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Fehlende Winkel (CA Geometrie)

46-50, das Maß von Winkeln herleiten. Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

Wir befinden uns bei Aufgabe 46. In der folgenden Abbildung ist die Strecke AB parallel zu C. Ich denke, hier liegt ein Schreibfehler vor. Ich glaube, das muss CD heißen. Das muss ein Schreibfehler sein. In Ordnung, also AB, nehme ich an, ist parallel zu CD. Das ist vermutlich, was es heißen sollte, weil etwas nicht parallel zu einem Punkt sein kann. Und es wird gefragt: Was ist der Wert von x? Man denkt sich das nun so, wenn diese beiden parallele Geraden sind, dann ist die Strecke da oben eine Transversale. Wenn wir diese beiden Geraden so verlängern. Mal sehen, ob ich das ordentlich hinkriege. Also wenn ich jene Gerade so verlängere, und diese Gerade so, denn ist die Strecke AD gerade eine Transversale. Mal sehen, ob ich das richtig hin bekomme. Also wenn ich dies genau so verlängere, dann siehst du, es ist eine Transversale, und ich kann auch in die andere Richtung gehen. Ich glaube, du weißt worum es geht. Also wenn das eine Transversale ist; was weißt du über Transversalen? Wir wissen, das dieser Winkel hier -ich zeichen ihn klein- kongruent zu diesem Winkel hier ist. Also ist das Maß dieses Winkels auch x plus 40. Da sie korrespondierende Winkel sind, und das kannst du erkennen, und wenn du die Traversale herumrum bewegtest, ergibt es Sinn, dass es so ist. Also dies ist x + 40 und dies ist - 40 und sie ergänzen sich offensichtlich. Sie sind Supplementwinkel oder auch Nebenwinkel. Dann muss die Winkelsumme von diesen beiden Winkeln 180 sein Lass uns das herausfinden. Also x minus 40 plus x plus 40 ist gleich 180, weil sie Supplementwinkel sind. Die beiden 40 heben sich auf. Also minus 40 plus 40 addiert sich zu Null. Also behältst du 2 mal x ist gleich 180. X ist gleich 90. Das ist dann D. 47: Die Maße von Innenwinkeln eines Fünfecks sind 2x, 6x, 4x minus 6, 2x minus 16 und 6x plus 2. Wie groß ist der größte Winkel? OK, also zunächst einmal, müssen wir uns daran erinnern, wie groß die Summe der Innenwinkel eines Pentagons sind. Und da zeichne ich mir immer ein beliebiges Fünfeck. Lass mich sehen, ob ich das schaffe. Eigentlich gibt es hier ein Polygon-Werkzeug. Wie funktioniert es? Ich versuche nur ein Fünfeck zeichnen. Ich weiß nicht, ob das anders ist als das Linienwerkzeug, aber egal. Wie viele Dreiecke kann ich also in ein Fünfeck zeichnen? Und, das sagt mir, was meine Innenwinkelsumme ist. Und es gibt eine Formel dafür, aber ich verlass mich lieber auf dein logisches Denken als auf Formeln, denn du könntest die Formel vergessen, oder schlimmer noch, Du könntest Dich erinnern, aber nicht über das Vertrauen, aber dich nicht trauen sie zu benutzen, oder du erinnerst Dich in zehn Jahren vielleicht falsch daran. Also das Beste, was man tun kann, wen man ein Polygon hat, ist die Dreiecke zu zählen. Einfach genug. Es ist fast einfacher als die Verwendung der Formel. Also hat ein Fünfeck drei Dreiecke. Also die Summe der Innenwinkel wird 3 mal 180, weil es 3 Dreiecke enthält. Jedes Dreieck hat 180 Grad. Und ich weiß, dass du nicht sehen kannst, was ich gerade schrieb. Also die Summe von all diesen Winkeln wird die Summe von all den Winkeln in allen drei Dreiecken sein. Also 3 mal 180 ist 540 Grad. Also das ist die Summe aller dieser Innenwinkel. Nun, sagen sie, jeder von ihnen sei 2x, 6x, und so weiter. Die Summe all dieser Ausdrücke muss also gleich 540 sein. Ich werde diese untereinander schreiben. Das macht das Zusammenzählen einfacher. Also, wenn wir dort schreiben 2x, 6x, 4x minus 6, 2x minus 16 und 6x plus 2. Wird dies der größte sein, richtig? Diese Summe wird gleich 540. Also lass uns dies addieren. minus 6, minus 16, das macht minus 22. plus 2 ist minus 20. Das ist richtig. Und 2x plus 6x, das ist 8x plus 4 ist 12, 12 plus 2 ist 14, 14 plus 6 ist 20. Also haben wir 20x minus 20 ist gleich 540 Grad. Ich schreib das nochmal. 20x minus 20 ist gleich 540. Dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 20. Du erhältst: x minus 1 ist gleich -es wäre 54 durch 2- was gleich 27 ist. Zähle 1 zu beiden Seiten hinzu, x ist gleich 28. Und sie wollen wissen, wieviel Grad hat der größte Winkel? Das wird dieser sein. Das ist der größte. Er ist 6 mal x plus 2. Also 6 mal 28. Das ist 48. 2 mal 6 ist 12 plus 4 ist 168. Es ist also 168 plus 2. Es sind 170 Grad. Wähle C. 48 Problem: Wie groß ist Winkel 1? Also beginnen wir das Winkelspiel. Und das macht Spaß, denn das sind so schlussfolgernde Logikprobleme, wo man nur ein paar einfache Regeln benutzt und einfach das ganze Ding ausfüllt. Also lass uns darüber nachdenken. Dies sind 36 Grad. Sie sagen uns, das der ganze Winkel hier ein rechter Winkel ist. Also ist der WInkel hier ist der Komplementwinkel zu 36 Grad. 36 plus dieser Winkel sind gleich 90. Also wie groß ist er? Dieser ist 90 minus 36, und das ist 54. Das wird 54 Grad. 90 minus 60 ist 30. Richtig, das ist 54. Und hier, dieser Winkel ist der Ergänzungswinkel von 88. Also ergibt das - ich zeichne das in einer anderen Farbe - 180 minus 88. Das ist gleich 92 Grad. Jetzt ist dieser Winkel 1 plus die 54 plus die 92 ist gleich 180. Wir wissen also, dass -sagen wir- Winkel 1 plus 54 plus 92 ist gleich 180. Dies ist 146 ... ist gleich 180. Von beiden Seiten 146 abziehen. Winkels 1 ist gleich 80 minus 40 ist gleich 40, also ist 80 minus 46 gleich 34 Grad. Also ist die Antwort A. Problem 49: Wie groß ist der Winkel WZX? Sie möchten wissen, was dieser Winkel hier ist Lass uns mit dem Winkelspiel weiter machen. Mal sehen. Wir können sofort herausfinden, was dieser Winkel ist, weil er der Ergänzungswinkel zu 132 Grad ist, also wird das 180 minus 132 sein Das ist also 48 Grad. Dieser Winkel plus diesen Winkel wird das gleiche sein wie dieser Winkel. Oder dieser Winkel plus diesen Winkel plus diesen Winkel ist gleich 180. Ich weiß nicht, was ich gerade gesagt habe, aber ich glaube da war was falsch. Schreiben wir das auf. Also dieser Winkel wird gleich 180 sein minus 52 minus 48. Da die Winkelsumme 180 ergibt, und so ist das gleich 180 minus 100. Das macht 80 Grad. Also ist dieser Winkel hier gleich 80 Grad. Und der Winkel, den wir herausfinden sollen, ist gegenüber von diesem Winkel, man nennt sie auch Scheitelwinkel. Und da Gegen- oder Scheitelwinkel gleich groß sind, ist dies also auch 80 Grad. Und das ist Möglichkeit A. Problem 50: Wie groß sind Außenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks? Ein regelmäßigen Sechsecks sagt uns, dass alle Seiten gleich sind. Es ist gleichseitig. Und alle Winkel sind gleich; es ist gleichwinklig. Also, wenn wir nur wüssten, was die Summe aller Innenwinkel ist, könnten wir mal eben durch 6 teilen und das ergäbe, wie groß jeder einzelne Innenwinkel ist. Und dann könnten wir diese Informationen verwenden, um die Außenwinkel zu bestimmen. Lass uns das einfach tun. Also nochmal. Ich mag gerade ein Secheck zeichnen. Lass uns eben ein Sechseck zeichen und die Dreiecke darin zählen. Zwei Seiten, drei Seiten, vier Seiten, fünf Seiten und sechs Seiten. Und wie viele Dreiecke habe ich hier? Eins zwei drei. ALso habe ich eins, zwei, drei, vier Dreiecke. Die Summe der Innenwinkel von diesem Sechseck, eines jeden Sechsecks, ob regelmäßig oder nicht, ist 4 mal 180 und das sind 720 Grad. Und es ist ein regelmäßiges Sechseck, also sind alle Innenwinkel gleich. Und es gibt sechs von ihnen. Also jeder von ihnen ist 720 Grad geteilt durch6. Nun, 6 geht 12 mal in die 72. Also hat jeder Innenwinkel 120 Grad. Ich habe es nicht so regelmäßig gezeichnet, aber wir können davon ausgehen, dass jeder von diesen 120 Grad hat. Na gut. Nun, wenn all jene 120 Grad haben, wie groß ist dann ein Außenwinkel? Nun, wir könnten eine von diesen Seiten ein bisschen verlängern. Man könnte sagen: OK, wenn dies 120 Grad sind, was ist sein Nebenwinkel? Nun, diese müssen zusammen 180 ergeben, also 180 minus 120 ist 60 Grad. Ich könnte das an irgendeiner Seite machen. Ich könnte jene Seite dort verlängern, und ich sagte: oh das ist 60 Grad. Also jeder Außenwinkel hat 60 Grad. B. Okay, habe ich für eine weitere Zeit? Ich warte auf die nächste im nächsten Video. Bis bald.