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Laplace-Transformation um eine Gleichung zu lösen

Lösung einer Gleichung, die wir bereits lösen können, mithilfe der Laplace-Transormation. Erstellt von Sal Khan

Video-Transkript

- Ich habe nun unzählige Videos über die Methode der Laplace Transformation gemacht und du hast dich sicherlich oftmals gefragt, für was soll das überhaupt gut sein? Das werde ich dir nun zeigen, zumindest bei den Differentialgleichungen. Und ich habe auch einige Briefe über die Laplace Transformation bekommen. Was bedeutet sie eigentlich? Und all sowas. Und dies sind exzellente Fragen und du solltest nach ihrer Antwort suchen. Es ist schwer, wirklich eine Gefühl für die Laplace Transformationen im Zusammenhang mit Differentialgleichungen zu haben, außer dass es ein sehr nützliches Umformungswerkzeug für die Umformung von Differential- oder Integralaufgaben in agebraischen Aufgaben ist. Aber ich gebe dir einen Tipp, und wenn du einen Weg ihn zu lernen möchtest, solltest du mehr über Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen lernen, die den Laplace Transformationen sehr ähnlich sind. Und das wird das Gefühl aufbauen, das dir beim Frequenzbereich hilft. Na jedenfalls, lass uns nun die Laplace-Transformation nutzen um eine Differentialgleichung zu lösen. Und das ist eine, die wir schon gerechnet haben. Also lass mich sehen. Also lass uns annehmen, dass die Differentialgleichung y'' plus 5y' plus 6y gleich 0 ist. Und du solltest wissen, wie diese zu lösen ist, aber ich möchte dir nur zeigen, anhand einer relativ unkomplizierten Differentialgleichung dass du es mit der Laplace-Transformation lösen könntest. Und tatsächlich, hast du am Ende eine charakteristische Gleichung. Und die ursprünglichen Bedingungen sind, dass y von 0 ist gleich 2 und y' von 0 ist gleich 3. Nun, um die Laplace-Transformation hier zu verwenden, nehmen wir im Wesentlichen einfach die Laplace-Transformation beider Seiten dieser Gleichung. Lass mich eine lebendigere Farbe verwenden. Also bekommen wir die Laplace-Transformation von der zweiten Ableitung von y plus -- naja wir könnten sagen die Laplace Transformation von 5 mal y', aber das ist das gleiche wie 5 mal die Laplace-Transformation -- y'. - y' plus 6 mal die Laplace-Transformation von y. Und lass mich dir eine Frage stellen. Was ist die Laplace-Transformation von 0? Lass mich sehen. Also wäre die Laplace-Transformation von 0 das Integral von 0 bis unendlich, 0 mal e hoch minus st dt. Hier ist also eine 0 drin. Also ist das gleich 0. Also ist die Laplace-Transformation von 0 gleich 0. Und das ist gut, weil ich nicht den Platz habe, noch ein geschwungenes L zu machen. Also was sind die Laplace-Transformationen dieser Dinge? Hier benutzen wir jezt eine der nützlichen Gesetze, die wir gelernt haben. Ich schreib das mal hier hin. Ich denke, dass das so viel Platz wie möglich benötigt. Ich mach das hier mal weg. - Also haben wir gelernt, dass die Laplace-Transformation -- Ich mach die mal hier. Oder lieber hier unten Die Laplace-Transformation von f', wir könnten auch sagen y' ist gleich s mal die Laplace-Transformation von y, minus y von 0. Das habe ich ja schon bewiesen. Und das hier zu wissen ist sehr wichtig. Also mal sehen, ob wir das angewenden können. Also die Laplace-Transformation von y'' , wenn wir das anwenden, ist gleich s mal der Laplace-Transformation von -- wenn wir von y' zu y gehen, nimmst du einfach die Stammfunktion. Wenn du also die Stammfunktion von y von der zweiten Ableitung, landen wir bei der ersten Ableitung -- abzüglich die erste Ableitung von 0. Beachte, dass wir bereits unsere ursprünglichen Bedingungen verwenden. Ich werde das nur noch nicht einsetzen. Und dann haben wir oben plus 5, mal--ich schreibe das einfach jedes Mal--also plus 5 mal die Laplace-Transformation von y', plus 6 mal die Laplace-Transformation von y. Das alles ist gleich 0. Nur um das klar zu stellen: Alles, was ich gemacht habe, ist: Ich habe das hierzu mithilfe von dem hier erweitert. Also, wie können wir die Laplace-Transformation von y' umschreiben? Nun, wir könnten das nochmal benutzen, also lasst uns das tun. Also dieses hier--ich schreib das in Magenta-das ist gleich s mal was? s mal die Laplace-Transformation von y'. Das ist s mal die Laplace-Transformation von y, minus y von 0, richtig? Ich habe diesen Teil genommen und ihn mit dem eingeklammerten ersetzt. Also minus y' von 0-- und jetzt eine andere Farbe-- plus 5 mal -- wieder die Laplace-Transformation von y'. Wir können das wieder benutzen. Also 5 mal s mal die Laplace-Transformation von y, minus y von 0, plus 6 mal die Laplace Transformation--oh ich habe keinen Platz mehr, ich mach das in der nächsten Zeile-- plus 6 mal die Laplace-Transformation von y. Das alles ist gleich 0. Ich weiß das sieht wirklich verwirrend aus, aber wir werden das jetzt vereinfachen. Und wir könnten das hier weg machen, weil wir es so oft verwendet haben, wir brauchen. Also, jetzt vereinfachen wir nur. Und sieh, mit Hilfe der Laplace-Transformation, mussten wir uns keine allgemeine Lösung oder so ausdenken. Selbst wenn wir eine charakteristische Gleichung gemacht haben, haben wir erraten, was die ursprüngliche allgemeine Lösung war. Jetzt nehmen wir einfach die Laplace-Transformationen, und mal sehen, wo wir damit hinkommen. Und eigentlich möchte ich nur aufklären, weil ich weiß, das es sehr verwirrend ist, so dass ich diesen Teil als das umgeschrieben habe. Und das hier als das Und alles andere ist gleich. Aber jetzt lass uns die Mathematik vereinfachen. Wir bekommen s quadrat mal die Laplace-Transformation von y-- Ich schreibe kleiner, ich habe meine Lektion gelernt--minus s mal y von 0. Jetzt ersetzen wir y von 0 hier, y von 0 ist 2, also s mal y von 0 ist 2 mal s, also 2s, geteilt durch das s, minus y' von 0. y' von 0 ist 3. Also minus 3, plus-- wir haben 5 mal s mal die Laplace Transformation von y, also plus 5s mal die Laplace-Transformation von y, minus 5 mal y von 0. y von 0 ist 2, also minus 10. Minus 10, richtig? 5 mal--Hier steht--also 5 mal 2 plus 6 mal dieLaplace-Transformation von y. Das alles ist gleich 0. Nun, lass uns unsere Laplace-Transformationen von y und unsere konstanten Terme addieren, und wir sollten hoffentlich bald ankommen. Mal sehen, die Laplace-Transformationen von y Terme, ich habe diesen, diesen und ich habe diesen. Was habe ich also noch übrig? Nun, lass mich den Laplace-Transformation von y Teil ausklammern. Also bekomme ich die Laplace-Transformation von y-- und das ist gut weil es nervt, das immer und immer wieder hinzuschreiben--mal s quadrat plus 5s plus 6s. Das sind also alle meine Laplace-Transformation Terme. Und dann habe ich meine konstanten Terme. Also, ich habe 1 s, also minus 2s, minus 3 minus 10, ist gleich 0. Und waskönnen wir hier machen? Nun, das ist interessant. Zuerst beachte, dass die Koeffizienten in den Laplace-Transformationen von y, dass die genau die charakteristische Gleichung sind, mit der wir uns so viel beschäftigt haben, bis zu einem bestimmten Punkt. Damit ist ein bisschen eine Ahnung, und wenn du ein paar sehr dünne Verbindungen willst, macht das sehr viel Sinn. Da wir, um die charakteristische Gleichung zu erhalten, e hoch rt ersetzt haben und die Laplace-Tranformation enthält eine sehr ähnliche Funktion. Aber wie auch immer, gehen wir zurück zu der Aufgabe. Wie lösen wir das? Lass mich dir nun das große Ganze erklären, weil jetzt ein guter Zeitpunkt ist. Was ich tun werde, ist, ich werde das hier lösen. Ich werde sagen die Laplace-Transformation von y ist gleich irgendetwas. Und dann werde ich sagen, Junge, welche funktionen sind die Laplace-Transformation von diesem etwas? Und dann habe ich die Lösung. Wenn dich das verwirrt, dann warte einfach und hoffentlich macht das gleich Sinn. Von hier bis dahin ist es nur ein bisschen Rechenarbeit. Also scrollen wir ein wenig runter, nur um etwas Raum zum Atmen zu haben. Und so bekomme ich die Laplace-Transformation von y, mal s quadrat, plus 5s,plus 6, ist gleich - addieren wir diese Terme zu beiden Seiten dieser Gleichung-- ist gleich 2 s plus 3 plus 10--oh das ist dumm-- plus 13. Das hier ist minus 13. Ein Anruf. Wer ruft an? Ich glaube, es ist irgend ein Werbeanruf. Wie auch immer, 2s plus 13 und was kann ich jetzt machen? Nun. Teilen wir beide Seiten durch dieses s quadrat plus 5 s plus 6. Jetzt habe ich die Laplace-Transformation von y ist gleich 2 s plus 13, geteilt durch s quadrat plus 5 s plus 6. Jetzt sind wir fast fertig. Alles hier ist nur ein wenig Rechenarbeit. So, jetzt sind wir fast fertig. Wir haben noch nach y aufgelöst, aber wir wissen, dass die Laplace Transformation von y gleich das hier ist. Also, wenn wir das nur in unserer Tabelle für unsere Laplace Transformationen hätten, würden wir sofort wissen, was y ist, aber sehe ich nichts, oder ich erinnere mich an nichts in unserer Tabelle, das aussieht wie dieser Ausdruck von s. Ich habe im wesentlichen keine Zeit mehr, also werden wir im nächsten Video herauszufinden, welche Art von Funktion diese Laplace-Transformation ist. Und es stellt sich heraus, dass es eine Summe von Dingen, die wir bereits wissen ist, und wir das hier nur noch ein bisschen algebraisch verändern müssen. Bis zum nächsten Video. -