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Kurs: Geometrie (alle Inhalte) > Lerneinheit 15

Lektion 1: Abstand und Mittelpunkte
Mathematik
Geometrie (alle Inhalte)
Analytische Geometrie
Abstand und Mittelpunkte
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Abstandsformel

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Leite eine allgemeingültige Formel für die Distanz zwischen zwei Punkten her.
Der Abstand zwischen den Punkten (x1,y1) und (x2,y2) ist durch die folgende Formel gegeben:
(x2−x1)2+(y2−y1)2
In diesem Artikel wollen wir diese Formel herleiten!

Herleitung der Abstandsformel

Wir wollen beginnen, indem wir die Punkte (x1|y1) and (x2|y2) grafisch darstellen.
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei.
Die Länge der Strecke zwischen den zwei Punkten ist der Abstand zwischen ihnen:
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte.
Wir wollen den Abstand herausfinden. Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, können wir den Satz des Pythagoras benutzen!
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte. Ein dritter, nicht beschrifteter Punkt befindet sich bei x zwei, y eins. Eine Linie verbindet ihn mit dem Punkt x zwei, y zwei und eine weitere Linie mit dem Punkt x eins, y eins und bildet ein rechtwinkliges Dreieck.
Ein Term für die Länge der Basis ist x2−x1:
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte. Ein dritter, nicht beschrifteter Punkt befindet sich bei x zwei, y eins. Eine Linie verbindet ihn mit dem Punkt x zwei, y zwei und eine weitere Linie mit dem Punkt x eins, y eins und bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist unbekannt und die Seite, die von den Punkten x eins, y eins und x zwei, y eins gebildet wird, wird mit x zwei minus x eins beschriftet.
Gleichermaßen ist ein Term für die Höhe y2−y1:
Der erste Quadrant eines Koordinatensystems mit zwei Skalenstrichen auf der x-Achse, beschriftet mit x eins und x zwei. Auf der y-Achse gibt es zwei Skalenstriche mit den Beschriftungen y eins und y zwei. Es gibt einen Punkt bei x eins, y eins und einen weiteren Punkt bei x zwei, y zwei. Eine Linie verbindet die beiden Punkte. Ein dritter, nicht beschrifteter Punkt befindet sich bei x zwei, y eins. Eine Linie verbindet ihn mit dem Punkt x zwei, y zwei und eine weitere Linie mit dem Punkt x eins, y eins und bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist unbekannt und die Seite, die durch die Punkte x eins, y eins und x zwei, y eins entsteht, wird mit x zwei minus x eins beschriftet. Die dritte Seite wird mit y zwei minus y eins beschriftet.
Wir können nun den Satz des Pythagoras benutzen um eine Gleichung zu schreiben:
?2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Wir können nach ? auflösen, indem wir die Quadratwurzel auf jeder Seite ziehen:
?=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Das wars! Wir haben die Abstandsformel hergeleitet!
Interessanterweise erinnern sich eigentlich viele Leute nicht mehr an diese Formel. Stattdessen legen sie immer ein rechtwinkliges Dreieck an und benutzen den Satz des Pythagoras, wenn sie den Abstand zwischen zwei Punkten herausfinden wollen.

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