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Parallele Linien & Nachweis entsprechender Winkel

Beweis durch Widerspruch, dass die Winkeläquivalenz parallele Linien impliziert. Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

Geben sind zwei parallele Geraden, die ich hier einzeichne, l und m. Das ist Gerade l und das ist Gerade m. Wenn die Geraden parallel sind und beide durch eine Transversale geschnitten werden, dann sind die Gegenwinkel gleich groß. Das ist x und das ist y. Wir wissen, dass wenn l parallel zu m ist, x gleich y gilt. In diesem Video möchte nun einen Beweis führen, wobei der Ausgangspunkt die Gleichheit der Gegenwinkel ist. Wir wissen, dass wir aus der Parallelität die Gleichheit der Gegenwinkel folgern können. Ich möchte jedoch beweisen, dass wenn x gleich y gilt, l parallel zum m ist. Damit wir wissen, ob wir aus beiden Situationen etwas folgern können. Wenn sie parallel sind, dann sind die Gegenwinkel gleich. Ich möchte zeigen, dass wenn die Gegenwinkel gleich sind, die Geraden definitiv parallel sind. Ich möchte die Aussage durch einen Widerspruch beweisen. Das ist unser Ziel. Ich nehme nun an, dass diese Aussage nicht wahr ist. Ich nehme an, dass die Aussage falsch ist. Ich nehme also an, dass wenn x ist gleich y gilt, l und m nicht parallel sind. Ich versuche nun meine Behauptung durch eine Zeichnung darzustellen. Wenn l und m nicht parallel sind und sie unterschiedliche Geraden sind, dann müssen sie sich an irgendeinem Punkt schneiden. Ich zeichne l hier. Das ist l. m zeichne ich so ein. Die Gerade schneiden sich. Per Definition, wenn zwei Geraden nicht parallel sind, dann scheiden sie sich. Die Gerade ist m. Jetzt fehlt noch die Transversale, die ich hier einzeichne. Das ist die Transversale. Das ist x und das ist y. Wir nehmen an, dass y gleich x gilt. Wir können diesen Winkel hier also auch x nennen. Bei dieser Zeichnung nehmen wir an, dass in jedem Fall dieser Abstand hier nicht Null ist. Dieser Abstand ist also auch nicht Null. Die Schnittpunkte bezeichne ich mit A und B. Die Strecke AB ist größer als Null. Ich denke, dass das eine angemessene Annahme ist. AB ist größer als Null. Wenn wir annehmen, dass diese zwei Geraden nicht parallel sind, dann entsteht hier ein Dreieck, wobei AB eine seiner Seiten ausmacht. Die anderen Seiten -- Ich denke, wir können diesen Schnittpunkt mit C bezeichnen. Die anderen Strecken sind BC und AC. Wir wissen nun schon eine Menge über die Winkel von Dreiecken. Mal sehen was passiert, wenn wir das anwenden, was wir bereits wissen. Das hier ist Winkel x und wir wissen, dass dieser Winkel hier sein Supplementärwinkel ist. Dieser Winkel ist 180 minus x groß. Wir wissen, dass diese drei Winkel zusammen -- ich bezeichne den Winkel mit z -- Wir wissen, dass die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks zusammen 180 Grad ergeben. Wir wissen, dass x plus 180 minus x plus z gleich 180 Grad ergeben muss. Das x können wir kürzen und auf beiden Seiten 180 Grad abziehen. Übrig bleibt z gleich 0. Wenn wir annehmen, dass x gleich y ist und l nicht parallel zu m ist, dann landen wir in einer komischen Situation, wo der Winkel z am Schnittpunkt c der Geraden, die definitiv nicht parallel sind, Null wird. Winkel z ist Null. Das ergibt keinen Sinn. Wenn dieser Winkel Null Grad hat, wäre hier kein Dreieck. Dann hätte die Gerade AB eine Länge von Null. Du könntest es vielleicht als missratenes Dreieck bezeichnen. Im Grund ist es aber kein Dreieck. Es ist eine Gerade. Diese zwei Geraden wären die gleiche Strecke. Sie würden kein Dreieck bilden. Das führt uns zu einem Widerspruch. Der Widerspruch ist, dass diese Gerade AB Null sein sollte. Sie wäre nicht da. Ein weiterer Widerspruch wäre, dass die zwei Geraden die gleiche Gerade sind, weil sie keinen Abstand zueinander haben. In jedem Fall führt das zu einem Widerspruch In jedem Fall führt das zu einem Widerspruch Wir erhalten einen Widerspruch. Wenn du annimmst, dass x gleich y gilt, während l gleich m nicht gilt, dann erhälst etwas, was absolut keinen Sinn ergibt. Der Annahme wird widersprochen. Damit ist bewiesen, dass du aus x gleich y die Parallelität von l und m schließen kannst. Wir haben gezeigt, dass wenn x gleich y gilt, dann müssen zwei unterschiedliche Geraden parallel sein. Damit haben wir unsere Behauptung bewiesen. Wir können nun aus beiden Richtungen folgern. Wenn zwei Geraden parallel sind, dann sind die Gegenwinkel gleich. Wenn die Gegenwinkel gleich sind dann sind die Geraden parallel.