Einführung in die Assoziativität der Multiplikation

Das Bild zeigt $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 Zeilen mit $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 Punkten in jeder Zeile. Mit dem Ausdruck $\tealD{3} \cdot \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 können wir die Anordnung darstellen.

Dieses Bild zeigt die gleiche Anordnung $\tealD{3} \cdot \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab mal kopiert.

Wir verwenden den Ausdruck $(\tealD{3} \cdot \goldD{2}) \cdot \purpleD{4}$left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, um die Anordnung darzustellen.

Wenn wir die Punkte zählen, erhalten wir eine Gesamtmenge von $24$24.

Erhalten wir die gleiche Summe, wenn wir die Klammern verschieben, so dass die Zahlen auf eine andere Weise gruppiert werden?

Lassen wir uns die Zahlen umgruppieren, sodass $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 und $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab zusammengefasst sind: $\tealD{3} \cdot (\goldD{2}\cdot \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

Wir können eine Anordnung nehmen um diesen Ausdruck zu zeigen. Wir beginnen mit $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 Zeilen mit $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab Punkten in jeder Zeile. Diese Rechnung zeigt an $\goldD{2} \cdot\purpleD{4}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.

Nun müssen wir die Anordnung $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 mal kopieren um den Ausdruck darzustellende $\tealD{3} \cdot (\goldD{2} \cdot \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

Wenn wir die Punkte zählen, erhalten wir eine Gesamtsumme von $24$24.

Umgruppierung verändert nicht die Lösung!

Die Mathematikregel, die es uns erlaubt Zahlen in einer Multiplikationsaufgabe umzugruppieren ohne dass sich die Lösung ändert, ist das Assoziativgesetz.

Wir wollen die Zahlen in der folgenden Multiplikationsaufgabe auf zwei verschiedene Arten gruppieren und zeigen, dass wir das gleiche Produkt bei beiden Wegen erhalten.

Wir wollen beginnen, indem wir die $\blueD{5}$start color #11accd, 5, end color #11accd und die $\blueD{4}$start color #11accd, 4, end color #11accd als Gruppe zusammenfügen. Wir können den Ausdruck Schritt für Schritt berechnen.

Nun wollen wir die $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab und die $\purpleD{2}$start color #7854ab, 2, end color #7854ab als Gruppe zusammenfügen.

Wir haben das gleiche Produkt erhalten, obwohl die Zahlen auf zwei verschiedenen Wegen als Gruppe zusammengefügt wurden.

Alle drei Ausdrücke sind gleich:
$\phantom{=}5 \cdot 4 \cdot 2$empty space, 5, dot, 4, dot, 2
$=(\blueD{5 \cdot 4}) \cdot 2$equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, dot, 4, end color #11accd, right parenthesis, dot, 2
$=5 \cdot (\purpleD{4 \cdot 2})$equals, 5, dot, left parenthesis, start color #7854ab, 4, dot, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Nun wollen wir einen Ausdruck auf zwei verschiedenen Wegen berechnen.

Löse nun den gleichen Ausdruck, der auf einem anderen Weg gruppiert wurde.

$(\purpleD{3 \cdot 2}) \cdot 5 = 30$left parenthesis, start color #7854ab, 3, dot, 2, end color #7854ab, right parenthesis, dot, 5, equals, 30 und
$3 \cdot (\greenD{2 \cdot 5}) = 30$3, dot, left parenthesis, start color #1fab54, 2, dot, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30

Wir haben das gleiche Produkt erhalten, obwohl wir die Zahlen auf zwei verschiedenen Wegen als Gruppe zusammenfügten.

Wir können das Assoziativgesetz benutzen um Ausdrücke zu finden, die äquivalent sind.

Wir wollen mit dem Ausdruck $2 \cdot 2 \cdot 5$2, dot, 2, dot, 5 beginnen.

Wir können diesen Ausdruck auf zwei Wegen gruppieren, die beide äquivalent sind zu $2 \cdot 2 \cdot 5$2, dot, 2, dot, 5:

Indem wir jeden Ausdruck Schritt für Schritt berechnen, können wir andere Ausdrücke finden, die ebenso äquivalent sind.

Daher ist unser ursprünglicher Ausdruck $2 \cdot 2 \cdot 5$2, dot, 2, dot, 5, ebenso äquivalent zu $4 \cdot 5$4, dot, 5 und $2 \cdot 10$2, dot, 10.

Das Umgruppieren kann es einfacher machen eine Multiplikation zu lösen.

Schauen wir uns den Ausdruck $4 \cdot 4 \cdot 5$4, dot, 4, dot, 5 an.

Wir können den Ausdruck auf zwei Arten gruppieren:

Wenn wir den ersten Ausdruck Schritt für Schritt berechnen, erhalten wir: $(\blueD{4\cdot 4}) \cdot 5 = \blueD{16} \cdot 5$left parenthesis, start color #11accd, 4, dot, 4, end color #11accd, right parenthesis, dot, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, dot, 5

Wenn wir den zweiten Ausdruck Schritt für Schritt berechnen, erhalten wir: $4 \cdot (\purpleD{4 \cdot 5}) = 4 \cdot \purpleD{20}$4, dot, left parenthesis, start color #7854ab, 4, dot, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, dot, start color #7854ab, 20, end color #7854ab

Es könnte einfacher sein das Produkt von $4 \cdot 20$4, dot, 20 zu ermitteln, als $16 \cdot 5$16, dot, 5.

Obwohl die Zahlen unterschiedlich gruppiert wurden, haben beide Ausdrücke das gleiche Produkt.