Flächeninhalt des eingeschlossenen gleichseitigen Dreiecks

Hallo! In diesem Video möchte ich die Ergebnisse von dem letzten Video anwenden und ein wenig üben. Angenommen, wir haben einen Kreis und ein einbeschriebenes gleichseitiges Dreieck. Alle Eckpunkte dieses Dreiecks liegen auf der Kreislinie. Ich werde mein Bestes geben, um das gut zu zeichnen. Wenn ich gleichseitiges Dreieck sage, bedeutet das, dass alle seine Seiten gleich sind. Diese Seitenlänge ist a, diese ist a und diese ist auch a. Angenommen, dass der Kreisradius 2 ist. Ich schlug diesen Wert vor, um die Aufgabe zu lösen. Angenommen, dass der Radius 2 ist. Der Abstand von der Mitte des Kreises zu jedem Punkt auf der Kreislinie (d.h. Radius) ist 2. Wir benutzen die Kenntnisse aus den vorherigen Videos und das grundlegende Wissen der Trigonometrie. Wenn das Wort "Trigonometrie" euch Angst macht, sieht 2-3 Videos aus der Playliste "Trigonometrie " und ihr werdet verstehen, was ich hier tue. Ich möchte die Fläche des Bereichs zu berechnen, der innerhalb des Kreises aber außerhalb des Dreiecks ist. Ich möchte die Fläche dieses kleinen Stück und dieses Stück und dieses zu berechnen. Natürlich kann ich die Fläche des Kreises ganz leicht herausfinden. Fläche eines Kreises ... Sie ist gleich π * r ² oder π * 2 ². Das ist gleich 4π. Und ich kann von 4π die Fläche eines Dreiecks abziehen. D.h., dass wir jetzt die Fläche des Dreiecks finden sollen. Wie viel beträgt die Fläche eines Dreiecks? Vor ein paar Videos habe ich euch über den Satz des Heron erzählt. Wenn ihr die Länge der Seiten eines Dreiecks wisst, könnt ihr seine Fläche berechnen. Wir wissen die Seitenlängen aber noch nicht. Wenn wir die wüssten, hätten wir wahrscheinlich die Fläche rausgefunden. Lasst uns der Satz des Heron anwenden, ohne die Seitenlängen zu kennen. Mal sehen. Alle Seiten dieses Dreiecks sind gleich "a". Wie verwenden den Satz des Heron... Wir bezeichnen die Fläche als S, die gleich (a + a + a) / 2 ist. Und das ist das Gleiche wie 3a / 2. Wenn man die Fläche dieses Dreiecks durch Seite a ausdrückt… Die Fläche eines Dreiecks ist gleich √ S, die gleich 3a/2 mal (S-a) ist... Das ist (3a / 2)-a. Oder ich kann schreiben 2a/2, stimmt es? a ist das gleiche wie 2a/2 und diese beiden zweier könnt ihr wegkürzen und "a" erhalten. Ich wiederhole das 3 mal. Anstatt das 3-mal für jede Seite multiplizieren, kann ich das kubieren. Wie viel haben wir dann? Das ist gleich √ (3a / 2). 3a -2a= a. Also (a / 2) ³ Das ist gleich...Ich werde die Farbe ändern. Also 3a * a ³…das ist gleich 3a ⁴… durch 2 * 2 ³. Das ist 2 ⁴ oder 16. 2 * 2 ³ = 2 ⁴. Das ist 16. Wir ziehen die Wurzel aus dem Zähler und dem Nenner... a⁴ wird zu a²… …mal… ich schreibe einfach √ 3 durch die Wurzel aus dem Nenner, die gleich 4 ist. Wenn wir a kennen, können wir der Satz des Heron anwenden und die Fläche des Dreiecks finden. Wie können wir a berechnen? Was wissen wir noch über die gleichseitigen Dreiecke? Wir wissen, dass alle diese Winkel gleich sind. Und weil sie zusammen 180 ° betragen sollen, soll jeder von den 60 ° sein. Hier ist 60 °, hier ist 60 °, und hier ist auch 60 °. Mal sehen, ob wir mein letztes Video über Peripherie- und Zentriwinkel nutzen können. Hier haben wir einen Peripheriewinkel. Sein Scheitel liegt auf dem Kreis. Und dieser Winkel ist über diesen Bogen. Der Zentriwinkel, der über dem gleichen Bogen ist, ist hier. In Anbetracht dessen, was wir im letzten Video gesehen haben, können wir sagen, dass ein Zentriwinkel doppelt so groß wie ein Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen ist. Also dieser Winkel beträgt 120 °. Ich markiere das mit einem Pfeil …120 °. Er ist doppelt so groß wie dieser. Wenn ich diesen Winkel halbiere... Ich ziehe eine Linie vom Winkelscheitel nach unten. Wie viel betragen diese zwei Winkel? Jeder beträgt 60 °. Hier ist 60 ° und hier ist 60 °. Wir wissen, dass ich diese Seite halbiere, weil das ein gleichschenkliges Dreieck ist. Hier haben wir einen Radius r. Der ist gleich 2. Dieser Radius r ist auch gleich 2. Dieses Dreieck ist symmetrisch. Und wenn ich eine Linie durch die Mitte ziehe, wird diese Seite in zwei gleiche Abschnitte geteilt. Jeder ist gleich der Hälfte von dieser Seite. Lasst mich ein gleichschenkliges Dreieck zeichnen. x-beliebiges gleichschenkliges Dreieck, in welchem diese Seite und diese gleich sind. Das sind in diesem Beispiel die Radien. Dieser Winkel ist gleich diesem Winkel. Wenn ich hier die Höhe zeichne, teile ich die Grundseite in 2 gleiche Teile. Diese beiden Abschnitte sind gleich. Und da die ganze Seite a ist, entspricht jeder dieser Abschnitt a/2. Jetzt nutzen wir unsere Kenntnisse der Trigonometrie, um das Verhältnis zwischen a und r zu finden. Wenn wir a durch r ausdrücken, dann können wir a-Werte in die Formel einsetzen und unsere Dreieckfläche berechnen. Und dann ziehen wir das von der Fläche des Kreises ab, und dann haben wir es geschafft! Lasst uns versuchen. Hier haben wir einen 60 °-Winkel. Der ist die Hälfte des Zentriwinkels. Hier ist 60 °-Winkel und die gegenüberliegende Seite, man nennt sie auch Gegenkathete. Die Gegenkathete ist a / 2. Wir kennen auch die Hypotenuse. Hier haben wir den rechten Winkel. Und wir haben auch die Höhe. Das ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Gegenkathete ist a/2, die Hypotenuse ist r. Das ist die Hypotenuse unseres Dreiecks. Sie ist gleich 2. Gibt es ein Verhältnis zwischen der Seite, die dem 60 °-Winkel gegenüber liegt, also die Gegenkathete, und die Hypotenuse? Wie nennt man dieses Verhältnis? Sinus ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Ich scrolle das nach unten, weil ich nicht genug Platz habe. Also der Sinus dieses Winkels, der Sinus von 60 °, ist gleich dem Verhältnis der Gegenkathete, a/2, zur Hypotenuse, die unser Radius 2 ist. Das ist: (a/ 2) / 2 oder a / 4. Wie ist der Wert von Sinus von 60 °? Wenn ihr nicht wisst, was der Sinus ist, guckt ein paar von den Trigonometrie-Videos. Das soll euch nicht abschrecken. Sinus von 60 °… erinnert ihr euch an das Video über die 30-60-90 Dreiecke... Lasst mich eins hier zeichnen. Das ist ein 30-60-90 Dreieck. Hier sind 60, 30, und 90 °. Vielleicht wisst ihr noch... Diese Länge ist 1. Hier ist ½. Und diese Länge ist (√ 3) / 2. Sinus von 60 ° ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. ((√ 3) / 2) / 1 ist Sinus von 60 °. Wenn ihr keinen Rechner habt, könnt ihr (√ 3) / 2 benutzen. Jetzt können wir a berechnen. (√ 3) / 2 = a / 4. Wir multiplizieren beide Seiten mit 4. Diese vier wird weggekürzt. Das wird zu 2. Das wird zu 1. Wir erhalten: a = 2 √ 3. Wir sind auf der Zielgerade. Wir haben gerade alle Seitenlängen herausgefunden. Wir haben den Satz des Heron angewendet, um die Fläche des Dreiecks durch diese Seitenlängen zu berechnen. Wir ersetzen den a-Wert in der Formel und erhalten die Fläche. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich a ² ... Wie viel beträgt unsere a ²? Das ist (2 √ 3 )²*(( √ 3) / 4). Das ist gleich 4 * 3 * ((√ 3) / 4). 4 wird weggekürzt. Unsere Dreieckfläche ist gleich 3 √ 3. Das ist die Fläche des ganzen Dreiecks. Nun zurück zu unserer Frage. Wir sollen die Fläche dieses orangen Bereiches außerhalb des Dreiecks und innerhalb des Kreises ermitteln. Fläche eines Kreises ist 4π. Von der ziehen wir der Dreieckfläche 3 √ 3. Wir haben es geschafft! Das ist unsere Antwort: 4π-3 √ 3. Das ist die Fläche von diesem orangen Bereich. Hoffentlich hat es euch Spaß gemacht!