CA-Geometrie: Einfache Trigonometrie

... Wir sind bei Aufgabe 61. Es heißt, der Punkt (-3,2) liegt auf einem Kreis mit der Gleichung (x+3) zum Quadrat plus (y+1) zum Quadrat ist gleich r zum Quadrat. (x+3)² + (y+1)² = r² Welche der folgenden Antworten muss der Radius des Kreises sein? Um das zu lösen, muss man sich denken, dass dieser Punkt die Gleichung erfuellen muss. Also wenn wir diesen Punkt einsetzen Jeder Punkt der Gleichung erfuellt beide Seiten dieses Gleichheitszeichens. Alles, was wir also machen müssen, ist das x und das y ersetzen und dann sehen was r² gleich sein muss. Also machen wir das. Wir setzen das -3 ein für x. ... Man bekommt -3, ich hab das einfach fuer x eingesetzt. Und dann +3, zum Quadrat. und jetzt ist y, ist y 2. (2+1)² ist gleich r². -3+3, das ergibt gleich 0. 0 zum Quadrat ist 0. Und dann (2+1)². Also 3² ist gleich r². Man könnte sagen, dass r²=9 ist und dann muss r=3 sein, weil man keinen negativen Radius haben kann. Wir sehen gleich, dass r gleich 3 sein muss. Alles, was man jetzt noch tun muss, ist die Werte für x und y einzusetzen. Weil jeder Punkt, der die Gleichung erfuellt, auf dem Kreis liegt, der durch diese Gleichung definiert ist. Hier steht, dass der Punkt auf dem Kreis liegt, also muss man nur die Werte einsetzen und nach r auflösen. Aufgabe 62. Sieht aus, als wuerden wir ein bisschen Trigonometrie machen. In dem Bild unten, wenn sin(x) = 5/13 was ist der Cosinus von x und was ist der Tangens von x? Und ich weiss nicht ob du die Trigonometrievideos gesehen hast, vielleicht ist es besser du machst das. Aber eine gute Gedaechtnisstuetze um sich Sinus, Cosinus und Tangens zu merken ist GAGA Huehner-Hof AG. GAGA HHAG ... Und das heisst SOH ist Sinus ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. (erste Spalte von GAGA-HHAG) Cosinus ist gleich Ankathete / Hypotenuse (zweite Spalte GAGA-HHAG). Und ich erzaehlt dir gleich was das heisst. Und Tangens, das hast du dir vielleicht schon gedacht, ist gleich Gegenkathete durch Ankathete. Also was heisst das? Was bedeutet diese ganze Eselsbruecke? Vielleicht willst du dir nur merken GAGA Huehner-Hof AG. Dann kannst du das so ableiten. Wenn ich den Sinus von diesem Winkel hier nehme. Das heisst die gegenueberliegende Seite von diesem Winkel (Gegenkathete) durch die Hypotenuse ist gleich dem Sinus von diesem Winkel. ... Wir nennen das hier die Gegenkathete. ... Das ist die Hypotenuse. (gegenueber dem rechten Winkel) Und das ist die Ankathete. Weil diese Seite liegt am Winkel an. Also, Gegenkathete, Hypotenuse, Ankathete. Weil der Sinus von x gleich ist zu, das wissen wir von unserer Eselsbruecke GAGA Huehner-Hof AG, Gegenkathete durch Hypotenuse. Und sie sagen das ist gleich 5/13. Also Gegenkathete durch Hypotenuse ist gleich 5/13. Also wissen wir das ist genau das Verhaeltnis von den beiden. Wir wissen nicht den genauen Wert. Das hier oben koennte 10 sein, und unten 26. Oder oben 1 und unten 13/5. Wer weiss. Das ist auch eigentlich egal. Das ist das Tolle an Trigonometrie. Es geht nur um das Verhaeltnis. Also nehmen wir an dass das hier 5 ist. Dass die Gegenkathete = 5 ist. Und die Hypotenuse ist gleich 13. Ich nehm mal eine andere Farbe. Von der wird mir ein bisschen schlecht. Ok. Also wenn die Gegenkathete 5 ist und die Hypotenuse ist 13, was ist dann die Ankathete? Wir koennen den Satz von Pyhtagoras benutzen. Also wir koennen sagen die Ankathete zum Quadrat. A² + Gegenkathete²- Also +5² , + 25. ist gleich 13 zum Quadrat. 13² = 169. Wenn man auf beiden Seiten der Gleichung 25 abzieht, Kriegt man A² = 144. A = 12. Wir wissen nicht ob es wirklich gleich 12 ist. Aber wir wissen dass das Verhaeltnis von Gegenkathete zu Ankathete gleich 5 zu 12 ist. Weil wir haben angenommen dass die Gegenkathete 5 ist. Jedenfalls, die Frage war was der Cosinus von x ist und was der Tangens von x ist. Also die zweite Spalte von GAGA HHAG fuer den Cosinus. GAGA HHAG, und die Spalten sind Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens Cosinus von x ist gleich Ankathete durch Hypotenuse. Die Ankathete ist 12. Die Hypotenuse ist 13. Also ist cos(x) = 12/13. Das ist der Cosinus von x. Und der Tangens von x ist gleich Gegenkathete durch Ankathete. Dritte Spalte GAGA HHAG. Also die Gegenkathete ist 4, die Ankathete ist 12. Ist gleich 5/12. Und mal sehen welche Loesung das ist. Das ist Antwort A, cos(x) = 12/13. tan(x) = 5/12. Naechste Frage. Sieht so aus als wollten sie dass wir ganz viel Trigonometrie und Geometrie lernen. Das ist gut. Das ist zum Aufwaermen fuer die Trigonometrie. Im Bild unten ist sin(A) = 0,7. Nennen wir den Winkel a. ... Die Frage ist, was ist die Laenge von AC? Also das wollen wir wissen. Nennen wir das x. GAGA Huehner-Hof AG GAGA HHAG Die erste Spalte sagt uns dass der Sinus von einem Winkel, nennen wir den Theta, gleich ist der Gegenkathete durch die Hypotenuse. Also sin(A), in dem Beispile, muss dann gleich sein zu Gegenkathete, 21, durch Hypotenus, durch x. Und sie sagen das sin(A) = 0,7. ... Also koennen wir einfach die Gleichung nach x aufloesen und sind fertig. Mal sehen. Wenn man beide Seiten mit x multipliziert, kriegt man 21 = 0,7 x. Und man teilt beide Seiten durch 0,7. Man kriegt 21/0,7 = x. 21 geteilt durch 7 ist 3. Also ist 21 / 0,7 gleich 30. Also x = 30. Und das ist die Laenge AC. ... Das ist Antwort C. Naechste Frage. 64 Wie hoch ist eine Strassenlaterne ungefaehr? Ok, wir koennen hier Trigonometrie benutzen. Wir kennen diesen Winkel, und sie geben uns alle trigonometrischen Verhaeltnisse fuer den Winkel, wir versuchen die Hoehe herauszufinden. Wenn ich schreibe GAGA HHAG, was versuchen wir rauszufinden? Sie haben uns die Ankathete gegeben. Die liegt am Winkel an. Die Hoehe die wir rausfinden wollen das ist die Gegenkathete. ... Wenn wir also eine Trigonometriefunktion finden, die sich mit Gegenkathete und Ankathete beschäftigt. Nun das ist Tangens. GAGA HHAG Dritte spalte wegen der Reihenfolge: sin,cos,tan,cot Tangens eines Winkels ist gleich Gegenkathete durch Ankathete. In diesem Fall, Tangens von 40 Grad ist gleich der Gegenkathete, Die Gegenkathete ist h, das wollen wir herausfinden, durch die Ankathete. Die Ankathete ist 20 Fuß. OK, Tangens von 40 Grad ist nichts was die meisten Menschen auswendig wissen, das ist in Ordnung, denn sie gaben uns den Wert. Tangens von 40 Grad ist 0,84. Also bekommen wir 0,84 ist gleich h durch 20 Also können wir beide Seiten mit 20 malnehmen und wir bekommen h ist gleich 20 mal 0,84. und das ist gleich 16,8 und das ist Antwort C .. Aufgabe 65 Das rechtwinklige Dreieck ABC ist unten abgebildet. Welche Gleichung ergibt den richtigen Wert für BC? Das sollen wir herausfinden. Das hier ist BC. OK, lass sie uns einfach lesen. Lass mich GAGA Hühnerhof AG aufschreiben, ich tu das wirklich oft. ... OK, sie sagen, daß der Sinus von 32 Grad gleich BC über 8,2 ist. Ist das richtig? Sinus liegt gegenüber der Hypotenuse. BC liegt eindeutig gegenüber. 8.2 ist nicht die Hypotenuse, 10.6 ist die Hypotenuse. ALso sie tun, dies ist die Ankathete Also ist das falsch. .. Das sollte Tangens sein Tangens von 32 is gleich BC durch 8,2 Das ist die Ankathete, sie liegt an 32 Grad an. Das ist die Gegenkathete und das ist die Hypothenuse. Also ist das nicht richtig. Antwort B: Cosinus von 32. Cosinus ist Ankathete durch Hypothenuse. Also sollte der Cosinus von 32 8.2/10.6 sein. Also sollte das hier eine 8.2 sein. Also ist das nicht richtig. OK, die Nächste: Tangens von 58 Grad. Wo bekommen sie die 58 her? Nun, sie wissen, daß das hier 32 ist und das hier 90, also wird das hier 180 minus 32 minus 90 sein. Weil sich die Winkel im Dreieck zu 180 Grad addieren. Also ist dieser Winkel hier 58. Und wenn wir diesen Winkel benutzen, müssen wir Gegenkathete neu beschriften. und Ankathete und all das. Also aus sicht des Winkels, Tangens ist Gegenkathete durch Hypothenuse. Also wenn wir schreiben Tangens von 58 ist gleich Gegenkathete , sollte gleich 8,2 sein, durch ihre Ankathete , durch BC Dies ist die Ankathete von diesem Winkel. Es war die Gegenkathete, aber BC liegt an diesem Winkel an. Das haben sie geschrieben. Also ist Antwort C richtig. Und wir sind fertig. Bis zum nächsten Video. Nun wir sind nicht mit dem ganzen fertig. Ich bin nur mit dem Video fertig. bis bald