibt pi dividiert durch 4 Das ist Möglichkeit D Aufgabenstellung 75 In dem unteren Kreis sind AB und CD, Sehnen, welche sich im Punkt E überschneiden Also gut Wenn AE 5 entspricht, dann ist BE gleich 12, was ist der Wert für DE CE ist gleich 6 Was ist der Wert für DE Nennen wir das hier x Das werde ich an dieser Stelle mal nicht beweisen, um Zeit zu sparen Es gibt immer eine fixierte Anzahl von Sehnen in dem Kreis Davon ausgehend, dass wir 2 Sehnen in einem Kreis haben, folgt hieraus, dass die beiden Teilsegmente, wenn sie miteinander multipliziert werden, immer das gleiche ergeben. Also in diesem Fall: 5 mal 12. Also die beiden Segmente der Sehne AB, also 5 mal 12. Das wird das gleiche sein als wenn man diese beiden Segmente miteinadner multipliziert. Also folgt hieraus x mal 6 Man erhält also 60 ist gleich 6 mal x Dividiert man beide Seiten durch 6 erhält man x ist gelich 10. und das ist Antwort C. Es könnte eine lustige Sache für dich sein, nach dem Video darüber nachzudenken warum das so ist. Und vielleicht hast du lust mit Sehnen (Bindfäden) herumzuspielen um dir selbst zu beweisen, dass dies immer der Fall ist. Zumindest, dass du es ins Gespür kriegst, so das es für dich Sinn ergibt. RB liegt tangential an einem Kreis Eine Tangente bedeutet, dass deine Gerade einen Kreis nur an einem einzigen Punkt berührt. Und sie steht and dieser Stelle orthogonal auf dem Radius des Kreises Also das ist der Radius dieses Punktes Der Mittelpunkt liegt bei A. Das ist der Radius Das ist eine Tangente am Punkt B, sie steht orthogonal zum Radius an diesem Punkt BD ist der Durchmesser, Ok, alles klar Also, A ist der Mittelpunkt, irgendwie offensichtlich Sie wollen also wissen, wie groß der Winkel zwischen CBR ist. Sie wollen also wissen was dem Winkel gleich ist. Hmm, irgendwie hab ich das schon etwas vorweggenommen Wir wissen, dass wenn eine Grade tagential zu einem Kreis steht sie orthogonal an dieser Stelle ist Folglich ist dieser Winkel 90 Grad Also, den Winkel den wir suchen, nenne wir ihn x ist das Gegenstück zu 25 x plus 25 gleich 90. Subtrahieren wir 25 auf beiden Seiten. Also ist x gleich 65 Grad Das ist Antwort B Ok, man sieht sich im nächsten Video.