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Geometrie (alle Inhalte)

Kurs: Geometrie (alle Inhalte) > Lerneinheit 14

Lesson 7: Kreiswinkel
Mathematik
Geometrie (alle Inhalte)
Kreise
Kreiswinkel
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Beweis des Kreiswinkelsatzes

Google Classroom
Wir beweisen, dass ein Kreiswinkel die Hälfte eines Mittelpunktswinkel ist, der dem gleichen Kreisbogen entgegengesetzt ist.

Legen wir los!

Bevor wir über den Beweis reden, müssen wir zunächst einige wichtige Begriffe rund um Kreise klären.
Eine kleine Zuordnungsaufgabe um zu sehen, ob du die Begriffe auf eigene Faust herausfinden kannst:
Ordne mit Hilfe der Grafik die Variablen den Begriffen zu.
1

Gut gemacht! Diese Fachbegriffe werden jetzt durchgehen im Rest des Artikels verwendet.

Was wir in Kürze beweisen werden

Wir sind kurz davor zu beweisen, dass etwas total cooles passieren wird, wenn ein Kreiswinkel left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis und ein Mittelpunktswinkel left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis dasselbe Kreissegment unterbrechen: Der Mittelpunktswinkel ist immer doppelt so groß wie der Kreiswinkel.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Beweisüberblick

Um zu beweisen, dass start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd für alle start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff und start color #11accd, \psi, end color #11accd (wie oben definiert) ist, müssen wir die drei voneinander getrennten Fälle betrachten:
Fall AFall BFall C
Zusammen ergeben diese 3 Fälle alle möglichen Situationen, in denen ein Kreiswinkel und ein Mittelpunktswinkel das selbe Kreissegment unterbrechen.

Falll A: Der Durchmesser verläuft entlang einer der Halbgeraden des Kreiswinkels, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Schritt 1: Finde das gleichschenklige Dreieck.

Die Segmente start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline und start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline sind beides Radien. Das heißt sie haben dieselbe Länge. Daraus folgt, dass triangle, C, B, D gleichschenklig ist, was gleichzeitig bedeutet, dass ihre Basiswinkel kongruent sind:
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Schritt 2: Finde den gestreckten Winkel.

Der Winkel angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 ist ein gestreckter Winkel, deswegen
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Schritt 3: Stell eine Gleichung auf und löse sie nach start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Die Innenwinkel von triangle, C, B, D sind start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd, und left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis . Außerdem wissen wir, dass die Innenwinkel eines jeden Dreiecks immer der Summe von 180, degrees entspricht.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Super. Unser Beweis für Fall A ist geschafft. Fehlen nur noch die anderen zwei Fälle!

Fall B: Der Durchmesser befindet sich zwischen den Halbgeraden des Kreiswinkels, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Schritt 1: Mach einen auf Streber und zeichne den Durchmesser

Mithilfe des Durchmessers, teilen wir start color #11accd, \psi, end color #11accd in start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd und start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd und start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff wird geteilt in start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff und start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff. Das sieht dann so aus:

Schritt 2: Mithilfe des Erlernten aus Fall A, kannst du nun zwei Gleichungen aufstellen.

In unserem neuen Diagramm, teilt der Durchmesser unseren Kreis in zwei Hälften. Jede Hälfte hat einen Kreiswinkel, bei dem sich eine Halbgerade auf dem Durchmesser befindet. Das ist die gleiche Situation wie bei Fall A, also wissen wir jetzt, dass
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
und
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
durch das, was wir aus Fall A gelernt haben.

Schritt 3: Füge die Gleichungen hinzu.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Addiere (1) und (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Gruppiere Variablenθ=2ψθ=θ1+θ2 und ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Addiere (1) und (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Gruppiere Variablen} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ und } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
Mit dem Fall B sind wir fertig. Fehlt nur noch einer!

Fall C: Der Durchmesser ist außerhalb der Halbgeraden des Kreiswinkels.

Schritt 1: Mach einen auf Streber und zeichne den Durchmesser

Mithilfe des Durchmesser, können wir nun zwei neue Winkel erstellen: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 und start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 und zwar folgendermaßen:

Schritt 2: Mithilfe des Erlernten aus Fall A, kannst du nun zwei Gleichungen aufstellen.

Ähnlich wie im Fall B, können wir jetzt ein Diagramm erstellen, das es uns ermöglicht, das Gelernte aus Fall A anzuwenden. Von diesem Diagramm können wir auf Folgendes schließen:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Schritt 3: Ersetze und Vereinfache deine Gleichung.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
Und fertig! Wir haben bewiesen, dass in allen drei Fällen start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd ist.

Was wir bis jetzt erreicht haben kurz zusammengefasst

Wir werden versuchen zu beweisen, dass die Größe eines Mittelpunktswinkels immer dem Doppelten des Kreiswinkels entspricht, wenn beide Winkel das selbe Kreissegment unterbrechen.
Wir begannen den Beweis in dem wir drei Fälle aufstellten. Diese drei Fälle zusammen umfassten alle möglichen Situationen, in denen eine Kreiswinkel und ein Mittelpunktswinkel dasselbe Kreissegment unterbrechen.
Fall AFall BFall C
Im Fall A erkennen wir ein gleichschenkliges Dreieck und einen gestreckten Winkel. Mithilfe von start color #11accd, \psi, end color #11accd und start color #7854ab, theta, end color #7854ab können wir einige Gleichungen aufstellen. Und mit ein wenig Algebra, haben wir bewiesen, dass start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd ist.
Im Fall A und C haben wir klugerweise den Durchmesser eingesetzt:
Fall BFall C
Dadurch konnten wir unser Ergebnis von Fall A nutzen. Sowohl im Fall B, als auch im Fall C stellten wir dann Gleichungen auf, die die Variablen aus den Figuren beinhalteten. Das war nur durch das Erlernte aus Fall A möglich. Nachdem wir die Gleichungen dann zu Papier gebracht hatten, bewiesen wir mithilfe von etwas Algebra, dass start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd ist.

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