Beweis des Kreiswinkelsatzes

Hallo! In diesem Video möchte ich den Beweis einiger wichtiger geometrischer Formel näher betrachten. Heute sprechen wir über Peripheriewinkel . Der Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel auf dem Kreisbogen liegt. Hier ist unser Peripheriewinkel. Ich bezeichne ihn mit dem Buchstaben ψ . In diesem Video werde ich damit Peripheriewinkel bezeichnen. Ψ, der Peripheriewinkel ist genau die Hälfte des Zentriwinkels über dem gleichen Bogen. Ich gebrauche hier viele komplizierte Begriffe, hoffentlich werdet ihr mich verstehen. Also, das ist ψ. Das ist der Peripheriewinkel, dessen Scheitel auf dem Bogen liegt. Wenn Ihr zwei Strahlen zeichnet, die aus diesem Punkt ausgehen, oder zwei Sehnen, die diesen Winkel bilden, dann schneidet er den Kreis an der anderen Seite. Schaut mal auf den Kreisteil, der sich innerhalb dieses Winkels befindet, das ist der Bogen, auf dem der Winkel Ψ liegt. Hier hört ihr viele ausgefallene Wörter, mir scheint aber die Idee ziemlich einfach zu sein. Hier ist dieser Bogen. Ich zeichne das so. Das ist der Bogen, auf dem der Winkel Ψ liegt, d.h. der Peripheriewinkel, dessen Scheitel auf der Kreislinie liegt. Nun zum Zentriwinkel. Der Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises liegt. Sagen wir, dass dieser Punkt, ich versuche den nach Augenmaß zu bestimmen, der Mittelpunkt des Kreises ist. Nun zeichne ich den Zentriwinkel über dem gleichen Bogen. Nennen wir diesen Winkel Θ. Das ist der Winkel Ψ und das ist der Winkel Θ. Ich will beweisen, dass Ψ immer die Hälfte von Θ ist. Nehmen wir an, dass Ψ 25°beträgt. Wir können also gleich sagen, dass Θ 50° beträgt. Oder, wenn ich sage, dass der Winkel Θ 80° ist, könnt Ihr sofort berechnen, dass der Winkel Ψ 40° gleich ist. Lasst uns das beweisen. Ich lösche das. Beginnen wir mit einem Sonderfall. Ich zeichne nun einen Peripheriewinkel, eine von Sehnen, die diesen Winkel bilden, wird Durchmesser des Kreises sein. Das ist kein allgemeiner Fall. Hier wird der Mittelpunkt meines Kreises sein. Setzen wir hier einen Punkt. Ich bestimme den auch nach Augenmaß. Nun zeichne ich den Durchmesser, so sieht der aus. Ich markiere den Peripheriewinkel. Dieser Durchmesser ist eine der Seiten dieses Winkels, und die zweite Seite sieht so aus. Ich bezeichne diesen Winkel mit Ψ. Das ist der Winkel Ψ, und diese Linie ist der Radius unseres Kreises. Dann ist diese Linie auch der Radius unseres Kreises. Der geht vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Und die Kreislinie ist, wie wir schon wissen, alle Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises gleich dem Radius ist. Also, das ist auch der Radius. Das hier gebildete Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck. Zwei seine Seiten sind gleich lang. Und wir wissen, wenn zwei Seiten des Dreiecks gleich sind, sind seine Basiswinkel auch gleich. D.h. dass dieser Winkel auch Ψ ist. Ihr könnt das nicht erkennen, weil dieses Dreieck geneigt ist. Aber ich glaube, viele von euch werdet das erkennen, wenn ich das Dreieck so zeichne. Wenn ich sage, dass das r ist, und das r ist, und dass diese zwei Seiten gleich sind, und dieser Winkel Ψ ist… … ich zeichne ihn deutlicher… dann sagt ihr, dass dieser Winkel auch Ψ ist. Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich. Sehen wir den Zentriwinkel an. Das ist der Zentriwinkel über dem gleichen Bogen. Ich zeichne den Bogen, auf dem die beiden liegen, deutlicher. Das ist mein Zentriwinkel Θ. Wenn dieser Winkel Θ ist, welche Größe wird dann dieser Winkel haben? Dieser Winkel ist ein Supplementwinkel zum Θ, d.h. 180º – Θ. Wenn ihr diese beiden Winkel addiert, erhaltet ihr 180º bzw. einen gestreckten Winkel, weil das Supplementwinkel sind. Wir wissen auch, dass diese drei Winkel innnerhalb eines Dreiecks liegen, also müssen sie zusammen 180º ergeben. Dieser Ψ + dieser Ψ + dieser Winkel, d.h. 180º – Θ, machen zusammen 180º. Sie müssen zusammen 180 Grad ergeben. Das sind drei Winkel eines Dreiecks. Wir können 180º beiderseits subtrahieren. Ψ + Ψ ist gleich 2Ψ – Θ=0. Addiert Θ beiderseits, dann erhaltet ihr 2 Ψ = Θ. Wenn ihr die beiden Seiten mit ½ multipliziert oder durch 2 dividiert, erhaltet ihr, dass Ψ die Hälfte von Θ ist. D.h. wir haben das Gewünschte für diesen Sonderfall bewiesen, wo einer der Strahlen, Falls ihr vorzieht, diese Geraden Strahlen zu nennen, also einer der Strahlen, der der Peripheriewinkel bildet, der Durchmesser ist. Der Durchmesser ist ein Teil dieses Strahls. Das ist ein Sonderfall, wo eine der Seiten Durchmesser ist. Fassen wir das nun zusammen. Wir wissen, wenn ψ = 50º ist, dann ist θ = 100º . Egal wie groß Ψ ist, der ist immer die Hälfte von Θ. Und egal wie groß der Θ ist, der wird zweimal größer als Ψ sein. Das gilt für alle Zeiten. Ich lösche das. Fassen wir das zusammen. Das Ergebnis, dass wir vorher erhalten haben, gilt für alle Peripheriewinkel. Nehmen wir an, dass wir einen Peripheriewinkel haben. In diesem Fall liegt der Mittelpunkt sozusagen innerhalb des Winkels. Das ist mein Peripheriewinkel, und ich möchte das Verhältnis zwischen diesem Peripheriewinkel und dem Zentriwinkel über dem gleichen Bogen berechnen. Hier ist mein Zentriwinkel über dem gleichen Bogen. Ihr könnt sagen: „Wieso denn? Auf dem Durchmesser liegt doch keine der Sehnen, die diesen Winkel bilden.“ Aber wir können den Durchmesser zeichnen. Wenn der Mittelpunkt zwischen zwei diesen Sehnen liegt, können wir den Durchmesser so zeichnen. Nennen wir diesen Winkel Ψ1, und diesen Ψ2. Ψ muss natürlich die Summe von diesen beiden Winkeln sein. Und diese Winkel bezeichnen wir jeweils als Θ1 und Θ2. Wenn wir das Ergebnis ansehen, das wir vorher erhalten haben, wissen wir, dass die für diese Winkel gemeinsame Seite Durchmesser ist. Wir wissen, dass Ψ 1 die Hälfte von Θ 1 ist und dass Ψ2 die Hälfte von Θ 2 ist. Wir wissen auch, dass die Summe von Ψ 1 und Ψ 2 die Summe dieser beiden Winkel ist. ½ Θ1 + ½ Θ2. Ψ1 + Ψ2 ist unser ursprünglicher Peripheriewinkel Ψ. Und das macht: ½ (Θ 1 + Θ 2). Was ist das Θ 1 + Θ 2? Das ist bloß der Winkel Θ, den wir am Anfang gezeichnet haben. Nun können wir sehen, dass Ψ die Hälfte von Θ ist. Wir haben das also für einen allgemeinen Fall bewiesen, wo der Mittelpunkt innerhalb von zwei Strahlen liegt, die diesen Winkel bilden. Wir haben aber noch keine schwierigere oder allgemeine Aufgabe gelöst, wenn der Mittelpunkt nicht innerhalb zwei winkelbildenden Sehnen liegt. Lasst mich das zeichnen. Nehmen wir an, dass es der Scheitel ist. Ich zeichne ihn mit einer anderen Farbe. Das ist eine der Sehnen, die den Winkel bilden, und das ist die zweite von Sehnen, die den Winkel bilden. Wie können wir das Verhältnis zwischen – nennen wir diesen Winkel Ψ1 – das Verhältnis zwischen dem Winkel Ψ1 und dem Zentriwinkel über dem gleichen Bogen berechnen? Hier ist dieser Bogen. Der Zentriwinkel, über dem gleichen Bogen, wird also so aussehen. Nennen wir ihn Θ1. Wir tun jetzt das, was wir eben gelernt haben, wenn eine der Winkelseiten auf dem Durchmesser liegt. Lasst uns das konstruieren. Nehmen wir an, dass ich hier den Durchmesser zeichne. Wir wollen beweisen, dass dieser Winkel die Hälfte von diesem Winkel ist. Ich versuche den Durchmesser möglichst gerade zu zeichnen. Hier ist unser Durchmesser. Nennen wir diesen Winkel Ψ2. Er ist über dem gleichen Bogen. Ich zeichne das mit einer dunkleren Farbe. Nennen wir den Zentriwinkel über dem gleichen Bogen Θ2. Wir wissen bereits, dass Ψ2 die Hälfte von Θ2 ist. Sie beide sind über dem gleichen Bogen. Hier ist der Durchmesser. Er ist zugleich eine der Sehnen, die diese beiden Winkel bilden. Also, Ψ2 ist die Hälfte von Θ2. Das ist eben das, was wir im letzten Video gemacht haben. Das ist der Peripheriewinkel. Eine der Sehnen, die ihn bildet, liegt auf dem Durchmesser. Also, dieser Winkel wird die Hälfte des Zentriwinkels über dem gleichen Bogen sein. Lasst uns diesen größeren Winkel anschauen. Dieser große Winkel ist gleich Ψ1 + Ψ2. Dieser Winkel ist gleich der Summe von Ψ1 und Ψ2. Er liegt auch auf diesem Bogen, und der Durchmesser ist einer der Sehnen, die diesen riesigen Winkel bilden. Er ist die Hälfte des Zentriwinkels über dem gleichen Bogen. Wir nutzen hier das, was wir in diesem Video bereits gelernt haben. Also, das ist gleich der Hälfte dieses riesigen Zentriwinkels, Θ1 + Θ2. Wir wissen, dass Ψ2 die Hälfte von Θ2 ist. Lasst uns das einsetzen. Das ist gleich dem. Wir können sagen, dass Ψ1 ist gleich… oh, Verzeihung, Ψ1 +, statt Ψ2 schreibe ich ½ mal Θ2…ist gleich ½ mal Θ1 + ½ mal Θ2. Wir können ½Θ2 beiderseits subtrahieren und wir erhalten unser Ergebnis. Ψ1 = ½ Θ1. Wir haben bewiesen, dass der Peripheriewinkel immer die Hälfte vom Zentriwinkel über dem gleichen Bogen ist, ungeachtet der Tatsache, ob der Mittelpunkt des Kreises innerhalb oder außerhalb des Winkels liegt und ob eine der Winkelseiten der Durchmesser ist. Jeder Winkel kann man als Summe von den Winkeln darstellen, die wir heute gezeichnet haben. Hoffentlich wird es für euch nützlich sein. Und nun können wir auf dieses Ergebnis bauen, um weitere interessante geometrische Beweise zu bringen.