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3. Klasse

Kurs: 3. Klasse > Lerneinheit 2

Lektion 7: Eigenschaften der Multiplikation
Mathematik
3. Klasse
Multiplikation und Division
Eigenschaften der Multiplikation
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Einführung in die Assoziativität der Multiplikation

Google Classroom
Übe das Verändern der Gruppierung von Faktoren bei Multiplikationsaufgaben und schau wie sich das auf das Produkt auswirkt.

Zahlen gruppieren

Das Bild zeigt 3 Zeilen mit 2 Punkten in jeder Zeile. Mit dem Ausdruck 3⋅2 können wir die Anordnung darstellen.
Dieses Bild zeigt die gleiche Anordnung 3⋅2 4 mal kopiert.
Wir verwenden den Ausdruck (3⋅2)⋅4, um die Anordnung darzustellen.
Wenn wir die Punkte zählen, erhalten wir eine Gesamtmenge von 24.

Gruppierung ändern

Erhalten wir die gleiche Summe, wenn wir die Klammern verschieben, so dass die Zahlen auf eine andere Weise gruppiert werden?
Lassen wir uns die Zahlen umgruppieren, sodass 2 und 4 zusammengefasst sind: 3⋅(2⋅4).
Wir können eine Anordnung nehmen um diesen Ausdruck zu zeigen. Wir beginnen mit 2 Zeilen mit 4 Punkten in jeder Zeile. Diese Rechnung zeigt an 2⋅4.
Nun müssen wir die Anordnung 3 mal kopieren um den Ausdruck darzustellende 3⋅(2⋅4).
Wenn wir die Punkte zählen, erhalten wir eine Gesamtsumme von 24.
Umgruppierung verändert nicht die Lösung!
(3⋅2)⋅4=3⋅(2⋅4)

Assoziativgesetz

Die Mathematikregel, die es uns erlaubt Zahlen in einer Multiplikationsaufgabe umzugruppieren ohne dass sich die Lösung ändert, ist das Assoziativgesetz.
Wir wollen die Zahlen in der folgenden Multiplikationsaufgabe auf zwei verschiedene Arten gruppieren und zeigen, dass wir das gleiche Produkt bei beiden Wegen erhalten.
5⋅4⋅2
Wir wollen beginnen, indem wir die 5 und die 4 als Gruppe zusammenfügen. Wir können den Ausdruck Schritt für Schritt berechnen.
=(5⋅4)⋅2
=20⋅2
=40
Nun wollen wir die 4 und die 2 als Gruppe zusammenfügen.
=5⋅(4⋅2)
=5⋅8
=40
Wir haben das gleiche Produkt erhalten, obwohl die Zahlen auf zwei verschiedenen Wegen als Gruppe zusammengefügt wurden.
Alle drei Ausdrücke sind gleich:
=5⋅4⋅2
=(5⋅4)⋅2
=5⋅(4⋅2)

Nun versuchen wir ein paar Aufgaben

Aufgabe 1
Welche Ausdrücke entsprechen 6⋅3⋅4?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Nun wollen wir einen Ausdruck auf zwei verschiedenen Wegen berechnen.
Aufgabe 2
Trage die fehlenden Informationen ein, um den Ausdruck (3⋅2)⋅5 zu lösen.
(3⋅2)⋅5 = 
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
⋅5
(3⋅2)⋅5 = 
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Löse nun den gleichen Ausdruck, der auf einem anderen Weg gruppiert wurde.
Aufgabe 3
Trage die fehlenden Informationen ein um den Ausdruck 3⋅(2⋅5) zu lösen.
3⋅(2⋅5) = 3⋅
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
3⋅(2⋅5) = 
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

(3⋅2)⋅5=30 und
3⋅(2⋅5)=30
Wir haben das gleiche Produkt erhalten, obwohl wir die Zahlen auf zwei verschiedenen Wegen als Gruppe zusammenfügten.

Äquivalente Ausdrücke

Wir können das Assoziativgesetz benutzen um Ausdrücke zu finden, die äquivalent sind.
Wir wollen mit dem Ausdruck 2⋅2⋅5 beginnen.
Wir können diesen Ausdruck auf zwei Wegen gruppieren, die beide äquivalent sind zu 2⋅2⋅5:
(2⋅2)⋅5
2⋅(2⋅5)
Indem wir jeden Ausdruck Schritt für Schritt berechnen, können wir andere Ausdrücke finden, die ebenso äquivalent sind.
(2⋅2)⋅5=4⋅5
2⋅(2⋅5)=2⋅10
Daher ist unser ursprünglicher Ausdruck 2⋅2⋅5, ebenso äquivalent zu 4⋅5 und 2⋅10.
Aufgabe 4
Welche Ausdrücke entsprechen 8⋅2⋅4?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Warum umgruppieren?

Das Umgruppieren kann es einfacher machen eine Multiplikation zu lösen.
Schauen wir uns den Ausdruck 4⋅4⋅5 an.
Wir können den Ausdruck auf zwei Arten gruppieren:
(4⋅4)⋅5
4⋅(4⋅5)
Wenn wir den ersten Ausdruck Schritt für Schritt berechnen, erhalten wir: (4⋅4)⋅5=16⋅5
Wenn wir den zweiten Ausdruck Schritt für Schritt berechnen, erhalten wir: 4⋅(4⋅5)=4⋅20
Es könnte einfacher sein das Produkt von 4⋅20 zu ermitteln, als 16⋅5.
Obwohl die Zahlen unterschiedlich gruppiert wurden, haben beide Ausdrücke das gleiche Produkt.
4⋅20=80
16×5=80

Versuchen wir eine Aufgabe

Aufgabe 5
Wie können wir den Ausdruck 2⋅3⋅9 gruppieren?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Aufgabe 6
Wenn wir keine zweistelligen Zahlen multiplizieren wollen um das endgültige Produkt zu erhalten, wie müssten wir dann die Zahlen gruppieren?
Wähle eine Lösung.

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